Les charges reçues par les chaussées sont d’ordinaires modélisées sous forme statique [4]. Cette modélisation est due au fait que l’AASHTO a eu à montrer que la déflexion de la chaussée diminue avec l’augmentation de la vitesse [11]. Mais l’évolution que l’on note dans le domaine de la conception des chaussées et des automobiles allant à grande vitesse, amène des effets d’inertie.
Pour Sun, la différence fondamentale entre les approches dynamique et statique de charge est la prise en compte de l’effet d’inertie dans la première. De même la réponse dynamique des plaques minces sous charges roulantes est importante non seulement dans le dimensionnement des chaussées mais aussi pour d’autres applications. Par exemple Uzan et Lytton (1990) l’ont utilisé pour étudier l’évaluation non destructive des chaussées et aussi pour le pesage des véhicules lors de leur mouvement [3].
Ainsi, depuis plus d’une décennie plusieurs travaux ont été réalisés pour évaluer la réponse dynamique des chaussées. Par exemple Lu Sun en 2001, a modélisé la chaussée sous forme de poutre reposant sur un sol élastique. Il a utilisé la théorie des équations différentielles partielles pour transformer la solution sous forme de convolution de la fonction de Green de la poutre. Ensuite les propriétés de fonctions complexes sont utilisées pour délimiter les contours des pôles dans le domaine complexe. Ces pôles trouvés, le théorème des résidus est utilisé pour obtenir la forme analytique de la réponse dynamique. Il a démontré à partir de ce modèle que la valeur maximale de la déflexion apparaît derrière la charge mobile expliquant que cela est dû au fait que l’effet du coefficient d’amortissement est retardé. De plus se basant sur les travaux de Roesset (1995) il a constaté qu’il existe une vitesse critique à laquelle la valeur du déplacement est maximale. L’expression de cette vitesse étant donnée par :
(3.1)
Avec K, le module du sol ; EI, la rigidité de la poutre et m, la masse linéaire de la poutre. De plus le déplacement croit avec la vitesse dans le cas subcritique et décroit
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pour des vitesses supercritiques. Il y a donc une bifurcation autour d’une vitesse critique qui dans le cadre de ce travail est autour de 128,5 m/s (largement supérieure aux cas les plus rencontrés sur les chaussées mais limites pour les chemins de fer).
Ces résultats sont intéressants et amènent plus à se pencher sur l’étude dynamique. Seulement que le modèle de poutre est moins représentatif de la chaussée qui est souvent assimilée à une plaque isotrope ou orthotrope, mince ou épaisse.
Sun a donc essayé de vérifier la transposition de son travail antérieur du modèle de poutre à celui de plaque mince sur sol élastique simple de type Winkler et Viscoélastique de type Kelvin. En 2005, Sun a présenté la formulation d’une plaque à dimensions infinies (sans les conditions aux limites) sur une fondation élastique, soumise à une charge mobile ponctuelle et linéaire d’amplitude et de vitesse constante [3]. La transformation de Fourier a été utilisée et la solution de l’intégration est obtenue par la formule des résidus. Les expressions des déplacements ont été obtenues pour les charges mobiles avec des vitesses subsoniques, transsoniques et supersoniques. Il a été remarqué que la réponse maximale de la plaque apparait en dessous des charges mobiles et évolue à la même vitesse. Il a été montré que la vitesse critique existe et si la charge évolue à cette vitesse, le déplacement de la plaque devient infini en amplitude. Mais ce modèle présente des imperfections au nombre desquelles :
toutes les formulations obtenues sont basées sur l’hypothèse d’une plaque infinie ; les plaques avec discontinuité et à largeur finie peuvent être explorées.
aussi peut-on étudier le cas de vitesses variables prenant en compte l’accélération et la décélération des véhicules et l’atterrissage et le décollage des avions.
enfin le modèle de sol utilisé est surtout trop limité.
Pour corriger cet état de chose, déjà en 2007, Sun a introduit le coefficient d’amortissement dans l’équation différentielle se basant sur le fait que la réponse du sol ne peut être parfaitement élastique [4]. Dans ce travail, la transformation rapide de Fourier et l’analyse complexe ont été utilisées pour étudier la réponse des plaques sur
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sol viscoélastique et sous une charge harmonique. Le modèle de sol utilisé est donc de type Kelvin avec les paramètres K et C caractérisant respectivement l’élasticité et l’amortissement dans le sol. Dans ce cas la force de rétablissement du sol est définie par :
(3.2)
Ainsi l’équation gouvernante du système plaque-sol devient :
(3.3) La résolution complexe de cette équation différentielle partielle par les transformées de Fourier donne la fonction de Green. Comme dans le cas des poutres, la fréquence de résonance et la vitesse critique ont été obtenues analytiquement. A cette vitesse, une bifurcation a été notée : une branche de la vitesse critique croit avec la fréquence alors que l’autre croit inversement avec la fréquence. Deux vitesses critiques apparaissent à faible fréquence mais pour des fréquences élevées, on observe une seule vitesse. A l’issu de cette étude, il est aussi remarqué que le coefficient d’amortissement influence considérablement la réponse dynamique de la chaussée. Il retarde l’effet de la charge, donc la valeur maximale du déplacement apparaît après le passage de la charge.
