Charge d’un lien longue-distance pour une

Pour cette section, on se donne n, ω > 1 ainsi qu’une source s et une cible t pour le routage de E_ω dans ~K1,n et l’on notem = ~δ(s, t). Du fait de la difficult´e de l’analyse de la charge pour cet algorithme, nous nous restreignons au cask = 1. Nous commenc¸ons par calculer d’une part la probabilit´e qu’une fenˆetre d’ex-ploration F soit en ´echec (lemme 3.9) et d’autre part celle qu’un lien longue-distance soit le meilleur d’une fenˆetre donn´ee (lemme 3.10). En calculant ces deux probabilit´es pour toutes les positions possibles d’une fenˆetre, nous pourrons cal-culer la probabilit´e qu’un lien longue-distance de longueur et d’origine donn´ees appartienne au chemin calcul´e par E_ω entre s et t (proposition 3.11).

Lemme 3.9 Soit x le porteur courant du message, on notex = ~δ(s, x). Pour tout 0 6 x 6 m− ω − 1, la probabilit´e Echec(x, m) que la fenˆetre d’exploration F

enracin´ee en x soit en ´echec est :

Echec(x, m) =  1− ^Hm−ω−x Hn ω−1 Y y=0  1− ^{Hm−y−x− Hω−y} Hn  .

Preuve. La fenˆetreF = [x, x + ω] est en ´echec si et seulement si tous les contacts longue-distance des noeuds deF sont hors de l’intervalle [s + x + ω + 1, t]. Soit encore : si pour tout noeud y deF , `a distance y 6 ω de x, son lien longue-distance est de longueur sup´erieure stricte `am− y − x ou inf´erieure stricte `a ω − y + 1. D’apr`es le fait 3.5, la probabilit´e de cet ´ev´enement est ´egale `a :

 1− ^{Hm−y−x− Hω−y} Hn  siy 6= ω,  1− ^Hm−ω−x Hn  siy = ω.

Les liens longue-distance des noeuds deF ´etant tir´es ind´ependamment, la pro-babilit´e de l’intersection de ces ´ev´enements est le produit de ces propro-babilit´es. 

3.2 : Charge de deux algorithmes d´ecentralis´es 81

Lemme 3.10 Soit x ∈ [s, t] l’origine d’un lien longue-distance L de longueur ℓ, on note x = ~δ(s, x). La probabilit´e conditionnelle M eilleur(i, x, ℓ, m) que L appartienne au chemin calcul´e par l’algorithme Eω de s `a t, sachant qu’une fenˆetre d’exploration est enracin´ee en y = x− i avec 0 6 i 6 ω, vaut :

M eilleur(i, x, ℓ, m) = 0 si ℓ 6 ω− i ou ℓ > ω − x, M eilleur(i, x, ℓ, m) = ω X α=0 h _X j1<···<jα∈{0,...,ω}\{i} 1 α + 1 α Y q=1  1 (ℓ + i− jq)Hn  × Y j∈{0,...,ω}\{i,j1,...,jα}  1− ^Hm−x+i−j_H^{− Hi−j+ℓ−1} n  i sinon. Preuve. L’´ev´enement consid´er´e ne d´epend que de l’ensemble des longueurs des liens longue-distance des noeuds de la fenˆetre d’exploration[x− i, x − i + ω].

L appartient au chemin de routage s’il est le meilleur de la fenˆetre. Cela signi-fie que son contact longue-distanceL(x) appartient `a [x− i + ω + 1, t] et est plus proche de t que les autres contacts de la fenˆetre qui appartiennent `a[x−i+ω+1, t]. Siℓ 6 ω−i ou ℓ > ω−x, L(x) n’appartient pas `a [x−i+ω+1, t] et la probabilit´e est nulle.

Supposons maintenant que L(x) appartient `a [x − i + ω + 1, t]. On peut d´ecomposer cet ´ev´enement en une union de ω + 1 ´ev´enements disjoints Eα, 0 6 α 6 ω, en fonction du nombre de liens ex-aequo avec L. Pour tout 0 6 α 6 ω, Eα est l’´ev´enement « α noeuds de [x − i, x − i + ω], distincts de x, ont le mˆeme contact longue-distanceL(x) que x, aucun des ω− α autres noeuds de la fenˆetre n’a son contact longue-distance dans[L(x), t], et L est choisi comme meilleur parmi les ex-aequo ». On remarquera que la probabilit´e que L soit choisi uniform´ement lorsqu’il y aα autres liens ex-aequo est 1/(α + 1).

Chaque Eα se d´ecompose `a son tour en une somme d’´ev´enements disjoints Ej1,...,jα, chacun correspondant `a la restriction deEα `a un des placements possibles 0 6 j1 < . . . < jα 6ω, jq 6= i pour tout 1 6 q 6 α, des α origines xjq des liens ex-aequo dans la fenˆetre, o`u ~δ(s, xjq) = x− i + jq. La figure 3.9 illustre ces notations dans le cas o`uα = 2 ; les noeuds de la fenˆetre sont gris clair et les ex-aequo sont gris fonc´e.

Comme il s’agit d’´ev´enements disjoints, on a : M eilleur(i, x, ℓ, m) = ω X α=0 X j1<···<jα∈{0,...,ω}\{i} 1 α + 1· Pr Ej1,...,jα.

