3.3 Extensions et Applications : Solveur et Postprocesseur
3.3.3 Cas Particulier d’un Moteur Synchrone à Aimant
Dans cette partie, nous allons nous intéresser plus particulièrement, à une machine synchrone à aimant permanent triphasée de deux types. Tout d’abord nous expliquerons notre procédure d’évaluation du couple pour les machines dont la force électromotrice (f.e.m.) est sinusoïdale car ce sera le type que nous traiterons dans le dernier chapitre de ce manuscrit. Puis nous nous présenterons une méthode comparable concernant les machines à f.e.m. trapézoïdale.
3.3.3.1 Machines à f.e.m. Sinusoïdale
On considère donc une machine synchrone triphasée alimentée en régime permanent sinu-soïdal équilibré, dont le diagramme spatial correspondant est donné ci-après.
1 2 3 1’ 2’ 3’ I I1 I3 I2 q d θ
Où θ est la position électrique du rotor. On rappelle aussi la représentation des grandeurs élec-triques de la machine dans le repère (d,q) (suite à la transformation de Park) [Mil89] :
q d I V ϕ ψ Φ Ε δ Avec :
• I : Valeur efficace du courant d’induit. • Φ : Valeur efficace du flux inducteur. • ψ : Avance de phase du courant induit par rapport à la f.e.m. correspondante.
• V : Valeur efficace de la tension aux bornes d’une phase de l’induit.
• E : Valeur efficace de la f.e.m correspondante. • δ : Avance de phase de la tension V par rapport à la f.e.m.
On se place dans le cas d’une alimentation en courant, seules les trois premières des variables ci-dessus nous intéressent.
Pour un enroulement de phase statorique, la tension est donnée par :
V = RsI+ jωΦt (3.10)
OùΦtest le flux total embrassé par l’enroulement, soit :
Φt= ΦI+ ΦJ (3.11)
Avec :
– ΦI: flux de réaction d’induit créé par les trois courants d’induit, – Φj : flux inducteur créé par l’excitation J .
En (d,q),Φtest donné par :
Φtd = LdId+ Φ (3.12)
3.3. Extensions et Applications : Solveur et Postprocesseur 85 Φ étant la valeur efficace du flux inducteur :
Φ = M√maxJ
2 (rotor bobiné)= Φa √
2 (rotor à aimants) (3.14)
En négligeant la résistance statorique Rs, le couple électromagnétique en (d,q) s’écrit :
Cem = 3p(ΦqId− ΦqIq), (3.15)
où p est le nombre de paires de pôles.
Après projections sur les axes d et q et simplifications, on obtient :
Cem = 3p(ΦIcosψ +Ld− L2 qI2sin2ψ) (3.16)
Finalement, on trouve une expression reliant la valeur du couple Cemen fonction de l’angle de calage ψ avec
– Φ : valeur efficace du flux des aimants,
– Ldet Lq: inductances statoriques selon les axes d et q.
Ce sont par conséquent ces trois derniers termes que nous allons calculés par éléments finis afin d’obtenir la valeur de notre couple moyen dans le paragraphe 3.3.4.
Application Numérique : On considère une machine à aimant triphasée, à pôles saillant et à f.e.m sinusoïdale, ayant les caractéristiques suivantes :
– p= 3,
– 2 encoches droites par pôle et par phase, – Ld= 1, 35 mH,
– Lq = 3, 7 mH,
– Φm = 0, 12 Wb (valeur crête du flux pour une phase).
Les courbes des flux et f.e.m. associés sont données par Fig. 3.8.1 et Fig. 3.8.2, les courbes de couple pour différentes amplitudes de courant, IM et différentes valeurs de l’angle de calage ψ sont représentées en Fig. 3.8.3 et Fig. 3.8.4.
On peut remarquer les fortes ondulations apparaissant sur les formes d’onde des f.e.m. et du couple. Elles sont dues au fait que la machine est à pôles saillant et que les encoches sont droites. Une inclinaison des encoches réduirait ces ondulations.
En calculant les valeurs de couple moyen fournies par la formule (3.16), on obtient : Valeurs correspontant à la Fig. 3.8.3 Valeurs correspontant à la Fig. 3.8.4
Cas I= 10 A, Cem= 5, 40 N·m, Cas ψ= 0o, C
em = 15, 12 N·m, Cas I= 28 A, Cem= 15, 12 N·m. Cas ψ= 20o, Cem = 11, 54 N·m.