Les études réalisées jusqu’alors ont utilisé le modèle amorti ou non, bien connu de fondation développé par Winkler qui suppose la fondation comme des ressorts discrets indépendants et dont la rigidité est connue sous le nom de module de réaction de sol et généralement noté k. Donc ce modèle physique néglige les interconnections entre les couches de sol et impose en conséquence de sérieuses limites à ce dernier.
Ceci peut être amélioré en modélisant la fondation comme une couche bi-paramétrique moyenne dans le but d’induire les interactions transversales entre les ressorts.
Ainsi, Rahman a modélisé la chaussée rigide comme une plaque épaisse reposant sur une fondation de type Pasternak-Vlassov [5], en utilisant la méthode des éléments finis pour la modélisation numérique. Les conclusions auxquelles ils sont arrivés sont les suivantes :
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pour les charges passant au bord de chaussée selon le modèle Winkler les déflexions et les contraintes sont considérablement élevées au coin plus qu’au centre du bord. Cependant pour le modèle bi-paramétrique il y a très peu de différence entre ces deux valeurs.
les déflexions et contraintes sont largement élevées sur le massif de Winkler que sur le modèle bi-paramétrique. Il pourrait donc avoir un surdimensionnement des structures modélisées suivant l’approche Winkler.
les modèles à oscillation libre donnent des valeurs élevées relativement au modèle amorti du fait de la large vibration libre des premiers modèles.
les résultats de l’analyse statique sont beaucoup plus faibles comparés à ceux de l’analyse dynamique ;
l’effet du changement de vitesse est trouvé insignifiant dans le sol de type Pasternak et même non uniforme ;
les déflexions et contraintes dépendent considérablement de la rigidité de la fondation.
L’étude de la réponse dynamique des plaques reposant sur des fondations élastiques telles que celles de type Pasternak et Kerr soumises à des charges mobiles est importante, puisqu’elle pourrait contribuer à la compréhension approfondie du comportement dynamique des chaussées [2]. En général, les charges sur ces types de structures sont dynamiques, par exemple des charges mobiles des véhicules. L’analyse statique et celle des oscillations libres des plaques sur fondation élastique ont reçu d’attentions considérables dans la littérature.
Récemment, Alisjahbana et Wangsadinata (2009) ont étudié les chaussées rigides modélisées comme une plaque orthotrope et supportées par un sol de type Winkler. Les charges dynamiques du trafic sont considérées et les effets de la vitesse de la charge, l’amortissement et le spectre de réponse du système sont détaillés et bien discutés. Dans cette étude, la charge aux essieux des véhicules est considérée comme une charges concentrée variant de façon harmonique et allant à vitesse constante sur la chaussée (considérée comme supportée simplement aux extrémités). Pour cette
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plaque simplement supportée, la pulsation est donnée sous la forme et , où, a et b sont les dimensions de la plaque dans les deux directions x et y ; m et n sont des entiers naturels, définissant le nombre de mode donc de demie onde. Ils ont ensuite présenté le cas d’une plaque rectangulaire orthotrope amortie reposant sur une fondation de type Pasternak et encastrée aux extrémités et sous charges dynamiques.
La fondation de type Pasternak est plus évoluée que celle de type Winkler. Pour cette plaque encastrée, la pulsation est donnée sous forme et , où p et q sont des nombres réels qui ont été obtenus à partir d’un système de deux équations transcendantales, obtenues de la résolution des deux problèmes auxiliaires types de Lévy. C’est la méthode de Bolotin modifiée [2]. La charge mobile du trafic est exprimée comme une charge concentrée d’amplitude variant de façon harmonique, et évoluant le long de la plaque à vitesse constante. La réponse dynamique de la plaque est obtenue sur la base des propriétés d’orthogonalité des fonctions Eigen. Un exemple numérique est donné, démontrant l’applicabilité de la théorie aux chaussées sous les conditions réelles de chargement. Cependant, il est espéré que cette approche dynamique des charges nous offre beaucoup de solutions économiques comparativement à celles obtenues de l’approche statique conventionnelle.
