Choix d’un algorithme de filtrage spectral en 3D : FFT ou filtres

T_ψ²₁[f] +T_ψ²₂[f] +T_ψ²₃[f]¢1/2

. (3.10)

La figure 3.1 pr´esente l’organigramme des diff´erentes ´etapes de calcul qui composent la m´ethode MMTO 3D.

3.2.2 Choix d’un algorithme de filtrage spectral en 3D : FFT ou filtres r´ ecursifs

Dans le domaine de l’analyse d’image et de la vision par ordinateur, de nombreux travaux ont ´et´e consacr´es aux techniques dites multi-r´esolution [35] qui consistent principalement en une s´erie de convolutions avec des versions dilat´ees d’un mˆeme op´erateur. Dans ce travail de th`ese, nous ne consid´ererons comme filtres que la Gaussienne et le chapeau mexicain, de sorte que seules la Gaussienne et ses d´eriv´ees d’ordre 1, 2 ou 3 interviendront dans le calcul de la transform´ee en ondelettes 3D. Le temps de calcul ´etant un param`etre important lorsque l’on fait un analyse multir´esolution, nous nous limiterons `a deux types de filtrage sp´ecialement efficaces : les filtres r´ecursifs et la FFT. En particulier, nous suivrons la mise

3.2 Traitement d’image 3D par transform´ee en ondelettes continue 81

champ 3D original

surfaces MMTO

Transformée en Ondelettes Continue 3D

Détection des maxima locaux du module de la TO le long des surfaces MMTO :

MMMTO

squelette de la TO

Analyse multifractale

(q) et D(h)

τ

spectres

Calcul des fonctions de partition : Calcul des Maxima du Module de la TO :

Chaînage des MMMTO dans les échelles :

Fig. 3.1: Organigramme de la m´ethode MMTO 3D

en œuvre de la technique de filtres r´ecursifs pour la Gaussienne propos´ee par Deriche [218]

et dont on peut trouver le code en language C sur le site de G. Malandain^‡. Nous nous emploierons `a modifier ce code pour permettre le filtrage par le chapeau mexicain. Ainsi nous pourrons effectuer une ´etude comparative de ces deux m´ethodes de calculs (FFT et filtres r´ecursifs) de la transform´ee en ondelettes 3D. Dans la sous-section 3.2.5 nous nous attacherons `a l’´evaluation des temps de calcul, et nous comparerons les deux m´ethodes en termes de qualit´e en examinant les surfaces de maxima.

Rappelons que la technique des filtres r´ecursifs consiste `a approcher, dans le domaine spatial, le filtre Gaussien par une famille param´etr´ee de filtres exponentiels. Ainsi le filtre

‡http ://www-sop.inria.fr/epidaure/personnel/malandain/segment/edges.html

82 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests Gaussien 1D donn´e par :

gσ(x) =e^−x2/2σ2, (3.11)

est bien approch´e, pourx≥0, par le filtre RII (`a R´eponse Impulsionnelle Infinie) suivant : hσ(x) = (a0cos(ω0 classique d’optimisation, la m´ethode du Simplex ou la m´ethode de Powell [219] par exem-ple, l’int´erˆet ´etant que ces param`etres ne n´ecessitent pas d’ˆetre recalcul´es `a chaque ´echelle.

La qualit´e de l’approximation est estim´ee par l’erreur quadratique moyenne [207, 220] :

²² = P10σ

i=1(gσ(i)−hσ(i))² P10σ

i=1gσ(i)² . (3.13)

La fonction de transfert correspondante (c.-`a-d. la transform´ee en z de la partie positive de ce filtre) s’´ecrit alors [218] :

F(z⁻¹) = n₀₀+n₁₁z⁻¹+n₂₂z⁻² +n₃₃z⁻³

1 +d11z⁻¹+d22z⁻²+d33z⁻³+d44z⁻⁴ , (3.14) o`u les coefficientsnii etdii sont li´es d’une mani`ere simple aux param`etres de hσ(x) [218] :

n33 =e^{−b1 +2σb0} ³

On obtient finalement une ´equation r´ecurrente d’ordre 4 stable entre l’entr´ee (xk) et la sortie (y_k) de ce filtre unidimensionnel (k = 1, ..., N) :

y_k=n₀₀x_k+n₁₁x_k−1+n₂₂x_k−2+n₃₃x_k−3−d₁₁y_k−1−d₂₂y_k−2−d₃₃y_k−3−d₄₄y_k−4 . (3.17)

3.2 Traitement d’image 3D par transform´ee en ondelettes continue 83 Remarquons que l’on peut ais´ement adapter ces ´equations pour traiter le cas d’une r´eponse impulsionnelle non-causale, correspondant `a des filtres sym´etriques. Nous renvoyons au travail original de Deriche [218, 221] pour le d´etail de la conception.

