6.3 R` egles de modification du secteur angulaire
6.3.1 Cas de figures principaux
Rappelons que les secteurs 1 et 4 et les secteurs 2 et 3 du secteur angulaire de toute
Q-arˆete par rapport `a Q, mis `a part le cas o`u Q est une paire de plans et cette Q-arˆete est contenue dans sa droite singuli`ere, sont suppos´es correspondre respectivement aux voisinages externes et aux voisinages internes desQ-faces d´elimit´ees par cetteQ-arˆete (cf. section 5.3.3). Rappelons de plus que les secteurs 1 et 3 et les secteurs 2 et 4 du secteur angulaire de toute Q-arˆete de la droite singuli`ere d’une paire de plans Q par rapport `a
Q sont suppos´es correspondre respectivement aux voisinages externes et aux voisinages internes des Q-faces d´elimit´ees par cette Q-arˆete sur chacun des deux plans de Q (cf. section 5.4). Par cons´equent nous pouvons ´enoncer le lemme suivant :
Lemme 1 Si Qi ≡Q, alors S(a, Q, Qi) = S(a0, Q, Qi).
Supposons dor´enavant que Qi 6≡Q. Il est clair que lorsque M 6∈Qi, les Q-arˆetes a et
a0 se trouvent soit toutes les deux `a l’int´erieur, soit toutes les deux `a l’ext´erieur de Qi. Par cons´equent :
Lemme 2 Si M 6∈Qi, alors S(a, Q, Qi) = S(a0, Q, Qi).
Ainsi, dans la suite de ce chapitre il est suppos´e queM se situe surQi. Afin d’illustrer les probl`emes qui se posent dans ce contexte, nous avons d´ecrit ci-dessous le cas qui semble le plus intuitif ainsi que quelques exemples de cas particuliers qui n´ecessitent une ´etude plus approfondie.
Le cas le plus intuitif semble ˆetre celui o`u l6⊂Qi,M est le point d’intersection entre l
etQi,M n’est pas un point singulier deCet le plan tangent deQi enM existe. Nommons ce dernier T. Dans ce contexte, nous dirons que l traverse Qi en M, lorsqu’en ce point
Qi s´epare l en deux branches dont chacune est situ´ee, au voisinage de M, sur un cˆot´e diff´erent par rapport `a la surface deQi. Selon quel traverse ou nonQi enM,S(a, Q, Qi)
et S(a0, Q, Qi) sont diff´erents ou ´egaux.
– ltraverseQi enM si et seulement si au voisinage deM une des branches delse situe `
a l’int´erieur de Qi et l’autre `a l’ext´erieur de Qi. Ceci arrive en particulier lorsque l
6.3. R`egles de modification du secteur angulaire – De mˆeme, l ne traverse pas Qi en M seulement si au voisinage de M les deux branches de l se situent soit toutes les deux `a l’int´erieur de Qi, soit toutes les deux `a l’ext´erieur de Qi. Il est ainsi n´ecessaire que l soit tangente `a T en M. Ici
S(a, Q, Qi) =S(a0, Q, Qi) (cf. figure 6.2 b). Q i Q i l T T l M M a) b)
Fig. 6.2 – Cette figure illustre une quadrique volumique Qi, son plan tangent T en un pointM et une composante alg´ebriquel qui intersecteQi enM. a)l traverse Qi enM et
S(a, Q, Qi) = −S(a0, Q, Qi). b) l ne traverse pasQi enM etS(a, Q, Qi) =S(a0, Q, Qi).
Cependant, nombre d’autres cas de figures paraissent plus d´elicats.
– Par exemple, dans le cas o`u le plan tangent `aQi n’est pas d´efini enM, la notion de travers´ee (l traverse Qi) devient moins intuitive. Figure 6.3 montre deux exemples o`uQi est un cˆone et M est son sommet. Dans le premier S(a, Q, Qi) =S(a0, Q, Qi), et dans le second S(a, Q, Qi) =−S(a0, Q, Qi).
