Cartographies des champs instantan´es autour du profil d’aile oat15a

Les champs instantanés relevés à différents instants montrent l’oscillation de l’onde de choc sur l’extrados du profil d’aile oat15a et l’évolution temporelle des différentes grandeurs de l’écoulement. Le nombre de Mach instantané est représenté (Fig. 5.24), les tensions résiduelles sont représentées (Fig.5.25–5.31) et le taux de dissipation modifié de l’énergie cinétique turbulente non-résolue est représenté (Fig. 5.32). Afin de rendre cette oscillation plus visible, les instantanés ont été capturés pour les conditions d’entrée M_∞comp = 0.743, et

aoacomp = 4.30 deg car l’amplitude du mouvement de l’onde de choc est importante. Pour chaque grandeur,

huit instantanées ont été enregistrés sur une période de buffet transsonique.

Nous avons les mêmes constatations pour le nombre de Mach instantané, l’ensemble des tensions résiduelles, l’énergie cinétique turbulente non-résolue et pour son taux de dissipation (Fig.5.24–5.32). La premier instantané correspond à la position la plus aval de l’onde de choc. Des grosses structures turbulentes se forment dans le sillage du bord de fuite. Ces structures se propagent jusqu’en amont du décollement à mesure que l’onde de choc remonte en amont de l’écoulement. Le décollement est le plus intense lorsque l’onde de choc s’approche de sa position maximale amont. Une fois cette position atteinte, la production d’énergie cinétique turbulente résolue dans la zone d’interaction onde de choc/couche limite turbulente diminue fortement et l’onde de choc redescend vers le bord de fuite. En fonction des périodes de buffet, on observe souvent que la diminution d’intensité du décollement est rapide et intervient en grande partie avant la descente de l’onde de choc vers le bord de fuite. Notons que les structures turbulentes dans le décollement et le sillage du bord de fuite sont non-périodiques et ne sont donc pas le résultat d’une instabilité du schéma numérique.

4 Analyse spectrale temporelle et reconstruction

L’enregistrement de la solution instantanée du calcul pans–rsm à différents instants nous a permis d’effectuer une analyse spectrale temporelle de l’écoulement autour du profil d’aile oat15a. La projection de la solution dans l’espace spectral temporel est préférée à la projection de la solution dans l’espace spectral spatial car le domaine de calcul Ω est borné. L’étude est réalisée sur le champ de pression statique filtrée ¯p afin d’observer les propriétés acoustiques de l’écoulement. La transformée de Fourier temporelle discrète est effectuée sur toutes les cellules du maillage:

¨ ¯ p(~x, k) = ¹ Ns Ns X n=1 ¯ p(~x, ((n − n0)∆t + t0)e^−2iπnNs^k (5.24)

où ¨Φ est la transformée de Fourier temporelle, k le nombre d’onde et Nsle nombre d’échantillons, n l’indice de l’itération, n0 l’indice de l’itération de la première mesure et t0 le temps au moment de la première mesure. Les champs du module de la transformée de Fourier de la pression statique filtré ¨p sont représentés (Fig. 5.33)¯ pour quatre modes temporels. Le module de la transformée de Fourier de la pression filtrée permet d’identifier, pour différentes fréquences, les zones où le contenu spectral est important.

Les quatre modes représentés montrent les différentes zones de production des ondes acoustiques. Le nombre d’échantillons Nset la fréquence d’échantillonage fene permettent pas de calculer de mode à la fréquence exacte du buffet transsonique. Le mode le plus proche est à la fréquence 68 Hz. Proche de la fréquence du buffet, la valeur absolue de la transformée de Fourier de la pression |¨¯p| est importante dans le zone de mouvement de l’onde de choc et dans le décollement car sa taille dépend de la position de l’onde de choc. Dans la gamme des fréquences [100; 1800] Hz environ, la valeur de |¨¯p| devient plus faible dans le décollement mais reste importante dans la zone de mouvement de l’onde de choc et traduit l’oscillation non sinuso¨ıdale de l’onde de choc c’est-à-dire que l’amplitude varie fortement contrairement à la fréquence. Les fréquences des structures turbulentes dans le décollement couvrent tout le spectre mesuré. Les structures turbulentes générées au niveau du sillage sont situées dans une gamme de fréquence plutôt élevée [1800; 10000] Hz.

