CHAPITRE 3 DIMENSIONNEMENT ET CONCEPTION ANALYTIQUE
3.2.3 Choix des matériaux pour les composants restants
Le diffuseur thermique doit avoir une haute conductivité thermique. En général, l’aluminium ou le cuivre sont choisis. Pour notre cas, nous choisissons le cuivre puisqu’il possède la plus grande conductivité thermique (400 W/m K) et une plus faible dilatation thermique (17e-6 1/K). La plus faible dilatation thermique est souhaitée puisque nous essayons de limiter les contraintes mécaniques dans la structure. En plus, le cuivre est plus rigide ce qui donne plus de stabilité mécanique.
Le cylindre de compression joue un double rôle : d’une part, il exerce les efforts de compression sur le disque piézoélectrique, et d’autre part, il dissipe la chaleur par convection à travers sa surface latérale. De ce fait, deux aspects sont à retenir. Premièrement, le cylindre doit être suffisamment rigide pour résister à la déformation subite par les contraintes thermiques du disque piézoélectrique et plus tenace pour ne pas présenter des fissurations. Deuxièmement, tout en augmentant la longueur de cylindre pour élargir la surface de convection, nous devons minimiser la résistance thermique de conduction du cylindre et cela en augmentant la conductivité thermique du cylindre. Le tableau 3.4 (Wong, Kwok, Man, & Cheng, 2012) indique que le cuivre et l’aluminium possèdent les meilleures conductivités thermiques. De plus, en considérant les propriétés mécaniques des deux matériaux présentés
dans le tableau 3.5 (Cambridge University Engineering Department, 2003), le cuivre est plus rigide avec un module de Young de l’ordre de 110 GPa.
Tableau 3.4 Propriétés de différents métaux Tiré de Wong et al (2012, p292)
Tableau 3.5 Propriétés mécaniques d'alliage de cuivre et d'aluminium Tiré de Cambridge University Engineering Department (2003, p11-13)
Matériau Alliage de Cuivre Alliage d’Aluminium
Module de Young (GPa) 112-148 68-82
Résistance à la rupture (MPa√𝑚) 30-90 22-35
Cette rigidité est souhaitée puisqu’elle s’approche de celle du PZT-4 ayant un module de Young de l’ordre du 115GPa. De surcroit, le cuivre résiste plus à la rupture et il est plus dur que l’aluminium. Ainsi, le cuivre est choisi pour le cylindre de compression.
Par suite, nous choisissons le matériau pour la plaque rigide. Comme le montre le tableau 2.5, le Titane (Ti) et le chrome (Cr) présentent des duretés largement supérieures à celle du cuivre et sont égales à 110 et 90 respectivement. Cependant, comme l’aspect thermique est important, le chrome avec une conductivité thermique assez élevée de 91.3 (W/mK) est préférable. En outre, le chrome est largement rigide par rapport au cuivre et au PZT-4 avec un module de Young de l’ordre de 280 GPa (Holzwarth & Stamm, 2002). Nous choisissons le Chrome pour les plaques rigides. En conclusion, les matériaux choisis sont regroupés dans le tableau 3.6.
Tableau 3.6 Matériaux choisis pour le générateur
Spécifications Matériau choisi
Interface thermique Adhésifs époxyde chargé de nitrure de bore
Diffuseur Cuivre pur
Cylindre de compression Cuivre pur
Disque piézoélectrique PZT-4
Plaques rigides Chrome pur
Dimensionnement de la géométrie
Dans cette section, nous déterminons les dimensions des différentes parties du générateur à fin d’avoir un fonctionnement global qui respecte des contraintes mécaniques et thermiques. Comme décrit dans la section 2.2, les dimensions de notre convertisseur sont 4.4 cm de longueur et 3.5 cm de largeur. Ce sont les dimensions choisies pour toutes les plaques à mettre sauf pour la deuxième plaque rigide qui doit être plus grande avec une longueur de 4.8 cm et une largeur de 3.9 cm pour permettre une fixation avec des vis. De plus, afin de couvrir le maximum possible de surface de conduction thermique, le diamètre du cylindre de compression et du disque piézoélectrique est égal à 3.5 cm. Il suffit de déterminer les épaisseurs de tous les composants pour entièrement définir le générateur. Ces épaisseurs seront calculées en respectant les contraintes thermiques de refroidissement et les contraintes mécaniques de stabilité.
