Graphes et centralités
3.2 Quelques familles classiques de graphes
3.3.1 Centralités issues de l’Analyse des Réseaux Sociaux
3.3.1.1 Centralité de degré
Cette centralité comme la plupart des centralités issues de l’Analyse des Réseaux Sociaux fut introduite par Freeman [35]. Elle est considérée comme la centralité la plus intuitive car elle mesure l’importance d’un individu au sein d’un environnement (groupe) par le nombre de relations qu’il a. Cela inclue par exemple les autres individus du groupe qu’il connaît, avec qui il intéragit ou collabore dans son environnement professionnel à titre d’exemple. Un individu peut représenter une personne physique, morale telle qu’une entreprise ou tout autre type d’objet modélisé par un sommet dans le graphe étudié. Ainsi, le degré d’un sommet correspond au nombre de sommets auxquels il est directement lié, qui représentent aussi son voisinage immédiat, ce qui est aussi équivalent au nombre de liens qui lui sont adjacents. Cela correspond à l’appelation propre à la théorie des graphe qui est le "degré d’un sommet".
Soit un graphe G(V, E) avec N sommets. Ce graphe est représenté par sa matrice d’adja-cence A = (a(ij)), 1 ≤ i, j ≤ N .
— Si G est un graphe non-orienté, A est symétrique et la centralité de degré d’un sommet
si∈ V est définie par la formule suivante :
deg(si) =
PN j=1aij
N − 1 (3.5)
Le vecteur de centralité de degré s’écrit sous la forme : deg = N −1A×1; où 1 est un vecteur colonne de taille N avec des composantes toutes égales à 1. La figure 3.4 représente un exemple de graphe non-orienté où les couleurs des sommets représentent les valeurs de leurs centralité de degré.
Figure 3.4 – Centralités de degré dans un graphe non-orienté.
— Si G est un graphe orienté, sa matrice d’adjacence A n’est plus forcément symétrique. Dans ce cas la centralité de degré peut être dissociée en deux mesures. L’une entrante et l’autre sortante ; la première prend en compte uniquement les liens qui arrivent vers le sommet étudié, tandis que la seconde considère ceux qui en sortent. Elles sont calculées respectivement par les formules suivantes :
degIn(si) = PN j=1aij N −1 degOut(si) = PN j=1aji N −1 (3.6)
Les vecteurs de centralité respectifs s’écrivent comme suit :
degIn = N −1A×1 degOut = AN −1T×1 (3.7) Remarques :
— Dans le cas d’un graphe orienté : deg(si) = degIn(si) + degOut(si). — Dans le cas d’un graphe non-orienté : deg(si) = degIn(si) = degOut(si).
3.3.1.2 Centralité de proximité
Cette centralité est une mesure globale également introduite par Freeman [35]. Elle s’in-téresse à l’étude de la position qu’occupe un sommet dans un graphe et mesure l’intensité de proximité qu’il a avec les autres éléments du graphe. Dans un réseau informatique par exemple, elle correspond à l’idée qu’un équipement puisse atteindre rapidement et facile-ment l’ensemble des autres équipefacile-ments. Ce qui correspond concrétefacile-ment au calcul de sa proximité moyenne par rapport aux autres sommets du graphe.
non).
— Dans le cas d’un graphe non-orienté G(V, E), ayant N sommets et représenté par la matrice d’adjacence A, la centralité de proximité d’un sommet si ∈ V s’écrit comme suit :
c(si) = N − 1
PN
j=1d(si, sj),
où d(si, sj) représente la distance entre les sommets si et sj.
Il existe plusieurs métrique pour calculer la distance entre deux sommets. Freeman suggère l’utilisation de la distance dite géodésique qui correspond à la longueur du plus court chemin entre deux sommets.
La figure 3.5 représente un graphe où les couleurs des sommets correpondent à leur classement selon la mesure de centralité de proximité.
Figure 3.5 – Centralités de proximité dans un graphe non-orienté.
— Si G(V, E) est un graphe orienté, deux mesures de centralité de proximité sont distin-guées : l’une entrante cIn et l’autre sortante cOut.
cIn(si) = PNN −1 j=1d(si,sj) cOut(si) = PNN −1 j=1d(sj,si) (3.8)
telle que d(si, sj) est la distance orientée entre les sommets si et sj.
La distance orientée prend en compte l’orientation des liens dans le calcul, du plus court chemin, si la distance utilisée est la distance géodésique.
3.3.1.3 Centralité d’intermédiarité
Cette mesure de centralité globale fut également introduite par Freeman [35]. Elle a comme idée de base qu’un sommet est d’autant plus important, s’il est indispensable de passer par lui pour se déplacer d’un sommet à un autre. En d’autres termes, un sommet est important par cette centralité s’il est parcouru par plusieurs chemins géodésiques dans
le graphe.
Selon Borgatti et Everett [13], un individu appartenant à un réseau social avec une valeur élevée de la centralité d’intermédiarité correspond à un sommet dont dépendent beaucoup d’interactions entres sommets ne lui étant pas adjacent dans le graphe.
Soit G = (V, E) un graphe (orienté ou non) avec N sommets. La centralité d’intermédiarité d’un sommet si se calcule par la formule suivante :
betw(si) = N X j=1 N X k=1 gjk(si) gjk ,
tel que gjk(si) représente le nombre de chemin géodésiques entre les sommets sj et skpassant par le sommet si et gjk le nombre total de chemins géodésiques entre sj et sk.
Notons que la prise en compte de l’orientation des liens se fait dans le calcul de la distance géodésique. La mesure de la centralité d’intermédiarité se base sur le fait que les sommets n’intéragissent entre eux que via les plus courts chemins (chemins géodésiques). D’autres mesures ne se basant pas sur cette même hypothèse ont été proposées dans la litterature telle que la centralité du flux d’intermédiarité [34]. La figure 3.6 représente un graphe où les sommets sont colorés selon leurs intermédiarités.
Figure 3.6 – Centralités d’intermédiarité dans un graphe non-orienté.
3.3.1.4 Limites de certaines centralités issues de l’Analyse des Réseaux Sociaux Etant donné que la centralité de degré est une mesure de centralité locale [77], elle ne considère que le voisinage immédiat du sommet concerné et donc n’inclut pas la structure globale du réseau, ce qui la rend peu informative quand l’objectif est d’étudier un graphe dans sa globalité.
La centralité de proximité n’est applicable que lorsque le graphe étudié est connexe, car dans le cas contraire, les distances géodésiques entre certains sommets peuvent être indéfinies s’il n’existe aucun chemin entre eux.
D’autre part, pour que la centralité d’intermédiarité d’un sommet ne soit pas nulle, il faut que ce dernier ait au moins deux liens, l’un entrant et l’autre sortant. Typiquement, dans
un graphe ayant la majorité de ses sommets qui sont soit des feuilles (un degré sortant nul) ou des sources qui sont la configuration inverse (un degré entrant nul), la centralité d’intermédiarité n’est pas pertinente pour étudier ses sommets.