Dans l’application de la réponse dynamique des plaques orthotropes, la fondation élastique modélisée comme un sol de type Pasternak est plus représentative de la condition réelle du sol [2]. Mais elle nécessite un traitement analytique avancée du problème de réponse dynamique. Le modèle de Pasternak inclut une couche de cisaillement entre les ressorts, mis le long de la plaque et placées sur les ressorts. Cette couche ne se déforme que sous les charges transversales. Ainsi, dans ce modèle les déformations en compression et en cisaillement du sol sont simultanées. La solution homogène du problème est obtenue par la méthode de séparation des variables. La solution du problème dynamique est donnée en se basant sur les propriétés des fonctions propres. La solution générale de la réponse de la plaque aux charges dynamiques sous forme intégrale est obtenue des propriétés spécifiques de la fonction Delta de Dirac et est de la forme :
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∑ ∑ (3.4) Très récemment, Oni se penchant sur les travaux de Gbadéyan a considéré la charge plutôt comme une masse mobile au lieu de la modélisation usuelle sous forme de charge mobile. Il a ainsi étudié la réponse dynamique d’une plaque rectangulaire simplement appuyée portant une masse mobile, reposant sur sol de type Winkler [6].
Les résultats obtenus par Oni et al. ont montré que les amplitudes des réponses de la plaque évoluent inversement au facteur de correction de l’inertie rotatoire. Donc la solution de la force mobile n’est pas une approximation sécuritaire vis-à-vis de celle du problème de masse mobile. D'où la sécurité de l'ouvrage n'est pas garantie pour une conception basée seulement sur la force mobile, c'est-à-dire sans considération de la masse mobile [6]. Ces résultats montrent une nécessité de recherche sur le concept de masse mobile.
Wei-Tu a étudié les chaussées flexibles il a, pour ce faire, modélisé les chaussées comme des plaques multicouches en utilisant la formulation en fonction des contraintes de la théorie plaques laminées. La charge a été choisie comme une charge impulsive. C’est résultats sont loin de
En résumé plusieurs travaux ont été effectués concernant les réponses dynamiques des chaussées. Ces dernières sont ordinairement modélisées comme des plaques minces sur un massif de Winkler et sollicitées de façon statique. Ce modèle existant jusqu’à maintenant tend à être dépassé à cause des grandes vitesses des nouveaux types de véhicules qui induisent les effets d’inertie [11].
Au nombre des imperfections du modèle statique on dénote les discontinuités des déplacements que les modèles de Pasternak-Vlassov et Vlassov modifiés corrigent de façon excellente. Aussi a-t-on la charge qui est modélisée de façon statique tandis qu’elle est en réalité mobile. La mesure corrective actuellement plus évoluée est celle de masse mobile. Seulement qu’elle est introduite avec un modèle de sol Winkler limité. Cette étude est intéressante mais le modèle de sol choisi est trop simple et limité. On pourrait donc conduire des travaux avec un modèle de sol plus évolué comme celui bi-paramétrique de Pasternak. Seulement que pour tous les modèles
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utilisés jusque-là l’inertie du sol est considérée négligeable dans les équations gouvernantes du problème. Pourtant dans les pratiques de l’ingénierie, ce n’est toujours pas le cas et ces facteurs peuvent avoir des effets importants sur la réponse dynamique de la plaque [16]. Par ailleurs, LVOVSKY a modifié le sol de Pasternak Vlassov en introduisant l’inertie du sol jusqu’à une hauteur Hs du sol sensible aux forces dynamiques appliquées à la structure. GIBIGAYE dans [18] et [19] a utilisé ce modèle de sol de fondation pour l’étude du comportement des coques de conduite souterraine. Ceci a montré l’influence de l’inertie du sol sur la structure dans son comportement mécanique. Il devient donc important de pouvoir revoir le modèle de sol en y intégrant le paramètre d’inertie du sol. Dans cette lancée, YABI a étudié en 2013 le comportement structural d’une plaque mince sous charge mobile et reposant sur un sol élastique. Son application est axée sur les chaussées rigides. Modélisant les charges sous forme dynamique, la chaussée sous forme de plaque mince de Kirchhoff et le sol sous forme bi-paramétrique de type Pasternak Vlassov avec la prise en compte de l’inertie introduite par LVOVSKY et en utilisant les propriétés d’orthogonalité des fonctions propres et la méthode de Bolotin Modifiée il a obtenu la réponse dynamique de la plaque avec la définition des états de déplacement et les sollicitations.
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Deuxième Partie :
METHODOLOGIE
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Chapitre 4
:Méthode de calcul des plaques
multicouches
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