Nous débutons notre étude par rechercher les niveaux de température favorables au fonctionnement du circuit électrique. En effet, tout transistor possède une température de jonction notée 𝑇 . Nous devons maintenir cette température aux alentours d’une température d’opération maximale admissible par les amplificateurs de puissance linéaire estimée à 85°C (Gorbachov, 2005). De plus, en considérant la résistance thermique entre la jonction et le boitier notée 𝜃 de valeur donnée par le constructeur du transistor CGHV1J006D égale à 13.2°C/W (Wolfspeed, 2015), nous déterminons ainsi la température souhaitée du boitier par la relation (Nikhil, 2011) :
𝑇𝑐 = 𝑇 − 𝑃 ∗ 𝜃 , (3.1) Adapté de Nikhil (2011)
Où 𝑇𝑐 est appelé la température du boitier 𝑇 est appelé la température de jonction 𝑃 est appelé la puissance dissipée
𝜃 est appelé la résistance thermique entre jonction et boitier
Étant donné que notre structure est aussi le refroidisseur thermique, nous déterminons la résistance thermique totale du générateur par l’équation (Nikhil, 2011) :
𝜃 + 𝜃 + 𝜃 =𝑇 − 𝑇 𝑃 ,
(3.2) Tiré de Nikhil (2011, p2)
Où 𝑇 est appelé la température ambiante 25°C (Température ambiante normale) 𝜃 est appelé la résistance thermique de l’interface thermique
𝜃 est appelé la résistance thermique du dissipateur
Les paramètres 𝑇 , 𝜃 sont déterminés à partir de la fiche technique du transistor utilisé dans l’amplificateur de puissance de référence. 𝑃 est égale à 3W d’après la section 2.2. Ainsi, en utilisant les équations 3.1 et 3.2, le boitier doit être maintenu à une température égale à 45.4 °𝐶 avec une résistance thermique totale du générateur ( 𝜃 + 𝜃 ) égale à 6.8 °C/W.
D’autre part, certaines limitations mécaniques s’appliquent sur les matériaux piézoélectriques pour maintenir un fonctionnement linéaire et éviter toute détérioration possible. D’après une étude réalisée par Cheng et Reece (2001) sur du PZT 4D commercial, la courbe contrainte déformation présente trois étages à savoir une partie linéaire avec des contraintes inférieures à 50 MPa, une partie à déformation facile avec des contraintes entre 50 MPa et 300 MPa et une dernière partie de durcissement à hautes contraintes. Lorsqu’on relâche les contraintes, il y a récupération d’une partie des déformations dues aux contraintes internes comme le montre la figure 3.4 (Cheng & Reece, 2001).
Figure 3.4 Courbe contrainte déformation pour dur PZT-4 parallèle à la direction de polarisation
Tirée de Cheng & Reece (2001, p166)
Pour notre étude, il est préférable de travailler dans une zone linéaire afin d’avoir une structure stable et éviter les changements irréversibles des paramètres élastiques et diélectriques des céramiques piézoélectriques. En plus, selon une recherche développée par Abramovich, Tsikhotsky, et Klein (2013) sur la contrainte maximale admissible pour les générateurs piézoélectriques d’impulsions opérant en mode quasi-statique, la performance de ces générateurs dépend de la reproductivité des paramètres de sortie et une contrainte maximale aux alentours de 30MPa est recommandée (Abramovich et al., 2013). Cette contrainte est la contrainte qui assure une production d’énergie maximale et stable et une efficacité élevée. Ainsi, en quête de performance, cette valeur est choisie pour référence dans notre étude.
