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ІІІ.1. Introduction :
Dans ce chapitre, nous avons étudié les propriétés mécaniques du nitrure de molybdène (MoN) dans la phase hexagonale en utilisons la méthode DM. Nous commençons tout d’abord par présenter le mode opératoire utilisé pour réaliser nos simulations. Par la suite, nous exposons les résultats obtenus avec une discussion détaillée.
ІІІ.2. Méthode de simulation :
Le simulateur LAMMPS ne possède aucune interface graphique (GUI), ce qui signifie qu’il est nécessaire d’utiliser un fichier dit ‘script’ qui résume tous les commandes nécessaires pour effectuer une simulation DM.
a. Structure du script d'entrée de LAMMPS :
En principe, un script d'entrée dans LAMMPS se compose d’une succession de commandes prédéfinies (qui peuvent inclure des opérations conditionnelles ou des boucles) et se décompose en quatre parties [1] :
- Initialisation : Cette étape inclut la définition des paramètres initiaux de la simulation
comme le type d’unités, la taille et la forme de la boite de simulation, le type des atomes et des forces (potentiel d’interaction).
- Définition de la boite de simulation : La génération des atomes dans la boîte de simulation est réalisée dans cette étape soit par les commandes : create_box", "creat_atome", "lattice", "région", soit à partir d'un fichier de positions initiales créé extérieurement au programme ou issu d’une simulation précédente.
- Procédure de réalisation de la simulation : Après la définition de la topologie des atomes des molécules, un certain nombre de paramètres sont spécifiés dans cette étape : paramètres du modèle d’interaction, paramètres de la simulation comme l’algorithme pour traiter des équations de mouvement, le choix de l’ensemble statistique (NVE, NVT, etc.…), le pas du temps, les propriétés à calculer durant la simulation, les options pour les données de sortie, etc...
- Réalisation : A cette étape, la simulation de DM est réalisée par la commande "run". La minimisation d’énergie est effectuée utilisant la commande "minimize".
La liste de commandes spécifiées pour chaque étape ainsi que leur signification, le mode d’emploi et les exemples sont présentés en détail dans le manuel du code LAMMPS.
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b. Les fichiers de Sortie de LAMMPS :
Les sorties d’une simulation utilisant le code LAMMPS sont obtenues sur l’écran et/ou dans les fichiers de sortie après un certain nombre de pas de temps, tel que défini par l’utilisateur dans la troisième étape décrite précédemment. Après la simulation, il est imprimé en outre le dernier état thermodynamique du système, le temps total et les informations techniques comme les statistiques de la mémoire et les temps d’exécution. Il existe quatre types de la sortie pour LAMMPS : les données thermodynamiques, le fichier dump, les quantités spécifiées par l’utilisateur, et le fichier de redémarrage [2].
- Les données thermodynamiques : sont la température, la pression totale et les
composantes du tenseur de pression, le volume, l’énergie totale, l’énergie potentielle, l’énergie cinétique, l’enthalpie,…
- Les fichiers de type "dump" : contiennent les configurations du système par intervalle de
temps, précisées par les informations des atomes comme l’identité, le type, la masse, les positions, les vitesses, la charge, le rayon, …
- Les commandes "fix", "compute" ou "variable" : sont utilisées pour générer en fichier
de sortie les quantités spécifiées par l’utilisateur comme la fonction de distribution radiale, le déplacement quadratique moyen, etc., avec un échantillonnage statistique et des moyennes contrôlées par l’utilisateur.
- Le fichier de redémarrage : contient les informations du système en mode binaire à
intervalle de temps défini par l’utilisateur. Ce fichier peut-être utilisé comme un fichier d’entrée lorsqu’on veut redémarrer la simulation à partir un état particulier.
c. Protocole de nos simulations DM :
La boite de simulation utilisée dans ce travail est une boite de forme hexagonale qui contient 27 (3 × 3 × 3) mailles primitives de MoN, ce qui signifie en totale un nombre d’atomes de 432 atomes. Au début des simulations, les atomes ont été placés aux nœuds du réseau cristallin du notre Solide. Par la suite, ces positions ainsi que les paramètres du maille de MoN ont été minimisé afin d’obtenir la structure la plus stable à T=0K. Après obtenir les positions atomiques optimisées, les vitesses initiales des atomes ont été choisies à partir de la distribution de Maxwell à la température ambiante (T = 300 K). La valeur du pas de temps d’intégration (step) ∆𝑡 est choisie égale à1 fs. Une telle valeur assure une bonne stabilité de la température et la pression durant la simulation.