Q i l M Q i M l : sens de parcours de l : sens de parcours de l
a) b)
Fig. 6.3 – Sur cette figure Qi est un cˆone et M son point singulier. Lors du parcours de
Chapitre 6. M´ethode de mise `a jour du secteur angulaire
– De mˆeme, nombreux sont les cas `a envisager lorsque l ⊂ Qi. Ici, quatre exemples sont illustr´es dont les figures sont issues du travail de th`ese de L. Dupont [11]. Dans la figure 6.4, M est un point singulier pour la courbe d’intersection C (point nodal) et S(a, Q, Qi) = −S(a0, Q, Qi). De son cˆot´e, dans la figure 6.5, M est un point singulier pour la quadrique volumique Q et Qi est tangent `a Q en l. Ici, lorsqueQi est un plan simple,S(a, Q, Qi) =−S(a0, Q, Qi). Le troisi`eme exemple est repr´esent´e par figure 6.6. Ici Q et Qi sont deux paires de plans qui partagent un plan, l est la droite singuli`ere de Q et M est un point singulier pour Qi. Dans ce
cas S(a, Q, Qi) =−S(a0, Q, Qi). Enfin, dans le quatri`eme exemple (cf. figure 6.7)Q
est une paire de plans, l est sa droite singuli`ere, Qi est un cˆone, M est son point singulier et Q a un plan qui est tangent `a Qi en l. Si S(a, Q, Qi) et S(a0, Q, Qi) sont des secteurs angulaires associ´es `a ce plan, alors S(a, Q, Qi) =S(a0, Q, Qi). Par contre s’ils sont associ´es `a l’autre plan deQ, alorsS(a, Q, Qi) =−S(a0, Q, Qi). Il est clair qu’ici d’autres conditions pour la modification du secteur angulaire s’av`erent n´ecessaires `a ´etablir.
Fig. 6.4 – Soient Q le cylindre bleu et Qi le cylindre jaune. Les deux composantes alg´ebriques dessin´ees en rouge et vert repr´esentent la courbe d’intersection entre les deux cylindres. Soient l la composante alg´ebrique rouge et M un de ses points nodaux. Ici
S(a, Q, Qi) =−S(a0, Q, Qi).
Cette diversit´e des cas de figures a n´ecessit´e d’envisager plusieurs conditions pour d´eterminer les situations o`u le secteur angulaire est modifi´e et celles o`u il ne l’est pas.
6.3. R`egles de modification du secteur angulaire
Fig. 6.5 – Soient Q le cˆone et Qi la quadrique volumique qui contient le plan. l est la droite de tangence entreQ etQi. Soit M le point singulier du cˆone. Lors du parcours de
l l’´evolution du secteur angulaire au moment du passage par M d´epend de la multiplicit´e du plan (simple ou double). En particulier si ce plan est simple, alors comme les deux demi-cˆones sont situ´es chacun d’un cˆot´e diff´erent de ce plan, S(a, Q, Qi) = −S(a0, Q, Qi). SinonQi est un plan double et dans ce cas-l`a S(a, Q, Qi) = S(a0, Q, Qi).
Fig. 6.6 – Soient Q et Qi deux paires de plans qui ont un plan en commun, le plan bleu. Soient les droites rouge et verte respectivement les droites singuli`eres de Q et de
Qi. Enfin, soient P0 et P00 les deux plans de Q. Ici l est la droite singuli`ere de Q et M
par son point d’intersection avec la droite singuli`ere de Qi. En d’autres termes, l est une droite singuli`ere de Q et M un point singulier de Qi. Ici S(a, P0, Qi) =−S(a0, P0, Qi) et
Chapitre 6. M´ethode de mise `a jour du secteur angulaire
Fig. 6.7 – SoientQ la paire de plans et Qi le cˆone. NotonsP0 le plan deQ tangent `a Qi, et P00, le plan de Q qui n’est pas tangent `a Qi. Prenons pour l la droite verte, droite de tangence entre P0 etQi. l est la droite singuli`ere deQ etM est un point singulier de Qi. Ici, S(a, P0, Qi) = S(a0, P0, Qi) et S(a, P00, Qi) =−S(a0, P00, Qi).
Dans la suite du chapitre nous s´eparons le probl`eme en deux cas principaux, celui o`u
l 6⊂Qi et celui o`ul ⊂Qi. Les cas de figure suivants sont consid´er´es : 1. l 6⊂Qi;
2. l ⊂Qi et Q∩Qi est de dimension 1 ; – Q est r´eguli`ere en M;
– Qi est r´eguli`ere enM etM est simple ; – Qi est r´eguli`ere enM etM est multiple ; – Q et Qi sont singuli`eres enM et M est simple ; – Q et Qi sont singuli`eres enM et M est multiple ; 3. l ⊂Qi et Q∩Qi est de dimension 2.
Tous ces cas de figure sont r´esum´es dans la proposition 1 `a la fin de ce chapitre.