Comme les contraintes mécaniques étudiées sont d’origine thermique, la limite de 30MPa implique un niveau de température à ne pas dépasser. En effet, les contraintes thermiques développées par le cylindre de compression dépendent du matériau utilisé et du gradient de température suivant l’équation 2.4. Ainsi, pour assurer une contrainte maximale aux alentours de 30MPa, nous devons avoir une variation de température (𝑇 − 𝑇 ) maximale donnée par :
(𝑇 − 𝑇 ) = 𝜎
𝐸 ∗ 𝛼 ; 𝑇 = 𝜎
𝐸 ∗ 𝛼+ 𝑇 , (3.3)
Où le cylindre est en cuivre, la température 𝑇 est égale à 25°C et la température 𝑇 maximale est égale à 41 °C.
Ce niveau de température génère des déplacements thermiques de l’ordre de μm. De ce fait, pour que l’effet de la plaque rigide soit négligeable devant celui du cylindre de compression, elle doit avoir un déplacement thermique de l’ordre de 10-7 inférieur au déplacement du cylindre de l’ordre de 10-6. Par la suite, l’épaisseur maximale de la plaque est déterminée suivant l’équation 3.4 (MICHEL & PITONE, 2012) :
𝑑𝐿
𝐿 = 𝛼 ∗ 𝑑𝑇 ; 𝐿 = 𝑑𝐿 𝛼 ∗ 𝑑𝑇 ,
(3.4) Tiré de MICHEL & PITONE (2012, p78)
Où 𝐿 est appelé la dimension d’un objet à la température 𝑇 𝑑𝑇 est appelé l’augmentation de la température
𝑑𝐿 est appelé l’augmentation de la dimension
𝛼 est appelé le coefficient de dilatation thermique du matériau à 𝑇
En prenant des plaques rigides en chrome, l’épaisseur de ces plaques L0= 1.3 mm.
En prenant une épaisseur de 2 mm pour le diffuseur et ayant une température de boite Tc=45.4°C ainsi qu’une température de cylindre de Tcy=41°C, nous déterminons l’épaisseur de l’interface thermique nécessaire en se basons sur une partie du modèle thermique développé présenté dans la figure 3.5.
Figure 3.5 Schéma thermique pour le dimensionnement de l'interface thermique
𝑇𝑐𝑦 = (𝑇𝑐 − 𝑅𝑡𝑖 ∗ 𝑃𝑖𝑛) ∗ 1 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿+ 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑑, 𝑐𝐿 − 𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿 ∗ 𝑅𝑑𝑐, 𝐿 − 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 −𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐𝐿 ∗ 𝑃𝑖𝑛 − 𝑅𝑝1 𝑅𝑝, 1, 𝑐, 𝐿+ 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 − 𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿 ∗ 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 ∗ 𝑇𝑎𝑚𝑏 (3.5) On note 𝐶1 = 1 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿+ 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 − 𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐𝐿 ∗ 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 (3.6) 𝐶2 = 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 −𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿 (3.7) 𝐶3 = 𝑅𝑝1 𝑅ℎ𝑐𝑙+ 𝑅𝑑 + 𝑅𝑝1 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 − 𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑑 𝑅𝑝1, 𝑐, 𝐿 ∗ 𝑅𝑑, 𝑐, 𝐿 (3.8)
Ainsi, 𝑅𝑡𝑖 =𝑇𝑐 ∗ 𝐶1 − 𝐶2 ∗ 𝑃𝑖𝑛 − 𝐶3 ∗ 𝑇𝑎𝑚𝑏 − 𝑇𝑐𝑦 𝐶1 ∗ 𝑃𝑖𝑛 (3.9) 𝑅𝑡𝑖 = 𝑒𝑡𝑖 𝜆𝑡𝑖 ∗ 𝑆𝑡𝑖 , 𝑒𝑡𝑖 =𝑇𝑐 ∗ 𝐶1 − 𝐶2 ∗ 𝑃𝑖𝑛 − 𝐶3 ∗ 𝑇𝑎𝑚𝑏 − 𝑇𝑐𝑦 𝐶1 ∗ 𝑃𝑖𝑛 ∗ 𝜆 ∗ 𝑆 , (3.10)
Où 𝑒𝑡𝑖 est appelé l’épaisseur de l’interface thermique suivant la direction de propagation de chaleur
𝜆𝑡𝑖 est appelé la conductivité thermique de l’interface thermique
𝑆𝑡𝑖 est appelé la surface du matériau orthogonale à la direction de propagation de chaleur
Pour de l’époxyde chargé de nitrure de bore de type conductive X-thermo bond 95, l’épaisseur de l’interface thermique est 0.93 mm. Pour respecter la condition sur la résistance thermique totale de 6.8 °C/W, nous déterminons la résistance thermique équivalente Req du reste du circuit selon le schéma de la figure 3.6.
