Changement de num´eraire

Z _t

0

rsds

¶

=StRt

est une martingale. On voit imm´ediatement que siQexiste dQ|Ft = exp

µ

− Z _t

0

θsdBs−1 2

Z _t

0

θ²_sds

¶

avecθs=^µs_σ^−rs

s est la prime de risque.

SiQexiste, la valeur de tout portefeuille auto-finan¸cant (soitX), actualis´ee est une martingale.

Dans un mod`ele de prix d’actifs financiers, on doit veiller `a ce que le mod`ele ne pr´esente pas d’opportunit´es d’arbitrage. Dans un march´e comportant un actif sans risque, c’est-`a-dire d’un actif dont le prix suit la dynamique

dS_t⁰ = S₀^trtdt le th´eor`eme fondamental s’´enonce

Th´eor`eme 6.10 Le march´e est sans arbitrage si et seulement si il existe une probabilit´e risque-neutre.

Si la probabilit´e risque neutre est unique, la valeur d’un actif financier H, pay´e `a la date T, est calcul´ee comme l’esp´erance sous la probabilit´e risque neutre du payoff actualis´e, soitVt=EQ(HRT), o`u RT =R_T

0 rsds. On parle alors de march´e complet (cette notion est li´ee au th´eor`eme de repr´esentation).

Si la probabilit´e risque neutre n’est pas unique, on parle de march´e incomplet. On peut se r´ef´erer `a l’ouvrage de Bjork ou `a celui de Dana.

6.6.1 Changement de num´ eraire

Il est parfois tr`es utile d’exprimer les prix en valeur relative par rapport `a un autre processus de prix. num´eraire.

D´efinition 6.11 Un num´eraire est un actif financier de prix strictement positif.

SiM est un num´eraire (par exemple le prix d’un z´ero-coupon) on peut ´evaluer la valeurVtd’une strat´egie en terme de ce num´eraire, soitVt/Mt. Il est important de v´eridfier que les propri´et´es fondamentales ne sont pas modifi´ees :

Proposition 6.12 Supposons qu’il y adactifs risqu´es dans le march´e, dont les prix(S⁽ⁱ⁾_t ;i= 1,· · ·, d, t≥ 0) sont des processus d’Itˆo, et tels que S⁽¹⁾ est strictement positif. Soit Vt=P_d

i=1π_tⁱS_t⁽ⁱ⁾ le valeur du portefeuille πt = (π_tⁱ, i= 1,· · ·, d). Si (πt, t≥ 0) est auto-financant, i.e. si dVt = P_d

i=1π_tⁱdS_t⁽ⁱ⁾, et si l’on choisit S_t⁽¹⁾ comme num´eraire, alors

dV_t¹= Xd

i=2

π_tⁱdS_t^(i,1)

o`uV_t¹=Vt/S⁽¹⁾_t , S_t^(i,1)=S_t⁽ⁱ⁾/S_t⁽¹⁾.

76 CHAPITRE 6. CHANGEMENT DE PROBABILIT ´E - TH ´EOR `EME DE GIRSANOV Preuve : Nous donnons la preuve pour deux actifs. Soit V la valeur d’un portefeuille auto-finan¸cant construit sur deux actifs de dynamiqueS⁽ⁱ⁾, i= 1,2. Alors

dVt = π_t¹dS_t⁽¹⁾+π_t²dS_t⁽²⁾=π²_tdS_t⁽²⁾+ (Vt−π_t²S_t⁽²⁾)dS_t⁽¹⁾/S_t⁽¹⁾

= π_t²dS_t⁽²⁾+ (V_t¹−π²_tS_t^(2,1))dS_t⁽¹⁾.

