Une carte topologique [Fio95, Bru96, Dam01, BDM03, DBF04] combine trois modèles distincts pour représenter complètement une partition :
– une carte combinatoire pour représenter les relations d’adjacence entre les régions ;
– un modèle géométrique pour le codage de la forme des frontières des régions ;
– une structure de données pour les relations d’imbrication entre les régions. Ces trois modèles sont illustrés dans la Figure 1.21 et détaillés ci-dessous.
Carte combinatoire
Comme illustré dans la Figure1.21(b), une 2-carte décrit les relations d’ad- jacence entre les régions grâce aux opérateurs β1 et β2. La carte combinatoire d’une carte topologique est minimale en nombre d’éléments afin que chaque arête de la carte corresponde exactement à une frontière dans l’image. En pratique, une carte minimale ne contient aucun sommet supprimable de degré 1 ou 2. Afin de lier les modèles géométriques et topologiques, les brins et les régions sont reliés entre eux : chaque brin connaît sa région d’appartenance et une région connaît un de ses brins, appelé brin représentant et noté (rep(r)).
(a) (b)
(c) (d)
Figure 1.21 – Cartes topologiques : trois modèles complémentaires pour la représentation de partitions. (a) Partition ; (b) Carte combinatoire pour les relations d’adjacence. Les brins en pointillés sont ceux de la région infinie ;
(c) Matrice d’éléments interpixel pour la géométrie : pointels et lignels sont représentés par des cercles et des segments en gras ;(d) Arbre des régions pour les relations d’imbrication.
Frontières des régions
Toutes les cellules d’une 2-carte sont associées à leurs éléments géomé- triques correspondants dans la matrice des éléments interpixel. La notion de
plongement est employée lorsqu’une information géométrique est associée à un
élément topologique. Considérons un brin b appartenant à un sommet s, une arête a et une face f :
– le cycle (β1◦ β2)∗(b) correspond au sommet s. Puisque le plongement de chaque nœud correspond à un pointel, nous définissons cette association par une fonction pointel de B dans l’ensemble des labels des pointels. Nous appelons p le premier pointel d’un brin b si pointel(b) = p ;
– le cycle β2∗(b) correspond à l’arête a associée à un segment non-orienté et chacun des deux brins du cycle β2∗ représente une des deux orientations. Le plongement d’un brin est donc un segment orienté dont le premier lignel (resp. pointel) est noté lignel(b) (resp. pointel(b)).
par quatre valeurs {x, -x, y, -y} indiquant la position du lignel par rapport au pointel. En pratique, la mise en relation entre un brin et son plongement est effectuée par une fonction doublet définissant l’orientation initiale du segment orienté associé au brin (Définition 32).
Définition 32 (Doublet d’un brin). Le doublet d’un brin b, noté doublet(b),
est un triplet (i, j, l) où :
– (i, j) sont les coordonnées entières de pointel(b) ;
– l ∈ {x, -x, y, -y} désigne la direction de lignel(b) par rapport aux coordonnées du pointel (i, j).
À titre d’exemple, les doublets des brins 1 et 2 de la Figure 1.21(b)valent respectivement (6,4,-x) et (1,4,-y) dans la Figure1.21(c). Nous appelons arête
élémentaire une arête dont le plongement est un unique lignel. Une arête
élémentaire est ainsi codée par deux brins élémentaires. Enfin, une région
élémentaire est une région composée de 4 brins et encodant un unique pixel de
l’image.
Arbre des régions
L’arbre des régions décrit les relations d’imbrication entre les régions. Il est nécessaire d’utiliser une structure externe car ces relations ne sont pas directement accessibles dans le modèle de carte combinatoire (Section1.3.3) : lorsqu’une région est imbriquée dans une autre, les opérateurs β1 et β2 ne permettent pas de passer d’un brin de la région englobante à un brin de la région imbriquée. Notre modèle de carte topologique utilise un arbre des régions (appelé arbre d’imbrication) pour représenter ces relations. Chaque nœud de l’arbre est une région et les arêtes indiquent une relation d’imbrication. Notons que la racine de l’arbre correspond à la région infinie (Section 1.1.4). De cette façon, chaque région r connaît sa région englobante (notée père(r)). Inversement, les régions imbriquées dans r sont notées fils(r).
(a) (b) (c) (d)
Figure 1.22 – Simplifications progressives d’une carte combinatoire.
(a) Partition ; (b) Niveau 0 : carte complète ; (c) Niveau 1 : carte lignel ;
(d) Niveau 2 : carte topologique.
Terminologie
Un sous-ensemble de brins B deB est dit symétrique si ∀b ∈ B, β2(b)∈ B. Soit une arête a et b un brin incident à a. Nous qualifions a de boucle si β1(b) = b et d’arête pendante si β1(b) = β2(b). Nous différencions également les notions de bord externe et de bord interne à une région : un bord interne d’une région
r correspond à une frontière entre r et une région imbriquée dans r. Toute
frontière de r n’étant pas un bord interne est un bord externe. Par convention, le brin représentant d’une région est toujours choisi sur son bord externe.
