On souhaite, dans la configuration p´eriodique pr´esent´ee figure 4.2, maintenir un ´ecoulement typique de multi-perforation, soit :
– Un ´ecoulement secondaire dans le canal du bas, `a vitesse moyenne< U2>, – L’injection de fluide `a travers la perforation, du canal du bas vers celui du haut, – Un ´ecoulement principal dans le canal du haut, `a une vitesse moyenne< U1 >.
Cependant, dans une configuration p´eriodique, les m´ecanismes qui font avancer l’´ecoulement dans les directions parall`eles `a la paroi, typiquement les gradients de pression, sont absents. C’est un probl`eme classique des simulations p´eriodiques. D’autre part, si l’on suppose que les conditions limites en haut en bas du domaine sont des murs (comme dans l’exp´erience), l’injection `a travers la paroi va remplir peu `a peu le canal sup´erieur, jusqu’`a ´equilibrer la pression dans les deux canaux et annuler ainsi l’injection. Nous avons donc besoin de m´ethodes sp´ecifiques pour maintenir l’´ecoulement de multi-perforation dans une configuration p´eriodique. Nous allons voir comment sont maintenus les ´ecoulements principal et secondaire, puis l’injection `a travers la paroi perfor´ee.
4.2.1 Maintien des ´ecoulements principal et secondaire
On s’inspire ici de ce qui est fait en canal turbulent (par exempleKim, Moin & Moser,1987;Jim´enez & Moin, 1991). En l’absence de gradient de pression longitudinal, l’´ecoulement en canal p´eriodique s’arrˆete `a cause du frottement `a la paroi. Pour maintenir l’´ecoulement, un terme source constant en espace et en temps est appliqu´e sur l’´equation de quantit´e de mouvement longitudinaleρ U pour mimer la pr´esence du gradient de pression longitudinal qui existe dans les configurations non p´eriodiques. Dans nos simulations, le terme source a la forme suivante :
S(ρ U )= (ρ Ucible− ρ Umoyen)
τ . (4.1)
Il compare une valeur cible de quantit´e de mouvement ρ Ucible `a la valeur moyenne dans le canal ρ Umoyen.τ est un temps de relaxation de ce terme. Typiquement, τ sera de l’ordre de dix fois le pas de
temps. Un terme source de cette forme est appliqu´e dans chaque canal (haut et bas), avec pour chacun une valeur de cible diff´erente. Aucun terme source surρ U n’est appliqu´e `a l’int´erieur de la perforation.
4.2.2 Maintien de l’injection au travers de la paroi multi-perfor´ee
Plusieurs m´ethodes ont ´et´e test´ees pour maintenir l’´ecoulement d’injection au travers de la perfora-tion. Deux m´ethodes qui fonctionnent sont d´etaill´ees ici. Elles ont ´et´e pr´esent´ees et compar´ees par Men-dez, Nicoud & Miron(2005). Dans ces deux m´ethodes, les termes sources sur l’´equation de la quantit´e de mouvement sont appliqu´es pour chaque canal, comme d´ecrit au paragraphe pr´ec´edent.
Maintien de l’injection par les conditions limites : m´ethode BC
Dans cette approche, on utilise les conditions limites pour maintenir l’injection `a travers la paroi perfor´ee : cette m´ethode est baptis´ee BC pour Boundary Conditions. Pour ´eviter que la pression ne change dans les deux canaux `a cause du transfert de fluide d’un canal `a l’autre, on ne consid`ere plus des domaines ferm´es : les parois imperm´eables en haut et en bas du domaine sont remplac´ees par conditions caract´eristiques d’´ecoulement libre (Thompson,1990). Cette condition limite permet d’imposer un ´etat g´en´eral, vers lequel l’´ecoulement doit tendre. Un coefficient de relaxation est utilis´e pour ne pas appliquer brutalement cette condition et ´eviter ainsi d’´eventuelles r´eflexions acoustiques sur les conditions limites. La condition limite inf´erieure se comporte comme une entr´ee et la sup´erieure comme une sortie. Leur effet est de nourrir l’´ecoulement secondaire en fluide et de faire sortir du canal sup´erieur la masse inject´ee par le jet. Grˆace `a ce mouvement vertical moyen, l’injection `a travers la paroi perfor´ee est maintenue.
Maintien de l’injection par des termes sources : m´ethode CST
Dans cette approche, des termes sources constants en temps en espace sont appliqu´es sur les ´equations de conservation de la masse et de l’´energie : on appelle cette m´ethode CST pour Constant Source Terms. De la mˆeme fac¸on que la quantit´e de mouvement dans chaque canal est maintenue par un terme source (paragraphe 4.2.1), on souhaite maintenir la masse totale et la pression de chaque canal autour d’une valeur constante. On applique alors `a chaque canal un terme source sur la densit´e la pression afin de maintenir l’injection. Les termes sources ont la forme donn´ee par l’´equation 4.1 pourρ U : ils comparent des grandeurs moyenn´ees de densit´e et pression `a des valeurs cibles d´efinies par l’utilisateur. Le mˆeme temps de relaxationτ est utilis´e.