Figure 3.6 Schéma thermique pour le dimensionnement de la résistance équivalente Req
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑅𝑡𝑖 + (𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1) ∗ 𝑅𝑝1𝑐𝐿 𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1 + 𝑅𝑝1𝑐𝐿 + 𝑅𝑑 ∗ 𝑅𝑑𝑐𝐿 (𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1) ∗ 𝑅𝑝1𝑐𝐿 𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1 + 𝑅𝑝1𝑐𝐿 + 𝑅𝑑 + 𝑅𝑑𝑐𝐿 (3.11) (𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1) ∗ 𝑅𝑝1𝑐𝐿 𝑅𝑒𝑞 + 𝑅𝑝1 + 𝑅𝑝1𝑐𝐿 = 𝑅𝑑 ∗ 𝑅𝑑𝑐𝐿 − (𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑅𝑡𝑖) ∗ (𝑅𝑑𝑐𝐿 + 𝑅𝑑) 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑅𝑡𝑖 − 𝑅𝑑𝑐𝐿 = 𝐶1 (3.12) 𝑅𝑒𝑞 =𝐶1 ∗ (𝑅𝑝1 + 𝑅𝑝1𝑐𝐿) − (𝑅𝑝1 ∗ 𝑅𝑝1𝑐𝐿) 𝑅𝑝1𝑐𝐿 − 𝐶1 (3.13)
Nous obtenons donc une résistance thermique𝑅𝑒𝑞 =6 °C/W. D’autre part, le modèle thermique de la résistance Req est présenté par la figure 3.7. D’abord, nous exprimons 𝑅𝑒𝑞 en fonction des résistances thermiques qui la compose. L’expression est donnée par les équations 3.14 et 3.15. Ensuite, nous déduisons l’équation 3.16 qui relie les résistances thermiques modélisant le matériau piézoélectrique et le cylindre de compression.
