Cas pour un nombre arbitraire d’antennes émettrices

Dans la partie précédente, nous avons souligné le fait que le schéma d’Alamouti s’appuie sur l’orthogonalité des séquences de symboles transmises.

Ce schéma est généralisé à un nombre d’antennes émettrices quelconque en appliquant la théorie des constructions orthogonales [101] où il est montré que le codage d’Alamouti est un cas unique pour le traitement de signaux complexes. Ces codes généralisés, dénommés CSTB, permettent d’atteindre un gain maximum en diversité, en appliquant toujours en réception un traitement linéaire simple suivi d’un décodage disjoint des signaux transmis basé sur le critère du MV. Cependant, il est montré dans [101] que la construction orthogonale de signaux complexes avec un taux de codage R plein n’est pas possible pour des systèmes comportant plus de deux antennes. Par exemple, seuls des taux de1₂ et 3₄ sont réalisables pour des systèmes à trois et quatre antennes émettrices.

Dès lors, l’objectif est de proposer des codes permettant d’approcher au mieux le taux de codage unitaire.

Encodage

La structure de l’encodeur (cf. figure 1.5) consiste à sélectionner k symboles complexes, x1, x2, . . . , xk,

qui sont réordonnés pour générer la matrice de transmission φc_k,p,n

T, dénommée code spatio-

temporel en bloc, de taille n_T × p, avec n_T le nombre de branches émettrices et p le nombre de périodes nécessaires pour transmettre un bloc de symboles codés. Les nT séquences de sym-

boles espace-temps (lignes de la matrice φc_k,p,n

T) sont transmises simultanément en p périodes.

Si le taux de codage R est inférieur à l’unité, une extension de la bande de transmission de _R1 est nécessaire pour compenser cette perte de performances. Si R = 1, cette extension n’est pas nécessaire.

Figure 1.5 – Synopsis d’un système de codage spatio-temporel par bloc (nT,nR), prenant en

entrée une séquence de k symboles encodée sur p périodes par la matrice φc_k,p,n

T dont les éléments

de chaque colonne sont transmis en parallèle et simultanément via les nT antennes.

Les entrées de la matrice Φ correspondent à des combinaisons linéaires des k symboles et de leurs conjugués. Le code est construit de telle façon que les lignes de la matrice de transmission soient orthogonales deux à deux :

xi.xj = t=1

X

p

xi,tx∗j,t= 0, i 6= j, i, j ∈ {1, 2, . . . , nT} . (1.17)

Cette orthogonalité permet d’atteindre une diversité de transmission maximale suivant le réseau d’antennes disposé. Comme cité dans la partie 1.2.1, elle facilite en réception le processus de décodage basé sur le critère du MV en s’appuyant sur une combinaison linéaire des signaux reçus.

Suivant la nature des symboles à transmettre, réels ou complexes, les codes spatio-temporels en bloc peuvent être classés en deux groupes. Dans le cas des signaux réels, le taux de codage est unitaire et le gain en diversité maximal, soit n_T × n_R. Dans le cas de signaux complexes, le code d’Alamouti constitue un cas particulier de matrice de transmission carrée avec un taux de codage unitaire. Au delà de deux branches émettrices, le taux de codage est inférieur à l’unité. En d’autres termes, le nombre de périodes p nécessaires pour transmettre le code espace-temps est systématiquement supérieur au nombre de symboles k pris par l’encodeur pour générer le code, d’où une perte des performances du lien. Dès lors, l’objectif dans la construction du code en bloc pour les signaux complexes porte sur la minimisation de p, ce qui revient également à minimiser le temps de décodage. La construction de codes en bloc pour des symboles complexes s’effectue au cas par cas suivant le nombre d’antennes émettrices.

Par exemple, pour un système composé de trois antennes émettrices [101], le code espace-temps est donné par :

Φc_3,4,3=     x1 −x∗2 x∗ 3 √ 2 x∗ 3 √ 2 x2 x∗1 x∗₃ √ 2 −x∗ 3 √ 2 x3 √ 2 x3 √ 2 −x1−x∗1+x2−x∗2 2 x2+x∗2+x1−x∗1 2     , (1.18)

avec un taux de codage R = 3₄. Cependant, cette matrice d’encodage est relativement complexe à mettre en œuvre à l’émission puisqu’elle implique des opérations arithmétiques.

Dans [54], il est proposé la matrice d’encodage suivante :

Φ0_3,4,3c =   x1 x∗2 x∗3 0 −x₂ x∗₁ 0 −x∗ 3 −x3 0 x∗1 x∗2  . (1.19)

Ce codage fournit également un taux de codage R = 3₄ et possède l’avantage d’être plus facile à mettre en œuvre. Néanmoins, des valeurs nulles sont introduites, d’où une perte en termes d’efficacité spectrale. Dans [100], une méthode de génération des codes est proposée et un taux de codage maximum est proposé pour différentes configurations d’antennes (cf. tableau I, p. 382).

De récents travaux [113] montrent qu’il est possible d’obtenir un taux de codage unitaire pour trois et quatre antennes émettrices. Les schémas proposés ne permettent pas d’atteindre un gain en diversité maximum mais la perte de performances est compensée par l’insertion d’un code correcteur de canal.

Décodage pour un système quelconque (n_T,n_R)

De manière analogue au processus de décodage appliqué dans le cas du schéma d’Alamouti et en s’appuyant toujours sur la propriété d’orthogonalité du code spatio-temporel Φ, les statistiques de décision du signal désiré x_i sont déterminées indépendamment des autres symboles (réels ou complexes) transmis x_j, j = 1, 2, . . . , n_T, j 6= i. Elles sont générées suivant une combinaison linéaire des signaux reçus comme suit :

˜ xi = X t∈η(i) nR X j=1 sgn_t(i).¨y_tj.¨hj,t(i), (1.20) avec :

– η(i) : l’ensemble des colonnes dans lesquelles x_i apparaît, – sgn_t(i) : le signe de xi dans la tième colonne,

– t(i) : la position de xi dans la tième colonne,

et :

¨ y_tj =

(

yj_t si xi appartient à la tième colonne,

(y_tj)∗ si x∗_i appartient à la tième colonne, (1.21) ¨

hj_t =  _h∗

j,t(i) si xi appartient à la t

ième _colonne,

h_j,t(i) si x∗_i appartient à la tième colonne, (1.22) où i = 1, 2, . . . , p. Le canal est supposé constant durant la transmission d’un code, soit p périodes. Des simulations ([105], p. 108-111) montrent qu’augmenter le nombre d’antennes émettrices fournit un gain en performance significatif. De plus, cette augmentation influe peu sur la com- plexité du décodage puisque seuls des traitements linéaires sont nécessaires. Les performances des CSTB peuvent être encore améliorées en les associant à des codes correcteur d’erreur [113]. Cepen- dant, la construction de codes performants (taux de codage unitaire) pour des signaux complexes et un nombre d’antennes émettrices arbitraire n’est pas réalisable pour n_T > 2 ([24], p. 260-261). De plus, l’imperfection de l’estimation du canal en réception, basée par exemple sur l’émission d’une séquence de symboles d’apprentissage connue au récepteur, dégrade les performances du système. Plus le nombre d’antennes est important, plus la sensibilité du système à l’erreur d’es- timation du canal croît. De même, la corrélation entre les antennes réduit les performances du système sans fil.