Le champ de la solution est ensuite reconstruit à différentes fréquences afin de déterminer le sens de prop-agation des ondes de pression. La reconstruction d’un mode temporel est réalisée à partir de la transformée inverse de de Fourier: ¯ p(~x, t) = ¨p(~x, k¯ r)e^2iπ^t−t0∆t kr Ns; kr= ^f^r^N^s fe ; kr∈ [0;^N₂^s] (5.25)

5. INFLUENCE DU PARAM `ETRE DE CONTR ˆOLE RFPANS 109 f = 68 Hz f = 1000 Hz f = 500 Hz f = 6000 Hz |¨¯p| (Pa) 0 1.6 × 10−5 |¨¯p| (Pa) 0 2.3 × 10−5 |¨¯p| (Pa) 0 4.5 × 10−6 |¨¯p| (Pa) 0 8.7 × 10−5 M_∞COMP= 0.750 AoACOMP= 5.00 deg

Figure 5.33: Cartographies du module de 4 modes temporels de la pression filtr´ee ¯p autour du profil d’aile

oat15a (M_∞comp = 0.750, aoacomp = 5.00 deg, Reχ = 3 × 106) obtenues avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm (rfpans = 0.75) avec le maillage Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33 et ∆t = 5 × 10−6(Tab. 3.1) calculés avec Ns= 2042 instants mesurés à la fréquence d’échantillonnage fe= 20 kHz.

où krest le mode de reconstruction frla fréquence du mode de reconstruction et fela fréquence d’échantillonage. La figure (Fig. 5.34) montre un instantané pour chacun des modes temporels de la figure (Fig. 5.33).

Etant donné que le mode à 68 Hz ne correspond pas exactement à la fréquence du buffet transsonique, la reconstruction ne permet pas de retrouver la forme de l’onde de choc mais deux pics dans la zone de mouvement de l’onde de choc. Nous n’observons pas d’ondes acoustiques propagées à la fréquence du buffet. Toutes les ondes acoustiques générées à partir de la zone d’interaction onde de choc/couche limite turbulente et du sillage se propagent vers le bord de fuite. Les ondes acoustiques dans la zone de mouvement du sommet de l’onde de choc se propagent vers l’amont de l’écoulement. Nous n’observons pas de rétropropagation depuis le bord de fuite vers l’onde de choc comme suggéré par Lee [179]. Cependant des ondes de très faibles amplitudes (environ 8 Pa) se propagent depuis le haut du décollement vers le haut de l’onde de choc en faisant un angle d’environs 45 degrés avec la corde (Fig. 5.35). Nous avons observé ces petites perturbations à une fréquence de 500 Hz. Il est possible que de telles ondes acoustiques se rétropropagent à d’autres fréquences et à des amplitudes plus importantes et une étude plus approfondie de la reconstruction de chaque mode est nécessaire. Notons que le faible nombre d’échantillons Ns et l’utilisation d’une transformée de Fourier discrète (plutôt que continue) peuvent restreindre la visibilité de ces ondes acoustiques rétropropagées.

5 Influence du param`etre de contrˆole r

fpans

Le paramètre rfpans contrôle les tensions résiduelles et donc la quantité d’énergie cinétique turbulente résolue (cf. chapitre 4). Concernant l’écoulement autour du profil d’aile oat15a nous avons constaté que lorsque le paramètre de contrôle rfpans = 0, les tensions résiduelles tendent à zéro. Le calcul correspond alors à une dns fortement sous-résolue puisque le maillage est insuffisant, en particulier dans les directions transversale et longitudinale. Nous constatons que lorsque le paramètre rfpans = 1, toute l’énergie cinétique turbulente est

Reconstruction àf = 68 Hz Reconstruction àf = 1000 Hz Reconstruction àf = 500 Hz Reconstruction àf = 6000 Hz ¯ p (Pa) −1851 772 ¯ p (Pa) −318 314 ¯ p (Pa) −94 109 ¯ p (Pa) −73 63

M_∞COMP= 0.750 AoACOMP= 5.00 deg

Figure 5.34: Cartographies des instantanés de la reconstruction de la pression filtrée ¯p pour 4 modes temporels autour du profil d’aile oat15a (M_∞comp = 0.750, aoacomp = 5.00 deg, Reχ= 3 × 106) obtenues avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm (rfpans = 0.75) avec le maillage Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33 et ∆t = 5 × 10−6 (Tab. 3.1) calculés avec Ns = 2042 instants mesurés à la fréquence d’échantillonnage fe = 20 kHz.

