Chaˆınes magn´etiques

L’application d’un champ magn´etique induit un moment magn´etique dans chaque particule. L’interaction dipolaire conduit `a l’agr´egation des particules sous forme de chaˆınes, orient´ees selon la direction du champ. Suivant la concentration

68 2.1. ASSEMBLAGES COLLO¨IDAUX – ETAT DE L’ART en particules et le rapport entre l’´energie magn´etique et l’´energie thermique, on observe des structures vari´ees [Furst and Gast, 2000] telles que des chaˆınes isol´ees, des chaˆınes comportant des d´efauts, des chaˆınes ´epaisses de plusieurs particules, ou encore des chaˆınes rigides ou bien fluctuantes (Fig.2.4).

A

C B B

5 µm

Fig.2.4 –Particules magn´etiques (1µm, Dynal) soumises `a un champ magn´etique. A : chaˆınes ´epaisses, B : chaˆıne isol´ee fluc- tuante, C : pr´esence de d´efauts. Clich´es C.G.

Nous nous int´eressons au cas des chaˆınes isol´ees.

Consid´erons deux particules (1) et (2) que nous assimilons `a des dipˆoles ponc- tuels ~m1 et ~m2. En adoptant la convention USI2, l’´energie d’interaction s’´ecrit

alors :

U1,2 =

µ0[r2( ~m1. ~m2) − ( ~m1.~r)( ~m2.~r)]

4πr5

~r est le vecteur position de (2) par rapport `a (1), se reporter `a la Fig.2.5 et µ0 la

permitivit´e du vide.

Les particules ´etant identiques, les moments m1 et m2 sont ´egaux et s’ex-

priment comme :

m1 = m2 = m =

4π 3 a

3_χH

o`u χ est la susceptibilit´e magn´etique effective d’une particule (en tenant compte de la forme sph´erique). L’expression de U1,2 se simplifie alors :

U1,2 =

µ0m2

4π r3(1 − 3 cos 2_α)

o`u α est l’angle form´e par la direction du champ et l’axe reliant les deux particules. Ainsi, si cos α ≤ 1/√3, l’interaction entre les particules est attractive. On peut donc consid´erer un double cˆone d’angle 55˚autour de chaque particule, `a l’int´erieur duquel les interactions seront attractives (Fig.2.5). L’´energie d’interac- tion est minimale pour α=0. Ainsi, les particules s’alignent et tendent `a former des chaˆınes, mais l’agitation thermique s’oppose `a cette tendance. Le param`etre adimensionnel λ caract´erise cette comp´etition :

λ = U1,2(α = 0, r = 2a) kBT

= µ0πχ

2_H2_a3

9kBT

Si λ 1, le champ magn´etique est suffisamment fort pour dominer les fluctuations thermiques. Les particules s’organisent alors sous forme de chaˆınes et restent

CHAPITRE 2. AUTO-ASSEMBLAGES IRR´EVERSIBLES LIN´EAIRES 69 y x m1 m2 r α B Attraction Attraction Répulsion Répulsion

Fig. 2.5 – Interaction magn´etique entre deux particules, situ´ees `a une distance r, en pr´esence d’un champ magn´etique.

agr´eg´ees tant que le champ est appliqu´e (Fig.2.6).

Pour des champs faibles (λ '1), l’agr´egation est un processus dynamique : sous champ, les particules s’agr`egent et se d´esagr`egent sans cesse.

Dans notre cas, H=1.104 _A.m-1_{, χ=1, 2a=0.75 µm d’o`u λ= 550.}

B

20 µm

Fig. 2.6 – Particules magn´etiques sou- mises `a un champ magn´etique ; organisa- tion sous forme de chaˆınes parall`eles `a la direction du champ. Clich´e C.G.