On exprime les prix en terme du num´eraireS⁽¹⁾.A partir deV_t¹S_t⁽¹⁾=Vt on obtient

dVt=V_t¹dS_t⁽¹⁾+S_t⁽¹⁾dV_t¹+dhS⁽¹⁾, V¹it. (6.2) L’´egalit´eS_t^(2,1)S_t⁽¹⁾=S_t⁽²⁾ implique

dS_t⁽²⁾−S^(2,1)_t dS_t⁽¹⁾=S_t⁽¹⁾dS_t^(2,1)+dhS⁽¹⁾, S^(2,1)it

d’o`u en utilisant (6.2)

dV_t¹ = 1 S_t⁽¹⁾

³

dVt−V_t¹dS_t⁽¹⁾−dhV¹, S⁽¹⁾it

´

= 1

S_t⁽¹⁾

³

π_t²dS_t⁽²⁾−π²_tS_t^(2,1)dS⁽¹⁾_t −dhV¹, S⁽¹⁾it

´

= π²_tdS_t^(2,1)+ π_t²

S_t⁽¹⁾dhS^(2,1), S⁽¹⁾it− 1

S⁽¹⁾_t dhV¹, S⁽¹⁾it

Cette derni`ere ´egalit´e implique dhV<sup>1</sup>, S<sup>(1)</sup>it=π<sub>t</sub><sup>2</sup>dhS<sup>(2,1)</sup>, S<sup>(1)</sup>it, d’o`u dV_t¹=π²_tdS_t^(2,1).

¤ On associe `a un num´eraireM le changement de probabilit´e suivant : Soit Q la probabilit´e risque neutre, telle que le processus (MtRt, t ≥ 0) est une Q-martingale. Soit Q^M d´efini par Q^M|Ft = (MtRt)Q|Ft.

Proposition 6.13 Soit(Xt, t≥0) le prix d’un actif financier etM un num´eraire. Le prix de X, dans le num´eraireM, soit (Xt/Mt,0≤t≤T)est uneQ^M-martingale.

Preuve : Si X est un processus de prix, le processus actualis´e Xet def

= XtRt est une Q-martingale. Il en r´esulte que Xt/Mt est une Q^M-martingale si et seulement si (Xt/Mt)MtRt = RtXt est une Q-martingale.

¤ Le calcul du termeEQ(STe^−rT11ST≥a) qui apparait dans la formule de Black et Scholes est imm´ediat : il suffit d’utiliser que, sous Q le processus Mt = Ste^−rt/S0 est une martingale strictement positive d’esp´erance 1, et de poser dQb=MtdQ

EQ(STe^−rT11ST≥a) = EQb(S011ST≥a)

= S0Q(Sb T ≥a). Il reste `a exprimer la dynamique de S sousQ.b

Un changement de num´eraire est ´egalement tr`es efficace pour calculer le prix d’une option d’´echange, qui estE((S¹_T−S_T²)⁺).

Un exemple important : Probabilit´e forward-neutre

La valeur `a la datet d’un flux d´eterministeF re¸cu `a la dateT est F P(t, T) = F EQ[exp−

Z _T

t

r(u)du|Ft].

Si ce flux est al´eatoire, la valeur `a la datetde ce flux est EQ[F exp−

Z _T

t

r(u)du|Ft].

6.6. TH ´EOR `EME FONDAMENTAL DE LA FINANCE : PROBABILIT ´E RISQUE NEUTRE 77 Par hypoth´ese A.O.A, le processusR(t)P(t, T) est uneQ-martingale, son esp´erance est constante, ´egale

`a P(0, T).

Pour toutT, le processus ζ_t^T :=R(t)P(t, T)

P(0, T) est uneQ-martingale positive d’esp´erance 1. On peut donc utiliser ζ_t^T comme densit´e de changement de probabilit´e. SoitQT la mesure de probabilit´e d´efinie sur (Ω,FT) par QT(A) =EQ(ζ_t^T1A) pour toutA∈Ft. LorsqueT est fix´e, on noteraζt=ζ_t^T.

D´efinition 6.14 La probabilit´e QT d´efinie sur FT, par dQT

dQ = ζ_t^T est appel´ee probabilit´e forward-neutre de maturit´eT.