4.2.3 D´efinition du point de fonctionnement. Comparaison des m´ethodes BC et CST
Pour imposer les termes sources sur la quantit´e de mouvement longitudinale, il nous faut d´efinir des valeurs cibles pour la vitesse. Ces valeurs cibles sont d´efinies `a partir des profils exp´erimentaux. Les donn´ees exp´erimentales de r´ef´erence ont ´et´e mesur´ees au niveau de la neuvi`eme rang´ee de perforations. Au niveau de cette rang´ee, la vitesse moyenne longitudinale est ´evalu´ee `a< U1 >= 4.29 m.s−1dans le
canal d’injection. Aucune mesure n’est disponible dans le canal d’aspiration. La cible est donc bas´ee sur l’´ecoulement en amont des perforations :< U2 >= 2.19 m.s−1.
L’´ecoulement ´etant isotherme, la diff´erence de pression (∆P = 42 Pa) permet de d´efinir les valeurs cibles de masse volumique et de pression pour les termes sources avec la m´ethode CST ou les conditions limites avec la m´ethode BC.
Les deux m´ethodes ont ´et´e test´ees sur un maillage grossier, avec le sch´ema Lax-Wendroff (voir cha-pitre 3). Seule la m´ethode de g´en´eration de l’injection `a travers la paroi perfor´ee diff`ere. Ces deux calculs correspondent aux cas 1 et 2 du tableau r´ecapitulatif des simulations (tableau 4.1) pr´esent´e dans la sec-tion suivante. Ces r´esultats num´eriques sur maillage grossier sont obtenus au bout de plusieurs centaines de temps convectifs. Les moyennes sont effectu´ees sur cinquante temps convectifs environ. Les r´esultats sont report´es figure 4.3. Ce sont des profils de vitesses moyennes et fluctuantes2.92 d en aval du centre de la perforation, cˆot´e injection (figure 4.2, profil A). Les profils sont mesur´es de la paroi (y = 0) au centre du canal 1 (y = 12 d). Les r´esultats exp´erimentaux sont ´egalement montr´es.
12 10 8 6 4 2 0 y/d 6 5 4 3 2 1 0 U (m/s) a 12 10 8 6 4 2 0 y/d 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 V (m/s) b 12 10 8 6 4 2 0 y/d 1.6 1.2 0.8 0.4 0.0 Urms c 12 10 8 6 4 2 0 y/d 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Vrms (m/s) d
FIG. 4.3 - Comparaisons des m´ethodes BC ( ) et CST ( ). Les r´esultats exp´erimentaux deMiron(2005) sont ´egalement report´es (• ). Profils de vitesses 2.92 d en aval du centre de la perforation, cˆot´e injection. a.
Vitesse longitudinale moyenneU . b. Vitesse verticale moyenne V . c. Vitesse longitudinale fluctuante U rms. d.
Vitesse verticale fluctuanteV rms.
Trois conclusions peuvent ˆetre tir´ees de l’´etude de ces profils :
– Les r´esultats num´eriques, mˆeme s’ils montrent des diff´erences, sont tr`es similaires. Ils repr´esentent bien la mˆeme structure d’´ecoulement. Les deux m´ethodes sont globalement ´equivalentes,
– Les r´esultats exp´erimentaux montrent que cette structure est proche de celle observ´ee dans les exp´eriences,
– Le maillage utilis´e est manifestement trop grossier pour permettre une description correcte de l’´ecoulement : sur les profils moyens, le maillage grossier est incapable de reproduire les gradients `a la paroi observ´es dans les r´esultats exp´erimentaux. Les fluctuations de vitesse sont fortement sous-estim´ees pr`es de la paroi, o`u elles montrent de surcroˆıt des oscillations num´eriques.
La conclusion la plus importante pour nous est que l’on dispose de deux m´ethodes capables de repro-duire globalement l’´ecoulement de multi-perforation. Bien sˆur, les r´esultats ne sont pas parfaits, mais la structure g´en´erale est bien reproduite. Parmi ces deux possibilit´es, on choisit la m´ethode BC : la fi-gure 4.3 montre que les r´esultats de BC sont l´eg`erement plus proches des r´esultats exp´erimentaux. De plus, cette m´ethode ´evite la manipulation des ´equations de continuit´e et de conservation de l’´energie par l’introduction de termes sources.
Avant de comparer plus finement les donn´ees num´eriques aux r´esultats exp´erimentaux de Miron (2005), on souhaite s’assurer d’obtenir LA solution correcte `a notre probl`eme. En consid´erant qu’il existe une solution unique au probl`eme complet (domaine p´eriodique + M´ethode BC), cette solution d´epend-elle de certains param`etres d’ordre num´erique ? C’est ce que nous allons ´etudier dans les para-graphes suivants. L’analyse physique des r´esultats et la comparaison avec les donn´ees exp´erimentales est pr´esent´ee au chapitre 5.