L’´ev´enementEj1,...,jα est l’intersection des ´ev´enementseq: « L(x− i + jq) = L(x) », pour tous les indices q tels que 1 6 q 6 α, et des ´ev´enements e′

x L(x) i

ω

en dehors de l’intervalle[L(x), t] » pour tous les autres indices j ∈ {0, . . . , ω} \ {i, j0, . . . , jα}. Par d´efinition de la distribution, on a, pour tout 1 6 q 6 α :

Pr eq = ¹

(ℓ + i− jq)H_n^,

et, `a l’aide du fait 3.5, on obtient, pour toutj ∈ {0, . . . , ω} \ {i, j0, . . . , j_α} : Pr e^′_j = 1− ^Hm−x+i−j_H^{− Hi−j+ℓ−1}

n

.

Comme les liens sont tir´es de fac¸on ind´ependante, on peut faire le produit de ces probabilit´es, ce qui conduit au r´esultat. 

Proposition 3.11 Soit x l’origine d’un lien longue-distanceL de longueur ℓ et

notonsx = ~δ(s, x). Soit Racine(r, m) la probabilit´e que le noeud r, avec r =

~δ(s, r), soit la racine d’une fenˆetre d’exploration de Eω lors du routage de s vers

t.

La probabilit´ee(x, ℓ, m) que L appartienne au chemin calcul´e par Eω de s `a

t est : e(x, ℓ, m) = 0 si x∈ {m − ℓ + 1, . . . , n}, e(x, ℓ, m) = M eilleur(x, x, ℓ, m) si x∈ {0, . . . , ω}, e(x, ℓ, m) = ω X i=0 h Racine(x− i, m) · Meilleur(i, x, ℓ, m)ⁱ six∈ {ω + 1, . . . , m − 1},

3.2 : Charge de deux algorithmes d´ecentralis´es 83

o`u l’on a, pour tout0 6 r 6 m− ω :

Racine(r, m) = Racine(r− ω, m) · Echec(r − ω, m) + r−1 X j=0 e(j, r− j, m) (r− j)Hn sir > ω, = 0 si r ∈ {1, . . . , ω − 1}, = 1 si r = 0.

Preuve. Six est strictement sup´erieur `a m− ℓ, L(x) est au-del`a de t et L n’ap-partient jamais au chemin de routage ; la probabilit´e est donc nulle.

Si 1 6 x 6 ω, x appartient `a la premi`ere fenˆetre d’exploration de Eω, enra-cin´ee en s. Par d´efinition de la fonctionM eilleur du lemme 3.10, la probabilit´e queL soit sur le chemin est donc M eilleur(x, x, m).

Supposons `a pr´esent x ∈ {ω + 1, . . . , m − ℓ}. On note Ex,ℓ,m l’´ev´enement associ´e `a la probabilit´e e(x, ℓ, m) et Rr,m l’´ev´enement associ´e `a la probabilit´e Racine(r, m). L appartient au chemin de routage si et seulement si x appartient `a une fenˆetre d’exploration du routage et s’il est le meilleur lien longue-distance de cette fenˆetre. On peut alors d´ecomposere(x, ℓ, m) en probabilit´es conditionnelles selon la position de la racine de l’exploration `a laquelle x appartient :

e(x, ℓ, m) =

ω

X

i=0

Pr (Ex,ℓ,m| Rx−i,m))· Racine(x − i, m). D’apr`es la d´efinition de la fonctionM eilleur du lemme 3.10, on a :

Pr{Ex,ℓ,m| Rx−i,m} = Meilleur(i, x, ℓ, m).

Il reste `a ´evaluerRacine(x− i, m). Le noeud y = x − i est la racine d’une fenˆetre d’exploration de E_ω si :

– soit c’est l’extr´emit´e d’un lien longue-distance du chemin de routage (´ev´enementR1

x−i,m) ;

– soit le noeud y− ω est la racine d’une fenˆetre d’exploration et cette explo-ration est en ´echec (´ev´enementR2

x−i,m). Comme ce sont des ´ev´enements disjoints, on a :

Racine(x− i, m) = Pr R1

x−i,m+ PrR2 x−i,m. On peut d´ecomposerR1

x−i,m en l’union dex− i ´ev´enements disjoints correspon-dant auxx−i positions j possibles de l’origine du lien longue-distance du chemin de routage dont y est le contact longue-distance,0 6 j 6 x−i−1. Ils sont chacun de probabilit´e e(j, x− i − j, m), pour 0 6 j 6 x − i − 1, puisque la longueur

d’un tel lien estx− i − j. Par ailleurs, la probabilit´e que ce lien soit de longueur x− i − j est 1/((x − i − j)Hn), on obtient : PrR1 x−i,m = x−i−1 X j=0 e(j, x− i − j, m) (x− i − j)Hn . D’apr`es la d´efinition deEchec donn´ee par le lemme 3.9, on a :

PrR²_x−i,m = Racine(x− i − ω, m) · Echec(x − i − ω, m),

puisque l’´ev´enement que x− i − ω soit la racine d’une fenˆetre d’exploration est ind´ependant du tirage des liens longue distance situ´es sur[x− i − ω, t].

Enfin, on initialise la r´ecurrence surRacine grˆace aux ω premi`eres valeurs qui ne sont pas al´eatoires puisque :

– s est toujours la racine de la premi`ere fenˆetre d’exploration (Racine(0, m) = 1) ;

– aucun noeud de cette fenˆetre n’est susceptible d’ˆetre la racine d’une fenˆetre suivante durant l’ex´ecution de E_ω (Racine(r, m) = 0 pour tout r ∈ {1, . . . , ω}).