Durant l’étape d’équilibration, Les équations de mouvement ont été intégrées en utilisant la forme vitesse de l’algorithme de Verlet couplée avec un thermostat et un barostat de type
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Nosé-Hoover. Les systèmes ont été équilibrés pendant 20000 pas (20 ps) ce qui assure que la température et la pression désirés ont été obtenus. Les temps de relaxation du thermostat et du barostat sont 0.16 ps et 1 ps, respectivement.
Après l’étape d’équilibration, la structure MoN est soumis à une déformation par attraction le long de l’axe c (z) avec une vitesse de déformation constante et la simulation est effectué pour un temps de 50 ps dans l’ensemble NPT.
Les différentes étapes typiques d’une simulation sont les suivantes :
Figure ІІІ.1 : Organigramme des différentes étapes typiques d’une simulation MD. Au-dessous le fichier script utilisé dans notre simulation.
units metal
dimension 3
40 atom_style atomic
lattice custom 5.76 origin 0.0 0.0 0.0 a1 1.0 0.0 0.0 a2 -0.5 0.866 0.0 & a3 0.0 0.0 0.986 & basis 0.022617322 0.511308661 0.992915812 & basis 0.511308661 0.022617322 0.492915812 & basis 0.488691339 0.511308661 0.992915812 & basis 0.977382678 0.488691339 0.492915812 & basis 0.488691339 0.977382678 0.992915812 & basis 0.511308661 0.488691339 0.492915812 & basis 0.000000000 0.000000000 0.484703516 & basis 0.000000000 0.000000000 0.984703516 & basis 0.166584011 0.333167022 0.247577843 & basis 0.833416989 0.166584011 0.747577843 & basis 0.666832978 0.833416989 0.247577843 & basis 0.833415989 0.666832978 0.747577843 & basis 0.166583011 0.833415989 0.247577843 & basis 0.333167022 0.166583011 0.747577843 & basis 0.333333000 0.666667000 0.720817521 & basis 0.666667000 0.333333000 0.220817521
region box prism 0 5.760 0 4.988 0 5.682 -2.880 0.0 0.0 units box create_box 2 box
create_atoms 2 box & basis 1 1 & basis 2 1 & basis 3 1 & basis 4 1 & basis 5 1 & basis 6 1 & basis 7 1 & basis 8 1 & basis 9 2 & basis 10 2 & basis 11 2 &
41 basis 12 2 & basis 13 2 & basis 14 2 & basis 15 2 & basis 16 2
# Atom 1 = Mo and Atom 2 = N mass 1 95.94 mass 2 14.01 replicate 3 3 3 pair_style adp pair_coeff * * MoN.adp Mo N timestep 0.001 # regions of sample neighbor 0.5 bin
neigh_modify delay 0 every 1
dump 1 all custom 100 atom.dump id type x y z dump_modify 1 every 100
# --- Define Settings --- compute eng all pe/atom
compute eatoms all reduce sum c_eng
# --- Run Minimization à T = 0K --- reset_timestep 0
fix 1 all box/relax aniso 0.0 vmax 0.001 thermo 1
thermo_style custom step pe lx ly lz press pxx pyy pzz c_eatoms vol etotal min_style cg
minimize 1e-25 1e-25 5000 10000 variable teng equal "c_eatoms"
42 variable length equal "lx"
variable length equal “lz”
unfix 1 undump 1
#--- Equilibration at T > 0 ---
reset_timestep 0
variable T equal 300 # T est la temperature du systeme en °K
velocity all create $T 2398378 mom yes rot yes dist gaussian
fix 2 all npt temp $T $T 0.16 aniso 0 0 1 drag 0.3
thermo 10
thermo_style custom step etotal temp press
run 20000
unfix 2
# Store final cell length for strain calculations
variable tmp equal "lz"
variable L0 equal ${tmp}
print "Initial Length, L0: ${L0}"
43 reset_timestep 0
variable srate equal 0.1e10
variable srate1 equal "v_srate / 1.0e12"
fix 3 all deform 1 z erate ${srate1} units box remap x
fix 4 all npt temp $T $T 0.16 x 0 0 1 y 0 0 1 dilate all
dump 2 all custom 1000 deform.dump id type x y z dump_modify 2 every 1000
# Output strain and stress info to file
# for units metal, pressure is in [bars] = 100 [kPa] = 1/10000 [GPa] # p2, p3, p4 are in GPa
variable strain equal "(lz - v_L0)/v_L0"
variable p1 equal "v_strain"
variable p2 equal "-pxx/10000"
variable p3 equal "-pyy/10000"
variable p4 equal "-pzz/10000"
fix 5 all print 1000 "${p1} ${p2} ${p3} ${p4}" file MoN_def.dat screen no
thermo 1000 run 50000
SIMULATION DONE print "All done"
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ІІІ.3.Résultat et discutions :
L’optimisation de la structure hexagonale de MoN nous donne les paramètres de maille suivants : 𝑎 = 5.70Å , 𝑏 = 4.93Å et 𝑐 = 5.61Å. Ces valeurs sont en bon accord avec les valeurs expérimentales [3] ; 𝑎 = 5.76Å , 𝑏 = 4.98Å et 𝑐 = 5.68Å.
