Choix des paramètres de la méthode de vérification

Afin de compléter cette méthode de vérification, certaines contraintes doivent être appliquées pour choisir correctement les paramètres de la méthode (n₁, n₂, k et m). La première concerne le nombre de traces acquises sur les circuits Ref_D et

DU T . Il faut impérativement que le nombre de mesures effectuées sur Ref D (n1)

soit plus grand que le nombre k de mesures sélectionnées lors de la deuxième étape. De la même façon, le nombre de mesures effectuées sur DU T (n₂) doit être plus grand que m fois le nombre k de mesures sélectionnées :

n₁≥ k (2.8)

n₂ ≥ k × m (2.9)

Cependant, il est possible de mieux choisir le nombre n₂ afin de limiter les chances qu’une trace soit sélectionnée deux fois lors de la vérification de la marque. Cette sélection aléatoire est importante pour diminuer les variations dues aux bruits qui peuvent survenir lors de l’acquisition des mesures. Par exemple, si la tempé-rature change au cours de l’acquisition du canal auxiliaire, les mesures peuvent présenter de très fortes différences et conduire à de fausses interprétations. La sé-lection aléatoire des mesures permet de réduire cette influence en mélangeant des mesures prises à différents temps et donc différentes températures.

Toutefois, si une mesure est sélectionnée plusieurs fois, les mêmes informations se retrouveront sur plusieurs coefficients de corrélation. Pour éviter cela, le nombre de mesures sélectionnées (k) ainsi que le nombre de sélections doivent être pris en compte pour choisir le nombre de mesures (n₂) à effectuer sur le DU T .

Considérons que le nombre n₂ dépende des paramètres k et m. Il est alors possible de trouver un nombre réel α supérieur ou égal à 1 (d’après la condition 2.9) tel que :

n₂ = α × k × m (2.10)

Maintenant, considérons que les k éléments sont sélectionnés simultanément dans l’ensemble T_{DU T}. La probabilité (P (e_i)) qu’une mesure (e_i, i ∈ [1, n2]) soit

présente dans un tirage de k mesures parmi les n₂ disponibles est : ∀i ∈ [1, n₂], P (e_i, e_i ∈ T_{DU T}) = k

n2

(2.11) Et en remplaçant n₂ par son expression (2.10) dans la Formule 2.11, on obtient alors :

P (ei) = ¹

α × m ^(2.12)

Ainsi, nous connaissons la probabilité de sélectionner une mesure particulière lors d’un tirage. La première chose que l’on peut remarquer est que cette probabilité ne dépend pas du nombre d’éléments sélectionnés mais du nombre de tirages qui sont effectués. Il faut donc tenir compte du fait que nous faisons m tirages de k traces dans T_{DU T}. Considérons l’événement ζ suivant :

ζ : l’élément ei est sélectionné plus d’une fois lors de m sélections.

Afin de calculer la probabilité de cet événement, l’événement contraire noté ζ

est utilisé. Ce dernier peut se traduire de la façon suivante :

ζ : l’élément e_i est sélectionné au plus une fois lors de m sélections.

La probabilité de zeta s’écrit :

P (ζ) = 1 − P (ζ) (2.13)

Afin de relier P (ζ) aux paramètres de la méthode de vérification, il faut donc exprimer P (ζ) en fonction de m, et α. De plus, pour m ∈ N^∗, seules deux possibilités permettent de valider l’événement ζ. Soit l’élément e_in’a pas été sélectionné du tout, soit il ne l’a été qu’une seule fois. Or, si l’élément e_i a été sélectionné une seule fois lors des m tirages, cela signifie qu’il ne l’a pas été lors des m − 1 autres sélections. Il y a donc exactement m possibilités pour sélectionner l’élément e_i une seule fois lors des m tirages. Ainsi, l’expression de P (ζ) peut s’écrire :