Niveaux de simplification
La carte topologique est définie au travers de trois niveaux de représenta- tion, allant du plus complet au plus simple (en termes de nombre de brins et de régions) par simplifications successives :
– le niveau 0 ou carte complète (Figure1.22(b)). Il s’agit du niveau maximal de représentation : à chaque pixel correspond une région composée de quatre brins. En comptant la région infinie, la carte associée à une image de taille (m× n) contient (m × n) + 1 faces ;
– le niveau 1 ou carte lignel (Figure 1.22(c)). Le premier niveau de simplification s’obtient par suppression des arêtes séparant deux régions adjacentes dont les pixels ont le même label. Le résultat obtenu représente les frontières par des arêtes composées de brins dont le plongement est un unique lignel ;
– le niveau 2 ou carte topologique (Figure 1.22(d)) s’obtient après sup- pression des sommets supprimables de degré 2. La carte obtenue est alors minimale en nombre de brins. Cette propriété de minimalité est importante pour la généralisation du modèle en dimension supérieure et pour diminuer la complexité des opérations (garantissant l’efficacité du modèle).
Différentes implantations
Différentes implantations des trois modèles composant une carte topolo- gique ont été proposées [Fio95, MK05, MAM04]. Nous pouvons notamment distinguer :
– Le graphe topologique des frontières (ou TGF) est un modèle dont la particularité est d’intégrer explicitement la notion de région [Fio95, Fio96]. La structure de données relative aux imbrications est ainsi directement codée dans le modèle de carte combinatoire (Section1.3.3) : chaque région conserve la liste de ses frontières en différenciant bords extérieurs et bords intérieurs (relations d’imbrication). Un algorithme d’extraction optimal ainsi qu’une opération de fusion de régions [AFG99] ont été proposés pour le modèle.
– Le modèle de GeoMap [MK05] représente par une même structure la topologie et la géométrie à l’aide d’un modèle dérivé de cartes combinatoires, les XPMap [Kot02]. Ce modèle est utilisé en segmentation et propose plusieurs outils interactifs de haut niveau basés sur le contour des régions. Une implantation différente du modèle géométrique, basée sur une subdivision sous-pixel permet essentiellement d’obtenir des résultats géométriques plus précis [MK06].
– Une implantation du modèle de carte topologique, proposée par Marcha- dier et al. [MAM04], a la particularité de ne pas utiliser les complexes cellulaires abstraits et les éléments interpixel pour représenter la géomé- trie. La construction de la carte est en effet basée sur une grille carrée obtenue depuis une transformation par ligne de partage des eaux. – Une définition équivalente des cartes combinatoires proposées par Cori
[Cor75] préfère utiliser les opérateurs σ = β1 ◦ β2 et α = β2 pour désigner respectivement la permutation sur les brins d’un même sommet et sur les brins d’une même arête [Dom92, Bru96]. Ce modèle code les relations d’imbrication des régions par des relations père/fils entre régions englobantes et régions imbriquées. Il permet également de mettre à jour efficacement la carte par des opérations incrémentales.
Table1.1 – Tableau récapitulatif des différentes associations et terminologies entre les éléments des trois modèles composant une carte topologique.
frontières plongement 2-carte cycle
interpixel géométrique
nœud pointel sommet (β1◦ β2)∗
segment séquence alternée arête β2∗
de pointels et lignels
région ensemble ouvert face β1∗
4-connexe de pixels
segment chemin frontière brin Id.
orienté orienté
Bilan
Le modèle de carte topologique présente plusieurs avantages. Tout d’abord, la carte combinatoire permet de représenter les relations d’adjacence et de multi-adjacence entre les régions à l’aide d’un ensemble minimal de brins et de deux permutations β1 et β2. Les relations d’imbrication sont également accessibles grâce à l’arbre d’imbrication des régions. Le modèle représente donc toutes les relations topologiques d’une partition. De plus, le plongement des brins dans une structure géométrique comme la matrice des éléments interpixel permet d’associer facilement le modèle topologique (carte combinatoire) à la géométrie de la partition. Étant donné un brin b, il est par exemple possible de parcourir géométriquement le chemin frontière orienté qui lui est associé. Enfin, les cycles permettent de retrouver efficacement les éléments de la partition comme les sommets, les arêtes et les faces. Le modèle de carte topologique offre ainsi une représentation complète de la partition d’une image. Le modèle est de plus généralisable en dimension supérieure (cartes 3D, cartes généralisées). Un récapitulatif des associations et correspondances entre les représen- tations géométriques et topologiques est proposé Tableau 1.1 permettant de mettre en évidence les liens entre les éléments d’une partition et leur notation dans les différentes structures.