On se rend alors compte que les valeurs ainsi calculées sont assez proches des valeurs moyennes correspondant aux courbes de couples. Nous faisons sûrement une légère sous-estimation mais cela reste très acceptable.
3.8.1: Courbes des flux 3.8.2: Courbes des f.e.m.
3.8.3: Couples à ψ = 0, pour IM = 10 ou 28 A 3.8.4: Couples pour IM = 28 A, à ψ = 0 ou 20o
FIG. 3.8 – Formes d’onde pour une machine à aimant à pôles saillants et f.e.m. sinusoïdales 3.3.3.2 Machines à f.e.m. Trapézoïdale
Intéressons nous maintenant au cas d’une machine à aimant triphasée à f.e.m. trapézoïdale. Les formes d’ondes correspondant à une alimentation120o d’une machine à pôles lisses de ce
type sont fournies par la figure Fig. 3.9. Elles sont tracées en fonction de la position mécanique du rotor.
On rappelle la formule générale de calcul du couple dans le cas présenté ici : Cmot= Ω1 X
ek(t) · ik(t), (3.17)
oùΩ est la vitesse du moteur, et les eket les iksont les f.e.m. et les courants par phase. Plaçons nous lors de la séquence (5), c’est-à-dire entre80 et 100 degrés électriques, on a :
Cmot = Ω1 (eA· I1+ eB· I2) = Ω1(eA− eB) · Ic = Ω1eAB· Ic= Ω2eA· Ic,
3.3. Extensions et Applications : Solveur et Postprocesseur 87
3.9.1: Forme d’onde des flux 3.9.2: Forme d’onde des f.e.m.
A eAC eBC eCB eCA eBA eAB (1) (2) (3) (4) (5) (6) C B A’ B’ C’
3.9.3: Représentation spatiale des f.e.m.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
3.9.4: Forme d’onde des courants
FIG. 3.9 – Formes d’onde pour une machine à f.e.m. trapézoïdale (alimentation120o)
avec Ic, valeur du courant de circuit.
Dans cette zone, eApeut être obtenu à partir du flux de la première phase par :
eA= ∂ΦA
∂t = ∂ΦA
∂θ ·∂θ
∂t = ∂ΦA
∂t · p Ω, θ étant la position électrique du rotor.
On néglige les ondulations dues aux encoches, et on considère la f.e.m. constante égale à la pente de la droite donnée par le flux, la dérivée correspondante est ainsi calculée de façon approchée par :
∂ΦA
∂θ = Φmax− Φmin
π = 2 ΦM
π ,
On obtient la même expression pour chacune des six séquences d’alimentation, on en déduit la valeur moyenne du couple :
Cmot= 4
π pΦM · Ic. (3.18)
En calculantΦM, on peut ainsi obtenir une évaluation du couple moyen. Le calcul numérique automatique du couple par NUMT présenté dans la partie suivante a été développé pour des ma-chines à f.e.m. sinusoïdale. Il sera néanmoins très facile d’ajouter le cas des f.e.m. trapézoïdale. En effet, les géométries et maillages générés par EfMachElec sont tels que la phase 1 statorique est alignée avec l’axe rotorique. Ainsi, en calculant le flux à vide, on obtient la valeur maximale du flux à travers la première phase, soitΦM. On peut alors directement déduire le couple associé.
Remarque 10 Une méthode simple de même nature pourrait être utilisée dans le cas d’une ma-chine à réluctance variable. En effet, EfMachElec génère dans ce cas particulier deux géométries et maillages associés. Dans le premier cas, les axes polaires statorique de la phase 1 et l’axe polaire rotorique sont alignés, dans l’autre ils sont en quadrature. Un exemple de géométrie est donné ci-dessous : q d (1) (1) q d
Cas no1 : axes (1) etd alignés Cas no2 : axes (1) etd en quadrature
L1
θ Cas 2
Cas 1
Forme d’onde de l’inductance de la phase 1
Avec deux résolutions successives, on peut déterminer les valeurs minimale et maximale de l’inductance d’une phase grâce au flux de la phase 1. Connaissant alors la forme d’onde, on peut calculer le couple statique puis en deduire le couple moyen en fonction de l’alimentation par [Mil89, Bol95, Bri98].
Remarque 11 Une procédure utilisable de calcul de couple pour la machine asynchrone est fournie par [Baj94, Lef97, Kas98]. Elle est basée sur un calcul magnétostatique des flux en linéaire mais aussi en saturé.
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