ІІІ.3.1. Déformation du MoN à T=300K :
La variation de l’énergie potentielle, de la température, et de la pression durant l’étape d’équilibration à T=300K sont illustrés dans la figure (III.2). Il apparait clairement que notre système est bien équilibré.
Maintenant, notre système est prêt pour un essai de déformation à température ambiante. Nous avons déformé notre boite de symétrie hexagonale le long de l’axe c avec une vitesse de déformation constante de 1s-1 . Il s’agit dans ce cas d’un essai de traction à température ambiante et avec une vitesse constante. Le changement des paramètres de maille dans les deux autres directions cristallines (a et b) est autorisé durant la simulation pour répondre à la force appliquée dans la direction z. La figure III.2 montre la courbe contrainte-déformation obtenus.
45 0 5000 10000 15000 20000 -2462 -2460 -2458 -2456 -2454 -2452 -2450 -2448 -2446 -2444 -2442 Ener gie po ten tielle ( ev) t (fs) (a) 0 5000 10000 15000 20000 100 150 200 250 300 350 (b) T (°K) t(fs) 0 5000 10000 15000 20000 -30000 -20000 -10000 0 10000 20000 30000 (c) Pr es sio n (x10 5 pa ) temps (fs)
Figure ІІІ.2: Variation de : (a) L’énergie potentielle, (b) la température et (c) la pression en fonction du temps durant l’équilibration à T=300K.
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Figure ІІІ.3 : Variation de la contrainte en fonction de la déformation. Sur cette courbe, nous pouvons distinguer 3 régimes différents : OA, AB, et BC.
La zone OA est appelée domaine élastique où le graphe est une droite (segment OA). Pour tous les points de cette droite, la déformation, où l’allongement est proportionnelle à la contrainte et le matériau est parfaitement élastique.
La zone AB est appelée domaine plastique. Ce domaine commence lorsque la déformation dépasse la limite d’élasticité du matériau. Cette zone est caractérisée par une valeur maximale de la contrainte supportée par le matériau.
La zone BC est caractérisée par une chute de la contrainte lorsque la déformation dépasse un seuil critique. Elle corresponde à la rupture du matériau.
De la courbe de traction on peut obtenir les propriétés suivantes :
➢ Module de Young E (N /m2) : il caractérise la pente de la droite de proportionnalité précédente et l’élasticité du matériau testé. Plus E est grande, plus le matériau est rigide et inversement. 𝐸 = 𝑑𝜎𝑑𝜀 (ІІІ.1)
➢ Loi de Hooke (𝝈 = 𝑬𝜺 ) : cette loi correspond à l’équation de la droite OA, traduit la proportionnalité précédente (𝝈 en N/mm2, E en N/mm2 et ε sans unité).
➢ Limite élastique Re(N/mm2) : elle marque la fin du domaine élastique (point A). Pour les valeurs supérieur, le matériau ne se déforme plus élastiquement mais plastiquement (l’éprouvette ne retrouve plus ses dimensions initiales après déchargement, il subsiste un allongement permanent).
➢ La résistance à la traction σc (N/mm2) : qui est définie par la nominale maximale supportée par l’éprouvette.𝑅𝑚 =𝐹𝑚
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➢ La déformation à la rupture (εr) : qui correspond à la déformation plastique nominale à la rupture en traction de l’éprouvette. La valeur de la déformation à la rupture εr représente une des grandeurs caractéristiques de la ductilité.
Pour mieux comprendre ce qui se passe à l’intérieur du matériau à l’échelle atomique durant l’essai de traction, nous avons enregistré l’état de la structure cristalline du MoN dans les instants qui correspond aux quatre points O, A, B, et C. les figures suivantes montrent la structure de MoN à ces instants.
Point O (figure ІІІ.4): à l’état initial tous les atomes occupent leurs positions parfaites. La symétrie hexagonale est claire dans cette figure et il n’y a pas de défauts.