Figure 3.7 Schéma thermique distribué de la résistance équivalente Req
𝑅𝑒𝑞 = (𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧) ∗ 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿 𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿 + 𝑅𝑐𝑦 ∗ 𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿 (𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧) ∗ 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿 𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿 + 𝑅𝑐𝑦 + 𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿 (3.14) 𝑅𝑝2𝑡 = (𝑅𝑝2 + 𝑅𝑝2, 𝑐) ∗ 𝑅𝑝2𝑐𝐿 𝑅𝑝2 + 𝑅𝑝2𝑐 + 𝑅𝑝2𝑐𝐿 , (3.15) Où 𝑅𝑝2𝑡 est appelé la résistance équivalente de la plaque rigide 2
(𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧) ∗ (𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿) ∗ (𝑅𝑒𝑞 − 𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿) + (𝑅𝑒𝑞 ∗ (𝑅𝑐𝑦 + 𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿) − 𝑅𝑐𝑦 ∗ 𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿) ∗ (𝑅𝑝2𝑡 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧 + 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿) = 0
(3.16)
Avec une épaisseur de 1.3 mm de la plaque rigide 2 en Chrome, la résistance thermique 𝑅𝑝2𝑡 est déterminée. Il suffit de déterminer les hauteurs du disque piézoélectrique et du cylindre de compression de façon à satisfaire l’équation 3.16. Pour ce faire, nous supposons une relation de proportionnalité entre l’épaisseur du disque piézoélectrique ‘ℎ𝑝𝑖𝑒𝑧’ et l’épaisseur du cylindre de compression ‘ℎ𝑐𝑦’ donnée par l’équation 3.17 :
ℎ𝑝𝑖𝑒𝑧 = 𝑃 ∗ ℎ𝑐𝑦 , (3.17)
Où P est appelé le coefficient positif de proportionnalité
Par suite, nous exprimons les résistances thermiques du disque piézoélectrique et du cylindre de compression en fonction du coefficient P et de la hauteur ℎ𝑐𝑦 :
𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧 = 𝑃 𝜆𝑝𝑖𝑒𝑧 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅 ∗ ℎ𝑐𝑦 , (3.18) 𝑅𝑐𝑦 = 1 𝜆𝑐𝑦 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅 ∗ ℎ𝑐𝑦 , (3.19) 𝑅𝑝𝑖𝑒𝑧𝑐𝐿 = 1 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅 ∗ ℎ𝑐 ∗ 𝑃∗ 1 ℎ𝑐𝑦 , (3.20)
𝑅𝑐𝑦𝑐𝐿 = 1
2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑅 ∗ ℎ𝑐∗ 1 ℎ𝑐𝑦 ,
(3.21)
Où 𝑅 est appelé le rayon des disques
𝜆 est appelé la conductivité thermique d’un matériau ℎ𝑐 est appelé le coefficient de convection
Enfin, en intégrant les équations 3.18, 3.19, 3.20, et 3.21 dans l’équation 3.16, nous obtenons une équation à deux variables (ℎ𝑐𝑦, P). En utilisant les propriétés des matériaux choisis dans la section 2.5, nous résolvons l’équation à deux variables à l’aide de Matlab. Nous traçons la courbe de la variation de l’épaisseur totale (ℎ𝑝𝑖𝑒𝑧𝑜 + ℎ𝑐𝑦) en fonction du coefficient P donnée par la figure 3.8.
Figure 3.8 Courbe de variation de l'épaisseur totale (Disque PZT et Cylindre de compression) en fonction du coefficient P
Nous remarquons dans la courbe de la figure 3.8 un saut à partir d’une épaisseur totale de 5.8 cm. Pour des raisons de stabilités mécaniques et d’encombrement minimal, nous
choisissons cette épaisseur totale qui correspond à une valeur du coefficient P égale à 0.2, à une hauteur du cylindre égale à 4.87 cm et une hauteur du matériau piézoélectrique égale
à 0.97 cm. En somme, les dimensions de tous les composants de notre structure sont regroupées dans le tableau 3.7.
Tableau 3.7 Dimensions des matériaux
Matériau choisi Dimensions
Adhésifs époxyde chargé de nitrure de bore
Épaisseur=0.93mm
Longueur = 44mm, Largeur = 35mm
Plaque-Cuivre Épaisseur = 2mm, Longueur = 44mm, Largeur=35mm
Cylindre –Cuivre Hauteur = 48.7mm, Diamètre = 35mm
Disque-PZT4 Hauteur = 9.7mm, Diamètre = 35mm
Plaque 1-Chrome Épaisseur = 1.3mm, Longueur = 44mm, Largeur = 35mm
Plaque 2-Chrome Épaisseur =1.3mm, Longueur = 48mm, Largeur = 39mm
Simulations analytiques et résultats
Les simulations analytiques représentent le calcul numérique des différentes températures et contraintes mécaniques selon le modèle théorique précédemment établi. Ce calcul est effectué au sein de l’environnement de développement Matlab. En outre, une étude avec la plate-forme Simulink intégrée à Matlab tend à estimer la puissance générée par le générateur à travers une charge résistive. Les paramètres d’intérêts sont la tension à vide générée, la température du cylindre de compression, la température du boitier, la contrainte mécanique exercée sur le matériau piézoélectrique et la puissance récupérée par le générateur.