Avec cette notation

EQT(F|Ft) =EQ(F ζT

ζ_t|Ft). Lorsquerest d´eterministe,QT =Q.

La mesure QT est la martingale mesure associ´ee au choix du z´ero-coupon de maturit´e T comme num´eraire.

78 CHAPITRE 6. CHANGEMENT DE PROBABILIT ´E - TH ´EOR `EME DE GIRSANOV

Chapitre 7

Introduction aux mod` eles poissonniens

Avec le mouvement Brownien, le processus de Poisson est l’autre processus fondamental du calcul stochastique. Une des raisons principales de cette importance est la formule de L´evy-Khintchine, que nous n’aborderons pas ici, selon laquelle tout P.A.I.S s’´ecrit comme le m´elange d’un Brownien et d’une certaine int´egrale de comptage le long d’un processus de Poisson. Nous renvoyons par exemple au chapitre introductif de [1] pour plus de d´etails sur cette formule, d’int´erˆet constant en Finance. Nous ne traiterons dans ce chapitre que le cas simple des processus de Poisson ponctuels d’intensit´efinie.Les distributions exponentiellesde param`etre λ >0,dont nous rappelons que la densit´e s’´ecrit

x 7→ λe^−λx11{x≥0},

y joueront un rˆole central, analogue `a celui des distributions gaussiennes pour le Brownien. A la fin du chapitre, nous donnerons un analogue de la formule d’Itˆo pour le processus de Poisson. En fait, il s’agit d’une formule de changement de variable enti`erement d´eterministe, et qui ne n´ecessite aucune hypoth`ese particuli`ere sur la fonctionf.

7.1 Processus ponctuels sur R

⁺

Un processus ponctuel est la donn´ee d’une suite ordonn´ee de variables al´eatoires positives 0 = T0 < T1 < T2 < . . . < Tn < . . .

qui mod´elisent les instants d’arriv´ee (ou les instants de saut) d’un certain ph´enom`ene. On fait l’hypoth`ese que deux instants d’arriv´ee ne peuvent pas co¨ıncider, soitTn+16=Tn p.s. On suppose aussi que la suite ne s’accumule pas en un point, autrement ditTn ↑+∞p.s. Pour touti≥1 on note τi =Ti−Ti−1 le i-`eme d´elai d’arriv´ee. On remarque la formule

Tn = Xn

i=1

τi. (7.1)

Pour toutt≥0 on introduit

Nt = X

n≥1

11{Tn≤t}

et on dit que{Nt, t≥0}est leprocessus de comptageassoci´e `a la suite{Tn, n≥0}.C’est un processus

`a valeurs dansN, qui compte le nombre de sauts ayant eu lieu avantt. En connaissant ce processus, on peut retrouver la suite{Tn, n≥0} grˆace `a l’identification entre ´ev´enements :

{Nt=n} = {Tn ≤t < Tn+1}. Cette identification est imm´ediate en faisant un dessin :

79

80 CHAPITRE 7. INTRODUCTION AUX MOD `ELES POISSONNIENS

-6

0 T1 T2 T3 T4 t T5 T6

1 2 3 Nt

5

On a aussi trois autres identifications entre ´ev´enements, toutes ´egalement utiles :

{N_t< n} = {T_n> t}, {N_t≥n} = {T_n≤t} et {N_s< n≤N_t} = {s < T_n≤t}.

On fera attention que {N_t, t≥0} est un processus continu `a droite seulement, et non pas continu.

Dans les ´ev´enements ci-dessus, le fait que les in´egalit´es soient strictes ou larges n’est donc pas anodin.

Remarquons enfin queNt<+∞p.s. pour toutt >0. En effet, on a {Nt<+∞} = [

n≥1

{Nt< n} = [

n≥1

{Tn> t} = lim

n→+∞{Tn> t}

et le dernier ´ev´enement est de probabilit´e 1 puisqueTn↑+∞p.s. par hypoth`ese.

Dans le document ELEMENTS DE CALCUL STOCHASTIQUE (Page 75-80)