Application au cas des réseaux réels des systèmes nucléaires du modèle EPR 2 P sys−EP R2nucléaires du modèle EPR 2 Psys−EP R2

7.4.1 Description du jeu de données

Dans cette partie, nous utilisons le jeu de données P_{sys−EP R2} précédemment présenté dans le paragraphe Réseaux réels des systèmes de sûreté nucléaire. Rappelons qu’il s’agit de réseaux de systèmes de sûreté nucléaire. Ils sont 23 réseaux systèmes et donc

K = card(P_{sys−EP R2}) = 23.

7.4.2 Recodage des données

Le recodage des données de P_{sys−EP R2} est fait exactement de la même manière que celui des cas d’études précédents qui appliquent tous la méthode décrite dans le pa-ragraphe (cf : Mesure de similarité entre réseaux).

Ainsi, à chaque réseau P_k de P_{sys−EP R2} correspond un vecteur ligne Kcor[k], 1 ≤

k ≤ card(P_{sys−EP R2}) = 23, tel que chaque composante Kcor^(l)[k]; 1 ≤ k ≤ 23 s’écrit comme suit :

Kcor^(l)[k] = cor(X⁽ⁱ⁾[k], X^(j)[k]); 1 ≤ j < i ≤ 7; 1 ≤ l ≤ 21).

La matrice Kcor = t(Kcor[1], ..., Kcor[K]) qui regroupe tous les coefficients synthé-tiques de centralités a maintenant 21 colonnes comme précédemment mais K = 23 lignes, le nombre de graphes étudiés.

7.4.3 Exploration du nombre optimal de clusters de P_{sys−EP R2} Méthode "Elbow" (coude) [79]

Figure 7.31 – Nombre optimal de clusters par la méthode Elbow

Nous remarquons que cette méthode donne un nombre optimal de clusters K = 5, malgré que le "coude" n’est pas clairement identifié ici.

Méthode "Silhouette"

La figure 7.32 représente le nombre optimal de clusters pour le jeu de données P_{sys−EP R2} selon la méthode "Silhouette" décrite dans la partie Méthodes de détermination du nombre de clusters.

Figure 7.32 – Nombre optimal de clusters par la méthode Silhouette

Nous remarquons d’après la figure 7.32 que cette méthode donne aussi un nombre optimal de clusters K = 5.

Ces deux méthodes nous suggèrent un nombre optimal de clusters de 5, néamoins, étant donné que la CAH propose une hierarchie de clustering grâce au dendrogramme, il est possible de reconsidérer ce clustering et plus précisément fusionner deux clusters ou plus, ou à l’inverse partitionner un cluster de ceux que nous allons présenté dans le partitionnement à K = 5 clusters.

7.4.4 Clustering du jeu de données P_{sys−EP R2}

Nous effectuons, comme dans les différents cas d’études précédents, un clustering sur les résultats de l’ACP, puis un autre avec uniquement la CAH et dans ce cas sur les données brutes.

Clustering Ascendant Hiérarchique sur ACP et sans ACP de P_{sys−EP R2} La figure 7.33 représente la projection des données de P_{sys−EP R2} sur le premier plan factoriel retenu par l’ACP.

Figure 7.33 – Représentation des réseaux des systèmes du modèle EPR 2 sur le premier plan factoriel

Le premier plan factoriel de l’ACP représente environ 63% de l’information. Nous re-marquons que les réseaux "RIS" est isolé et éloigné des autres. Les réseaux représentés par chaque couleurs sont proches entre eux et loins des autres. les groupes en rouge et en vert sont légèrement proches. La fusion de groupes peut être envisagée ou non. La figure 7.34 représente le résultat du clustering sur les composantes principales identifiées par l’ACP.

Figure 7.34 – Clustering des réseaux des systèmes du modèle EPR 2 par la CAH sur ACP

les clusters obtenus pour un partitionnement en K = 5 groupes aussi suggérer par le saut d’inertie sont résumés dans le tableau 7.21.

Nom du cluster Eléments Taille du cluster

Clust1 "SAR","RCP" 2

Clust2 "PTR", "RRI","ASG", "CEX","DER",

"DVD","DEL","DER", "DVL","SER","REA", "SRI","RCV","SED" 14 Clust3 "AAD_APA_ARE", "RGL","EVU_EVi", "GCT_VDAVVP" 4 Clust4 "CFI_CRF_SEC_SEN_ SRU", "RBS" 2

Clust5 "RIS" 1

Table 7.21 – Clustering des réseaux de systèmes EPR2 par la CAH après l’ACP

Nous remarquons que les clusters sont de tailles différentes avec un grand cluster (Clust2) qui contient 14 réseaux. En réalisant une CAH sur les données brutes nous obtenons également 5 clusters.

La confrontation des résultats obtenus par la CAH sur les composantes principales de l’ACP et celle sans ACP montre que les clusters obtenus sont identiques. L’ACP aura servi à visualiser les données.

Ces résultats doivent être discutés avec le constructeur nucléaire pour le design des systèmes et les experts en fonctionnement.

7.4.5 Classification du jeu de données P_{sys−EP R2}

Dans ce paragraphe nous souhaitons réaliser une classification du jeu données P_{sys−EP R2}. Pour se faire, nous étiquettons les différents réseaux par la classe trouvée dans le

pa-ragraphe de clustering ci-dessus. Le jeu de données P_{sys−EP R2} est donc composé de 23 réseaux appartenant à 5 classes tels que décrit dans le tableau 7.21. Vu que le nombre de réseaux du jeu de données est très petit, nous utilisons comme méthode de validation de l’apprentissage supervisé le Leave-One-Out Cross-Validation présenté dans le paragraphe 2 de l’annexe Validation croisée (Cross-Validation).

Le tableau 7.22 présente les différentes erreurs de prédictions réalisées par chacune des méthodes à base d’arbre de décision.

Méthode Erreur de Prédiction

CART 0.35

Bagging CART 0.21 Random Forest 0.18

Table 7.22 – Erreurs de prédiction des méthodes à base d’arbres de décision sur Psys−EP R2

Nous remarquons que bien que la taille du jeu de données est très faible et les classes à prédire sont loin d’être équi-représentées comme c’est le cas dans les autres jeux de données, la méthode d’arbre de décision (CART) donne des résultats acceptables. Ses performances ont été améliorées grâce aux méthodes ensemblistes Bagging et Random Forest.

7.5 Conclusion

Dans les paragraphes précédents, nous avons défini une centralité synthétique qui re-groupe l’information relative aux sommets d’un réseau. Cette mesure est basée sur les interdépendences entre leurs vecteurs de centralités. L’interdépendance est captu-rée par la corrélation des rangs de Kendall. Ensuite, nous avons établi une mesure de similarité entre réseaux, indépendamment de leurs tailles, densité, et autres types de propriétés. Nous avons appliqué ces deux notions pour effectuer un clustering sur différents types de graphes théoriques. Les résultats produits sont satisfaisants. Cette méthode est donc efficace pour discriminer les différents types de réseaux dans chaque jeu de données.

Enfin, nous avons appliqué cette nouvelle mesure de similarité sur des réseaux réels qui sont les réseaux systèmes de sûreté P_{sys−EP R2}. La validation croisée classique ne convient pas pour l’ensemble des données P_{sys−EP R2} puisqu’il est de taille réduite. Pour y remédier, une validation croisée de type Leave-one-out a permis de prouver que les résultats obtenus par les méthodes à base d’arbres de décision sont satisfaisants.

Chapitre 8