Reconstruction `af = 500 Hz

¯

p (Pa)

−4 4

❅

■

^M^∞COMP = 0.750 AoA_COMP = 5.00 deg

Figure 5.35: Zoom de la cartographie de l’instantanée de la reconstruction de la pression filtrée ¯p à f = 500 Hz autour du profil d’aile oat15a (M_∞comp = 0.750, aoacomp = 5.00 deg, Reχ= 3 × 106) obtenue avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm (rfpans = 0.75) avec le maillage Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33 et ∆t = 5 × 10⁻⁶ (Tab. 3.1) calculés avec Ns = 2042 instants mesurés à la fréquence d’échantillonnage fe = 20 kHz.

modélisée et l’onde de choc est donc stationnaire. Ce résultat est parfaitement cohérent avec notre modèle de sous-maille. Nous retrouvons bien une solution moyennée proche de celle obtenue avec le modèle statistique

5. INFLUENCE DU PARAM ÈTRE DE CONTR ÔLE RFPANS 111 rans–rsm lorsque 100% de l’énergie cinétique turbulente est modélisée (soit rfpans = 1). En effet, les coefficients de pression pariétaux moyennés hCpi sont confondues (Fig. 6.5). Bien que l’onde de choc soit stationnaire nous remarquons un faible pic de la corrélation double de pression p′

rms au niveau de l’onde de choc dû aux légères perturbations de pression dans le régime transitoire (depuis l’initialisation avec le calcul rans-rsm 2d). Nous constatons également que les structures turbulentes résolues dans le sillage du bord de fuite prennent du temps à s’atténuer (des structures sont toujours résolues après un temps de calcul correspondant à trois périodes de buffet transsonique). Les premières simulations du buffet transsonique ont été réalisées avec les conditions d’entrées (M_∞_comp = 0.750; aoacomp= 5.00 deg). L’amplitude du mouvement de l’onde de choc est plus grande avec l’angle d’attaque aoacomp= 5.00 deg qu’avec les angles d’attaques expérimentaux aoaexp∈ {3.50; 3.90} deg. Dans ces conditions les contraintes numériques sur le pas de temps ∆t et le paramètre de contrôle rfpans pour obtenir le buffet transsonique sont moins importantes. Les calculs ont été effectués pour trois valeurs du paramètre de contrôle rfpans ∈ {0.40; 0.75; 1.00}.

r

fpans

= 0.40 r

fpans

= 0.75

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 t(s) ^✲ t(s) ^✲ hc^L iz ✻

M_∞COMP= 0.750 AoA_COMP= 5.00 deg

Figure 5.36: Profils du coefficient de portance moyenné dans la direction transversale hcLiz autour du profil oat15a avec la condition d’entrée (M_∞_comp = 0.750; aoacomp= 5.00 deg) et le pas de temps ∆t = 5×10−6s avec différents paramètres de contrôle rfpans ∈ {0.40; 0.75} calculés avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm avec le maillage Ni× Nj× Nk= 401 × 321 × 33 (Tab. 3.1) et le pas de temps ∆t = 5 × 10−6 s.

La simulation avec le param`etre rfpans = 0.40 ne permet pas d’obtenir un mouvement r´egulier et

auto-entretenu de l’onde de choc (Fig. 5.36) car une quantité insuffisante d’énergie cinétique turbulente est modélisée. Un plus grand nombre de structures turbulentes est résolu (Fig. 5.39). Néanmoins, la quantité d’énergie cinétique turbulente modélisée dans la zone d’interaction onde de choc/couche limite turbulente ne permet pas de faire émerger une instationnarité basse fréquence de l’onde de choc. Nous constatons que l’onde de choc à une forme lambda très prononcée ce qui n’est pas le cas lorsque le paramètre rfpans = 0.75. La partie inférieure de l’onde de choc est constituée de deux branches dont la largeur correspond approximativement à la zone de mouvement de l’onde de choc obtenue avec le paramètre de contrôle rfpans = 0.75.

En outre, lorsque le paramètre rfpans = 0.40, les tensions résiduelles sont atténuées dans le décollement. Bien qu’une partie des corrélations turbulentes soit résolue dans le décollement en aval de l’atténuation des tensions résiduelles, le décollement n’est pas suffisamment important (Fig. 5.39) pour permettre son couplage avec la position de l’onde de choc et le déclenchement du buffet transsonique.

Le coefficient de pression pariétale moyenné hCpi et la corrélation double de pression p′

rms sur l’extrados du profil d’aile oat15a (Fig. 6.5) montrent que l’amplitude du mouvement de l’onde de choc obtenue avec le paramètre rfpans = 0.75 est plus importante que l’expérience. En effet l’angle d’attaque expérimental est plus faible que celui du calcul. Nous constatons cependant que la position la plus en aval de l’onde de choc co¨ıncide avec l’expérience. Cette position semble être indépendante de l’angle d’attaque (suffisamment loin de l’angle d’attaque de déclenchement du buffet).