P (ζ) = (1 − P (e_i))^m+ m[P (e_i)(1 − P (e_i))^m−1] (2.14)

En remplaçant P (e_i) par son expression (2.12) et en simplifiant P (ζ), on obtient alors : P (ζ) =  1 + m − 1 α × m   1 − ¹ α × m m−1 (2.15) Ainsi, l’expression de la probabilité de l’événement ζ devient :

P (ζ) = 1 −  1 + m − 1 α × m   1 − ¹ α × m m−1 (2.16)

Le nombre de mesures à prendre sur le DU T peut donc être choisi grâce aux paramètres suivants :

- k, le nombre de mesures à sélectionner par moyenne pour l’étape 2 de la méthode de vérification ;

- α, un nombre réel supérieur ou égal à 1 ; - la probabilité de l’événement ζ.

Ces trois paramètres vont nous permettre de choisir la valeur de m et ainsi la valeur de n₂. Les premières propriétés de l’expression 2.16 à remarquer sont ses limites à l’infini (2.17 et 2.18). L₁ correspond à la limite de l’expression 2.16 pour une valeur fixe de m et lorsque α tend vers l’infini. La limite L₂ est celle pour une valeur fixe de α lorsque m tend vers l’infini.

L1 : ∀ m ∈ N, lim α→+∞P (ζ) = 0 (2.17) L₂ : ∀ α ≥ 1, lim m→+∞P (ζ) = 1 − (^{α + 1} α ^)e −1 α (2.18)

Fixons le paramètre α à la valeur qui sera utilisée dans la Section 2.4 : α = 10. Cette valeur de α permet de choisir la valeur de m en fonction de la probabilité

P (ζ) grâce à la limite L₂ (2.18). La Figure 2.8 représente l’évolution de P (ζ) en fonction de m pour α = 10. α = 10 5% 17 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 0 10 20 30 40 50 m Limite pour ^P(ζ)

Figure 2.8 – Évolution de P (ζ) en fonction de m pour α = 10.

Pour fixer la valeur de m, il est possible de s’imposer une contrainte concernant la limite L₂ de P (ζ), qui est représentée sur la Figure 2.8. Par exemple, fixons une contrainte de 5% sous cette limite, qui vaut 0, 00468 pour α = 10. Cela signifie que

m sera choisi de sorte à ce que la probabilité de sélectionner une trace plus d’une

fois soit comprise entre 0.00444 et 0.00468. Ainsi, il faut choisir m supérieur ou égal à 17, comme le montre la Figure 2.8. m sera arbitrairement fixé à 20 dans le reste de ce chapitre.

Enfin, le nombre de traces à sélectionner à chaque tirage est arbitrairement fixé à k = 50. Ainsi, le nombre d’acquisitions à effectuer sur le DU T devient :

n2= 10 × 20 × 50 = 10000. Le choix du nombre de mesures à prendre sur le circuit de référence est beaucoup plus simple et nécessite juste de satisfaire la condition 2.8, donc n₁ = 50 suffit.

Dans cette section, une méthode de vérification de watermark insérée dans un circuit numérique synchrone a été présentée. Cette méthode utilise le canal auxiliaire de la consommation de puissance. Plusieurs paramètres ont été introduits afin de mettre en œuvre cette méthode de vérification :

- n₁, le nombre de mesures à prendre sur le circuit de référence ; - n₂, le nombre de mesures à prendre sur le circuit à tester ; - k, le nombre de mesures à sélectionner et à moyenner ;

- m, le nombre de fois que la sélection est opérée sur le circuit à tester.

De plus, une méthode permettant de choisir le paramètre n₂ a été décrite. Cette méthode s’appuie sur la probabilité P (ζ) de sélectionner plusieurs fois une trace particulière de l’ensemble des traces mesurées sur le circuit de test (Section 2.2.2). La prochaine section présente la mise en place d’un banc de test qui a pour but de tester la méthode détaillée ci-dessus.