Figure ІІІ.4 : L’état initial de notre matériau (symétrie hexagonale).
Point A (figure ІІІ.5): il y a une déformation de la structure. Les atomes sont décalés un peu de leurs positions parfaites mais la symétrie hexagonale est toujours conservée.
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Figure ІІІ.5 : Etat du cristal MoN à la limite élastique.
Point B (figure ІІІ.6) : il correspond à l’état du matériau MoN sous contrainte maximale. Comme nous pouvons le voir sur cette figure, il y a une formation de défauts dans le matériau (défauts ponctuels).
Figure ІІІ.6 : Etat du cristal MoN à sous charge maximale (déformation plastique). Point C (figure ІІІ.7) : la structure du matériau dans ce cas est complètement différente de la structure initiale. Il y a une rupture de la périodicité du matériau accompagnée par la formation d’un grand nombre de défauts.
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Figure ІІІ.7 : La structure du matériau à la rupture.
Maintenant, nous allons examiner l’effet de la vitesse de traction (déformation) sur la réponse du MoN. Des vitesses de déformation entre 0.1s-1 et 1s-1 ont été sélectionnés. La figure ci-dessous montre les courbes contrainte-déformation obtenus à T=300K pour différentes vitesses de déformation. 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0 50 100 150 200 250 300 350
(GP
a
) v = 1,0 s-1 v = 0,1 s-1 v = 0,3 s-1 v = 0,5 s-1 T = 300 °KFigure ІІІ.8 : La courbe contrainte-déformation de MoN à T=300K.
Comme nous pouvons le voir sur la figure (ІІІ.8), la pente de la partie élastique (OA) est la même pour toutes valeurs de la vitesse de déformation. Cela signifie que le module de Young
50
sera presque le même et par conséquence nous pouvons dire qu’il est indépendant de la vitesse de déformation. Contrairement au cas du module de Young, la valeur de la contrainte maximale σc, de Re et de 𝜀𝑟 dépendent de la vitesse de déformation. Nos résultats montrent que pour les deux vitesses de déformation 0.1 s-1 et 0.5s-1, la valeur de Re est la même. Celle des vitesses 0.3 s-1 et 1s-1 est aussi la même mais elle est supérieure à celle des vitesses des vitesses 0.1s-1 et 0.5s-1. D’autre part, nous remarquons que la valeur de 𝜀𝑟 diminue avec l’augmentation avec la vitesse de déformation. Le tableau III.1 illustre les valeurs de E et σc
de MoN obtenus pour différentes valeurs de la vitesse de déformation.
V(s-1) E (×0.1GPa) σc (GPa)
V = 0.1 6122.62 301.71
V = 0.3 5695.15 260.91
V = 0.5 5779.11 274.34
V = 1.0 5789.64 271.39
Tableau III.1 : Le module de Young et la résistance maximale du MoN à 300K.
ІІІ.3.2. Déformation du MoN à T=100K :
Dans cette partie, nous allons étudie la déformation du MoN à basse température (100K) pour explorer l’effet de traction à froid. La figure (ІІІ.9) montre la caractéristique contrainte-déformation du MoN à T=100K. 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0 50 100 150 200 250 300 ( GPa ) v=1,0 s-1 v=0,1 s-1 v=0,3 s-1 v=0,5 s-1
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Comme dans le cas de déformation à T=300K, la pente de la partie élastique (OA) est la même pour les différentes valeurs de la vitesse de déformation considérées dans ce travail. Nous avons trouvé que la valeur maximale de Re est obtenu dans le cas de la vitesse de déformation v=1s-1 suivie par celle des vitesses 0.1s-1 et 0.5s-1, respectivement. La plus petite valeur de Re est obtenue dans le cas de la vitesse de déformation 0.3s-1. D’autre part, nous remarquons que la valeur maximale de 𝜀𝑟 est obtenue pour la vitesse de déformation de v=0.5s-1. Le tableau III.2 illustre les valeurs de E et σc de MoN obtenus pour différentes valeurs de la vitesse de déformation à T=100K. Ces résultats montrent que la valeur maximale de σc à 100K est obtenue pour une vitesse de déformation de 0.3s-1.
V(s-1) E (×0.1GPa) σc (GPa)
V=0.1 5746.89 271.39
V=0.3 5557.47 297.36
V=0.5 5715.30 294.49
V=1.0 5735.99 260.18
Tableau III.2 : Le module de Young et la résistance maximale du MoN à 100K. La figure (ІІІ.10) montre l’état du cristal MoN déformé à T=100K.