Bien que le mouvement du buffet transsonique ne soit pas observé lorsque le paramètre de contrôle rfpans = 0.40, des perturbations de pression de fréquences plus élevées sont présentes au niveau de la forme lambda de

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2000 4000 6000 8000 10000 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x/χ ✲ x/χ ✲ hC p i ❄ ^p ′ r^m s (P a ) ✻

pans–rsm r_f_pans= 0.40 pans–rsm r_f_pans= 0.75 pans–rsm r_f_pans= 1.00 rans glvy-rsm

AoAexp= 3.00 deg AoAexp= 3.50 deg AoAexp= 3.90 deg AoA_comp= 5.00 deg; M_∞_comp= 0.750:

experiment Jacquin et al. M_∞_exp= 0.730:

Figure 5.37: Profils du coefficient de pression pari´etale moyen hCpi autour du profil d’aile oat15a et de la corr´elation double de pression p′

rmssur l’extrados du profil d’aile oat15a calculés avec différents paramètres de contrôle rfpans ∈ {0.40; 0.75} en utilisant l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm avec le maillage Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33 (Tab. 3.1) et le pas de temps ∆t = 5 × 10−6 s, et mesurés [148].

rfPANS= 0.40 rfPANS= 0.75 ˘ M 0 1.40 ku(m2s−2₎ 0 2845 ˘ M 0 1.40 ku(m2s−2₎ 0 3800

M_∞COMP= 0.750 AoACOMP= 5.00 deg

Figure 5.38: Cartographies du nombre de Mach instantané ˘M et de l’énergie cinétique turbulente non-résolue in-stantanée kuautour du profil d’aile oat15a (M_∞_comp = 0.750, aoacomp= 5.00 deg, Reχ= 3×106) obtenues avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm pour différents paramètres de contrôle rfpans ∈ {0.40; 0.75} avec le maillage Ni× Nj× Nk= 401 × 321 × 33 et le pas de temps ∆t = 2 × 10−6(Tab. 3.1).

5. INFLUENCE DU PARAM `ETRE DE CONTR ˆOLE RFPANS 113 rfPANS= 0.40 rfPANS= 0.75 ˆ M 0 1.40 k (m2s−2₎ 0 16200 ˆ M 0 1.40 k (m2s−2₎ 0 20000

M_∞COMP= 0.750 AoACOMP= 5.00 deg

Figure 5.39: Cartographies du nombre de Mach moyenné ˆM et de l’énergie cinétique turbulente k autour du

profil d’aile oat15a (M_∞comp = 0.750, aoacomp = 5.00 deg, Reχ = 3 × 106) obtenues avec l’approche les et le modèle de sous-maille pans-rsm pour différents paramètres de contrôle rfpans ∈ {0.40; 0.75} avec le maillage Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33 et le pas de temps ∆t = 2 × 10−6 (Tab. 3.1).

l’onde de choc et forme un pic de corr´elation double de pression p′

rms. La position la plus en amont de l’onde de choc obtenue lorsque le paramètre de contrôle rfpans = 0.75 est confondue avec la partie amont du pic de corrélation double de pression p′

rms obtenue lorsque le paramètre de contrôle rfpans = 0.40. Le coefficient de pression pariétale moyenné hCpi obtenue avec le paramètre de contrôle rfpans = 0.40 montre que le gradient de pression à travers l’onde de choc est plus faible qu’avec l’approche statistique rans–rsm. En outre, nous observons qu’un second plateau de pression se forme au niveau de la forme lambda de l’onde. Le gradient de pression de la branche la plus avale de l’onde de choc n’est pas visible car il est relativement faible et lissé par les perturbations de pression.

Finalement nous constatons que le maillage spatio-temporel n’est pas suffisamment fin pour pouvoir fixer le paramètre de contrôle à rfpans = 0.40. Différents essais (non reportés ici) confirme que le paramètre de contrôle rfpans = 0.75 est le plus adapté au maillage spatial utilisé (Ni× Nj× Nk = 401 × 321 × 33).