• Détermination des paramètres de sortie
En implémentant les modèles théoriques sous forme de script Matlab, nous déterminons les paramètres de sortie en fonction de la puissance d’entrée présentés dans le tableau 3.8.
Tableau 3.8 Paramètres de sortie du modèle théorique Paramètres de sortie Puissance d’entrée (W) Tension à vide (KV) Température du cylindre (°C) Température du boitier (°C) Contrainte (MPa) 1 2.2659 30.2974 31.6213 -9.2994 2 4.5318 35.5948 38.2426 -18.599 3 6.7976 40.8922 44.864 -27.898
• Étude de la puissance développée
Dans l’intention d’estimer la puissance récupérée par le générateur piézoélectrique développé,
nous utilisons la plate-forme de simulation Simulink intégrée à Matlab. Nous réalisons le modèle Simulink basé sur la modélisation théorique développée dans la section 2.4.
Subséquemment, nous étudions la puissance générée dans un circuit de charge résistive. En effet, nous nous intéressons au niveau de puissance récupéré pour un seul pic de tension tout en négligeant l’effet cyclique réel de la génération liée à une puissance dissipée variable dans le temps. Pour ce faire, la source de tension alternative du modèle théorique est un générateur d’impulsion qui débite un courant à travers le circuit RC. La résistance de charge est montée en parallèle avec la résistance de fuite comme le montre la figure 3.9.
Figure 3.9 Schéma de simulation développé sous Matlab-Simulink du générateur piézoélectrique
La puissance moyenne générée ‘𝑃 ’ est définie par le produit de la moyenne quadratique de la tension ‘𝑉 ’ et de la moyenne quadratique du courant ‘𝐼 ’ générés par le PZT (Faisal, 2016) suivant l’équation 3.22 :
𝑃 = 𝑉 ∗ 𝐼 (3.22)
Tiré de Faisal (2016, p99)
-Estimation de la résistivité volumique du PZT-4
La théorie de la piézoélectricité ne tient pas compte de la fuite des charges électriques accumulées sur le matériau piézoélectrique. Ces fuites sont dues à la résistance ohmique interne qui devient prédominante lors d’une opération en basses fréquences. L’effet des courants de fuites générés est modélisé par une résistance en parallèle appelée résistance de fuites ou résistance d’isolement. Cette résistance interne permet une décharge de la capacité modelée du matériau piézoélectrique lors d’une application prolongée d’une même contrainte. En hautes fréquences, cet effet est négligeable puisque le taux de changement des charges accumulées sur les électrodes suite à des contraintes mécaniques variables est plus rapide que la constante du temps de la décharge par résistance de fuite (Stevenson et al., 2015). Dans notre étude, nous estimons la valeur de la résistance de fuite du PZT-4 à partir de la résistivité du matériau (équation 2.12). En effet, la résistivité est une fonction de la fréquence d’excitation et de la température. Elle diminue considérablement avec l’augmentation de la fréquence ce qui explique que les pertes par conduction sont négligées en hautes fréquences. De surcroit, pour une même fréquence, la résistivité décroit considérablement au-delà d’une certaine température comme le montre la figure 3.10 (Hooker, 1998).
Figure 3.10 Variation de la résistivité du PZT-4 en fonction de la température pour différentes fréquences
Tirée de Hooker (1998, p10)
Pour de faibles fréquences (« 0.01Hz), l’étude réalisée par Stevenson et al. (2015) résume différentes valeurs de la résistivité volumique en fonction de la température de certains matériaux piézoélectriques rencontrés dans la littérature données dans la figure 3.11.