Cette technique est particuli`erement bien adapt´ee aux filtres `a variables s´epar´ees, et dans le cas 3D, elle revient `a appliquer successivement trois filtres unidimensionnels associ´es aux directions x, y et z, pour chaque composante de la transform´ee en ondelettes (Eq. (3.7)).

Dans le cas de la fonction lissante Gaussienne (Eq. (3.5)),G(x, y, z) = g⁽⁰⁾(x)g⁽⁰⁾(y)g⁽⁰⁾(z), l’op´erateur gradient peut s’´ecrire sous la forme vectorielle :

−

o`ug<sup>(n)</sup>(x) est la d´eriv´een<sup>i`eme</sup>de la Gaussienne 1D g⁽⁰⁾(x). Chaque composante est obtenue en lissant parg⁽¹⁾ suivant une direction et parg⁽⁰⁾ suivant les deux autres directions. Ainsi

`a chaque filtre g⁽⁰⁾ oug⁽¹⁾ correspond un jeu de coefficients a0, a1, b0, b1,ω0, ω1, α0 etα1. Notons que plus l’ordre de d´erivation est ´elev´e (fonction de plus en plus oscillante), plus l’erreur quadratique d’approximation (Eq. (3.13)) est importante.

Le cas du chapeau mexicain 3D comme fonction lissante est un peu plus complexe. En r´e´ecrivant l’´equation (3.6) sous la formeM(x, y, z) = (3−|r|²)G(x, y, z), on peut d´emontrer que l’op´erateur gradient s’exprime d´esormais sous la forme :

− On peut remarquer que chaque composante de l’op´erateur gradient chapeau mexicain est une somme de trois termes de type g⁽ⁱ⁾(x)g^(j)(y)g^(k)(z) o`u les indices i, j et k v´erifient i+j +k = 3 ; le point important ´etant que ces termes ne sont pas forc´ement ´equivalents d’un point de vue num´erique. En effet, prenons deux exemples :

– les termes g⁽¹⁾(x)g⁽²⁾(y)g⁽⁰⁾(z) et g⁽¹⁾(x)g⁽⁰⁾(y)g⁽²⁾(z) sont dits ´equivalents car ils met-tent en jeu les mˆemes indicesi, j etk `a une permutation pr`es.

– les termes g⁽¹⁾(x)g⁽²⁾(y)g⁽⁰⁾(z) et g⁽³⁾(x)g⁽⁰⁾(y)g⁽⁰⁾(z) ne sont pas ´equivalents.

Cette remarque est importante car l’erreur quadratique d’approximation n’´etant pas la mˆeme pour chaque filtre g⁽ⁱ⁾, l’erreur globale sur le filtre chapeau mexicain n’est pas bien r´epartie sur chacun des termes g⁽ⁱ⁾(x)g^(j)(y)g^(k)(z) d’une mˆeme composante. De ce fait, le gradient chapeau mexicain requiert une attention sp´eciale dans la d´etermination des coefficients d’approximation. En particulier, nous n’avons pas suivi la m´ethode d’estima-tion globale des param`etres propos´ee dans la r´ef´erence [220], et nous avons recalcul´e les coefficients ai, bi, ci etωi pour ˆetre sˆur que les termes soient bien ´equilibr´es.

Nous allons voir dans les sections suivantes que l’ondelette Gaussienne peut tout `a fait ˆetre mise en œuvre par la technique des filtres r´ecursifs, avec une qualit´e et un temps

84 M´ethode MMTO 3D : m´ethodologie et tests d’ex´ecution bien meilleur que par la technique de filtrage par FFT. En revanche, il n’en sera pas de mˆeme pour l’ondelette chapeau mexicain, pour laquelle la technique de filtres r´ecursifs ne permet plus que de gagner 25% de temps de calcul tout en conservant une qualit´e acceptable.

3.2.3 Caract´ erisation de la r´ egularit´ e locale d’un champ 3D ` a l’aide