Chapitre 6

Conclusion et perspectives

1 Conclusion

Dans le chapitre 2, les équations exactes de la turbulence sont décrites dans les cas d’une approche statistique rans et d’une approche filtrée les. Le modèle statistique développé par Gerolymos-Lo-Vallet-Younis [96] est détaillé et appliqué au cas d’un écoulement transsonique autour des profils d’aile oat15a et naca0012 dans le chapitre 3. Un état de l’art des approches hybrides rans/les est proposé puis le modèle de sous-maille à sept équations de transport développé pendant cette étude est décrit dans le chapitre 4. Enfin, le cas du buffet transsonique autour du profil d’aile oat15a simulé avec l’approche hybride rans/les proposée est analysé au chapitre 5.

Nous proposons de ne pas construire une théorie du filtrage basée sur les théories d’analyse du signal (noyau de filtre, analyse spectrale) et sur l’application d’un filtrage explicite. Nous préférons considérer le champ de la solution effectivement résolue comme la solution filtrée et faire des hypothèses sur l’opération de filtrage implicite réalisée par la résolution numérique des équations de Navier-Stokes filtrées couplées avec le modèle de sous-maille. L’établissement des équations de Navier-Stokes filtrées, des équations de transport des tensions résiduelles exactes et du taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente non-résolue montre que construire des modèles de sous-maille hybrides à la manière des fermetures statistiques est pertinent. En effet, lorsque qu’aucune énergie cinétique turbulente n’est résolue, le modèle de sous-maille se comporte comme un modèle statistique.

Afin de montrer le potentiel de prédictibilité d’une fermeture du second ordre par rapport à une fermeture basée sur l’hypothèse de Boussinesq, une étude comparative a été menée sur les écoulements transsoniques autour de profils d’aile oat15a et naca0012. Les résultats de l’approche statistique avant le déclenchement du buffet transsonique montrent que le modèle du second ordre utilisé donne systématiquement de meilleurs résultats que le modèle à deux équations de transport k − ε∗ de Launder et Sharma [175]. Il est nécessaire de calibrer les conditions d’entrées afin d’obtenir le positionnement correct de l’onde de choc sur l’extrados. Le modèle statistique du second ordre nécessite une calibration moins importante que le modèle statistique à deux équations de transport. La hauteur du plateau de pression hCpi sur l’extrados et la position de l’onde de choc sont les deux paramètres cibles qui ont été identifiés afin de proposer le calibrage automatique des conditions d’entrées dans le cas du profil d’aile oat15a. Les conditions d’entrée sont alors déterminées par la résolution d’un système à deux équations sur l’angle d’attaque aoacompet le nombre de Mach M_∞_comp permettant d’obtenir les positions expérimentales de l’onde de choc et du plateau de pression hCpi avec une erreur d’environ 2%.

Les différentes approches hybrides rans/les détaillées montrent l’évolution de la construction du terme de contrôle de l’énergie cinétique turbulente non-résolue. Alors que les premières méthodes consistaient à multiplier les tensions résiduelles par une fonction de contrôle, les méthodes récentes plus évoluées utilisent la dissipation de l’énergie cinétique turbulente non-résolue ou la destruction de la dissipation de l’énergie cinétique turbulente non-résolue pour contrôler la partie modélisée de l’énergie cinétique turbulente. L’approche développée hérite de l’approche pans proposée par Girimaji en 2003 et est étendue à un modèle du second ordre. En effet, le terme de destruction de la dissipation de l’énergie cinétique turbulente est multiplié par une fonction de contrôle.

Les différents modèles hybrides rans/les de la littérature ainsi que le modèle proposé mettent en évidence des problématiques communes car la partie résolue des grandeurs de l’écoulement et des corrélations filtrées

dépendent du maillage et des méthodes numériques si celles-ci ne sont pas d’ordre suffisamment élevé. L’utilisation de méthodes numériques d’ordre élevé permet de réduire leur influence mais la connaissance a priori de la ca-pacité de résolution d’un maillage donné reste inaccessible et il n’est pas possible d’utiliser les résultats dns pour construire a priori les fermetures de sous-mailles. Les stratégies de contrôle de la fraction d’énergie cinétique turbulente non-résolue sur totale sont empiriques et changent d’une approche à l’autre. Des fonctions de contrôle dépendent de la topologie du maillage pour forcer le comportement rans du modèle de sous-maille dans les zones où il est nécessaire de raffiner le maillage pour résoudre les petites structures turbulentes. Ce couplage direct entre le modèle de sous-maille et le maillage apporte des contraintes supplémentaires sur sa génération.

Dans le document Prédiction du phénomène de tremblement sur un profil d’aile avec une approche LES de type PANS-RSM (Page 115-123)