Figure 3.11 Variation de la résistivité en fonction de la température pour plusieurs matériaux piézoélectriques
Nous remarquons que pour une température de 97 °C (~2.7 dans la figure 3.11), la résistivité volumique du PZT-4 est de l’ordre de 108 (Ωm). De plus, d’après l’étude de Berlincourt, Krueger, et Near (2000) de la société Morgan Electro Ceramics, la résistivité volumique de leurs céramiques de type PZT-4 est de 108.5 (Ωm) pour 100 °C. Ainsi, pour des fins pratiques, la valeur de 108.5 (Ωm) est adoptée pour calculer la résistance de fuites.
-Estimation de la puissance théorique récupérée
Pour une puissance d’entrée de 3W et en variant la valeur de la résistance de charge, nous déterminons la charge optimale correspondant à la puissance moyenne générée ‘𝑃 ’ la plus élevée. Les valeurs des paramètres de la simulation sont calculées suivant les formules théoriques et la puissance récupérée en fonction de la résistance de charge est donnée dans le tableau 3.9. La courbe de la variation est présentée par la figure 3.12 avec les valeurs des paramètres utilisés sont : Cs= 1.1411 *10-9 (F) ; Va(P=3W)= 6.7976 *103 (V) ; Rloss(f=1Hz, tanδ=0.6)=8.3682 *107 (Ω) ; Rleakage = 3.1882 *109 (Ω).
Tableau 3.9 Recherche de la charge optimale
Rc[e7] 0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 6.5
P[mW] 0.65 6.4 52.4 85.1 105.8 118.8 126.8 131.4 132.8
Rc[e7Ω] 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 100
Figure 3.12 Adaptation de charge résistive: courbe de variation de la puissance en fonction
de la résistance de charge
Nous déduisons que pour une charge résistive de Rc=80 MΩ, la puissance récupérée est optimale. De ce fait, pour cette charge optimale, nous calculons la puissance récupérée suivant la puissance d’entrée dissipée. Le tableau 3.10 résume les résultats.
Tableau 3.10 Puissances générées pour différents niveaux de la puissance dissipée
Puissance d’entrée (W) 0.1 1 2 3
Puissance récupérée (mW) 0.1495 14.9 59.8 134.5
Rendement (%) 0.1495 1.49 2.99 4.48
Nous remarquons que le rendement de notre générateur n’est pas constant. Il atteint un maximum pour la limite de 3W de chaleur dissipée utilisée dans notre application (section 2.2). Nous expliquons ce phénomène qualitativement. En effet, pour les faibles puissances dissipées, presque tout le flux thermique est soit dissipé dans l’air soit emmagasiné sous forme de chaleur sensible suite au passage consécutif par les deux plaques métalliques : Diffuseur et Plaque rigide 1. La faible résistance thermique de ces plaques est suffisante pour dissiper tout le flux entrant. Par suite, le cylindre de compression reçoit un pourcentage minime de la chaleur d’entrée pour se dilater et pour exercer d’effort sur le PZT. En augmentant la puissance
dissipée, la résistance thermique des plaques est insuffisante pour dissiper le flux thermique entrant. Un pourcentage plus élevé de ce flux atteint le cylindre de compression. Ce qui implique une meilleure récupération de la chaleur et un rendement de conversion plus élevé.
Conclusion
A travers ce chapitre, nous avons réalisé une étude des matériaux pour dimensionner le système entier. Nous avons proposé une structure capable de récupérer les pertes thermiques des circuits électriques avec une dissipation maximale de 3W. La réponse du générateur est prometteuse dans la mesure où le rendement théorique maximal atteint 4.48% avec une puissance récupérée de 134.5 mW tout en respectant les contraintes thermiques et mécaniques. La réponse du générateur se base sur le modèle analytique développé. C’est un modèle comportemental qui tient compte des différents phénomènes physiques étudiés mais reste un calcul ponctuel que nous devons vérifier sa robustesse. Par conséquent, nous réalisons dans le chapitre suivant une simulation multiphysique plus précise avec une modélisation numérique par éléments finis. Elle représente le générateur concret avec une interaction entre les phénomènes physiques.