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ІІІ.3.3. Déformation du MoN à haute température (T=600K et 900K) :
Dans cette partie, nous allons étudier la déformation du MoN à des températures relativement élevées (600K et 900K). Les figures (ІІІ.10 et ІІІ.11) montrent la caractéristique contrainte-déformation du MoN obtenus.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0 50 100 150 200 250 300 ( GPa ) V = 1.0 s-1 V = 0.1 s-1 V = 0.3 s-1 V = 0.5 s-1
Figure ІІІ.11 : La caractéristiquecontrainte-déformation de MoN à 600K.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0 50 100 150 200 250 300 ( GPa ) v=1,0 s-1 v=0,1 s-1 v=0,3 s-1 v=0,5 s-1
Figure ІІІ.12 : La caractéristiquecontrainte-déformation de MoN à 900K.
Nous remarquons que le comportement de MoN sous un essai de traction à T=600K est un peu différent de celui observé à 900K. Pour les faibles vitesses de déformation, les valeurs de σc et 𝜀𝑟 à 600K et 900K sont presque identiques. Cependant, pour celles obtenus pour
53 V(s-1) E (×0.1GPa) σc (GPa) V=0.1 6025.12 288.65 V=0.3 5667.09 287.26 V=0.5 5857.76 256.86 V=1.0 5872.78 260.78
Tableau III.3 : Le module de Young et la résistance maximale du MoN à 600K.
V(s-1) E (×0.1GPa) σc (GPa)
V=0.1 6338.37 288.65
V=0.3 6108.44 282.90
V=0.5 5978.63 279.93
V=1.0 5737.18 270.29
Tableau III.4 : Le module de Young et la résistance maximale du MoN à 900K.
Les figures(III.13) et (III.14) montrent l’état du cristal MoN sous essai de traction à 600K et 900K, respectivement. Nous pouvons observer facilement que, par rapport au cas du MoN déformé à basse températures, il y a plus de défauts qui ont été formés avant la rupture du matériau (point B). Ceci peut être attribué à l’effet de l’agitation thermique et aux vibrations du réseau (phonons). Comme nous le savons tous, la formation des défauts ponctuels à hautes températures est plus favorisé qu’à basse températures.
54
Figure ІІІ.13: état du cristal MoN lors d’une déformation à T=600K.
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ІІІ.3.4. Effet de la température sur la contrainte limite de la zone élastique :
Dans cette section, nous allons explorer l’effet de la température sur le module de Young et les propriétés mécaniques du MoN. Le cristal de MoN dans ce cas est déformé par la même vitesse de déformation à différentes températures. La figure (III.14) montrent la caractéristique contrainte-déformation du MoN obtenus. Comme nous pouvons le voir sur cette figure, la pente du segment OA (régime élastique) est l’égerment affecté par la température de la simulation. Cela signifie que le module du Young de MoN est presque constant dans l’intervalle des températures compris entre 100K et 900K.
La même conclusion peut être déduite pour la Limite élastique Re. Nos résultats montrent que la valeur de Re est presque la même dans l’intervalle 100K-900K. D’autre part, nous pouvons constater que la valeur de 𝜀𝑟 dépend de la température.
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0 50 100 150 200 250 300 ( GPa ) T = 100K T = 300K T = 600K T = 900K
Figure ІІІ.15 : Caractéristiquecontrainte-déformation de MoN pour les différentes températures de simulation.
ІІІ.4.Conclusion :
En résumé, la méthode de la dynamique moléculaire (DM) classique à été utilisée pour étudier les propriétés mécaniques du nitrure de molybdène (MoN). Nous avons essayé d’analyser la réponse du cristal MoN de structure hexagonale à des essais de traction le long de l’axe c à différentes températures et pour différentes vitesses de déformation. Nos résultats montrent que le module d'Young (E) varie légèrement avec la vitesse de déformation et la température.
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ІІІ.5. Référence :
[1] M.P. Allen & D.J. Tildesley. Computer simulation of liquids p. 400, Oxford: Clarendon Press. 2000.
[2]H.C. Andersen. Molecular dynamics simulations at constant pressure and/ or temperature.
Journal of Chemical Physics, 72(4) (1980) 2384–2393.
[3] I. Jauberteau, A. Bessaudou, R. Mayet, J. Cornette,J.L. Jauberteau, P. Carles, and Thérèse Merle-Méjean, Molybdenum Nitride Films: Crystal Structures, Synthesis, Mechanical, Electrical and Some Other Properties. Coatings. 5( 2015) 656-687.