Si l’on n´eglige toute autre interaction (van der Waals, ´electrostatiques) : A faible fraction volumique φ (φ <1%, λ 1) : les chaˆınes croissent par leurs extr´emit´es, par addition de particules isol´ees ou de chaˆınes de particules (Fig.47). [Fermigier and Gast, 1992] ont montr´e que l’agr´egation ´etait limit´ee par le trans- port. Quand les particules sont suffisamment ´eloign´ees les unes des autres, elles diffusent de mani`ere brownienne. Quand elle sont suffisamment proches, de telle sorte que l’interaction dipolaire devient de l’ordre de kBT , le mouvement devient

balistique et les particules s’agr`egent rapidement. Des cin´etiques d’agr´egation faites en volume [Promislow et al., 1995] d´emontrent que la taille moyenne des chaˆınes < s(t) > suit une loi de puissance de la forme < s(t) >∼ tz o`u z est sup´erieur `a 0.5 et varie comme l’inverse de λ et de φ (en dessous d’une certaine valeur critique de φ). A forte fraction volumique (de l’ordre de 3%) : dans un pre- mier temps, les particules forment des chaˆınes qui s’agr`egent ensuite lat´eralement pour donner des chaˆınes ´epaisses ou colonnes. [Halsey and Toor, 1990] ont ´et´e les premiers `a proposer un mod`ele (appel´e HT ) pour des fluides ´electro-rh´eologiques. Ce mod`ele consid`ere que les fluctuations le long des chaˆınes entraˆınent une varia- tion de la densit´e du moment dipolaire produisant alors une interaction attractive

70 2.1. ASSEMBLAGES COLLO¨IDAUX – ETAT DE L’ART

B 20 µm

Fig. 2.7 – Chaˆınes magn´etiques qui croissent par leurs extr´emit´es. Particules magn´etiques de 0.75 µm de diam`etre, φ ' 0.1% en volume (Ademtech).

lat´erale (de type Keesom). [Furst and Gast, 2000] ont repris et modifi´e ce mod`ele. Ils constatent que la pr´esence de d´efauts induit ´egalement des interactions attrac- tives. Ce m´ecanisme d’agr´egation lat´erale d´epend de nombreux facteurs tels que φ, λ et tout ce qui peut induire des d´efauts au sein des chaˆınes comme la polydis- persit´e des particules, la cin´etiques d’agr´egation. Ceci est r´esum´e dans la Fig.2.8. Pour une revue sur ce sujet, le lecteur pourra se r´ef´erer `a [Melle, 2002].

La croissance de chaˆınes magn´etiques sous champ continue d’int´eresser les chercheurs qui ´etudient `a pr´esent les cin´etiques d’agr´egation lors- qu’une force ext´erieure est appliqu´ee, par exemple un flux hydrodynamique [P´erez-Castillo et al., 2000].

La force entre particules magn´etiques en fonction de la distance d entre par- ticules (centre `a centre) a ´et´e calcul´ee exactement [Zhang and Widom, 1995] et est donn´ee par :

Fm(d) = −

1.202 µ0

2π ×

3m2

d4

o`u m est le moment magn´etique d’une particule, soit Fm(h) = −

9.616 π 3 µ0 ×

a6_χ2_B2

(2a + h)4

o`u h est la distance bord `a bord entre particules, a le rayon d’une particule, χ la susceptibilit´e magn´etique effective d’une particule et B l’intensit´e du champ magn´etique appliqu´e.

La Fig.2.9 montre les valeurs de la force magn´etique entre les particules (V2G, Ademtech) que nous utilisons en fonction de leur distance.

CHAPITRE 2. AUTO-ASSEMBLAGES IRR´EVERSIBLES LIN´EAIRES 71 φ λ MHT HT défauts rigide équilibre T.C. Halsey, W. Toor PRL 65, 2820 (1990) M. Fermigier, A. P. Gast J. Colloid Interface Sci. 154 522 (1992)

S. Fraden et al. PRL 63, 2373 (1989) S. Melle et al. PRL 87, 115501 (2001)

E.M. Furst, A.P. Gast PRE 61, 6732 (2000) J.E. Martin et al. PRL 69, 1524 (1992) PRE 57, 756 (1998) J.E. Martin et al.

PRL 69, 1524 (1992) PRE 57, 756 (1998) PRE 59, 5676 (1999)

Fig.2.8 –Diagramme fraction de particules (φ), λ illustrant l’agr´egation des particules aux temps courts. HT : mod`ele de Hasley et Toor ; MHT : mod`ele de Hasley et Toor modifi´e. Extrait de [Melle, 2002].

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 F orce magnétique (pN) 1000 800 600 400 200 0 Distance h (nm) 30 mT 50 mT

Fig.2.9 –Variation de la force magn´etique entre particules en fonction de leur distance bord `a bord (a=0.375 µm, χ=1).