Cartes combinatoires

Les relations d’adjacence et d’imbrication entre les régions d’une partition constituent la description topologique5 _{d’une image dans la mesure où ces} relations ne sont pas liées à des contraintes géométriques comme la forme des frontières de ces régions.

Les premiers travaux définissant le concept de carte proviennent d’Ed- monds introduisant les premiers modèles relationnels avec les graphes pla- naires [Edm60]. De nombreux travaux ont ensuite développé cette structure de données comme [Tut63, Jac70, Cor75] pour décrire les relations topologiques

(a) (b) (c) (d)

Figure1.17 – Construction de l’ensembleB des brins d’une carte combinatoire en dimension 2 par décompositions successives. (a) Image ; (b) Décomposition des régions ;(c) Décomposition des arêtes ; (d) Ensemble des brins.

entre les régions. Ces travaux ont ainsi conduit au modèle de carte combinatoire 2D.

En dimension n, la définition du modèle proposée par Lienhardt permet de représenter les quasi-variétés orientables (Section1.1.2) de dimension n [Lie89]. Une généralisation des cartes combinatoires a également été proposée par Lienhardt afin de représenter les quasi-variétés en dimension n, orientables ou non [Lie91, Lie94].

Contrairement à la représentation interpixel (Section 1.2.3), une carte combinatoire en dimension 2 (ou 2-carte) représente les relations d’adja- cence entre les régions. Par rapport à un graphe d’adjacence des régions (Section 1.3.1), une 2-carte permet de représenter les multi-adjacences. En revanche, les relations d’imbrication ne sont pas directement représentées dans une carte combinatoire. Il est néanmoins possible de les retrouver au moyen d’un algorithme global partant de la région infinie ou en utilisant la géométrie. Ensemble de brins

Les cartes combinatoires introduisent des éléments abstraits appelés brins pour représenter les frontières des régions. Intuitivement, en dimension 2, un brin correspond à un segment orienté ou à une demi-arête [Wei85]. À chaque brin est associé un unique nœud, un unique segment et une unique région. L’ensemble B des brins qui composent une 2-carte peut se concevoir comme l’ensemble des éléments de base résultant d’une décomposition des objets d’une image. La Figure 1.17 illustre les différentes étapes de cette décomposition : l’ensemble B est obtenu après décomposition des régions et des arêtes d’une image. Chaque brin est représenté par une flèche indiquant l’orientation du segment orienté associé.

Figure 1.18 – Cartes combinatoires : un modèle topologique pour la représentation des multi-adjacences entre les régions d’une image. (a) Image ;

(b)2-carte : les flèches représentent les brins (segments orientés), les opérateurs

β₁ et β₂ sont respectivement représentés par des arcs de cercle et des segments ;

(c) Relations explicites des β₁ et β₂.

Opérateurs β₁ et β₂

Les relations d’adjacence entre les régions sont décrites par deux opérateurs

β₁et β₂s’appliquant deB dans B. Une 2-carte s’apparente à un graphe planaire où les deux opérateurs β_i définissent les relations entre les demi-arêtes. En pratique, β₁ est une permutation qui génère une orientation sur le bord d’une face en imposant un ordre cyclique anti-trigonométrique6 _{sur l’ensemble des} segments orientés définissant une face. L’involution β₂ met en relation deux brins appartenant à une même arête, représentant une relation d’adjacence entre deux régions distinctes. Pour des raisons pratiques, nous introduisons l’opérateur β₀ tel que β₀ = β₁−1. Deux brins b et b vérifiant b = β_i(b) sont dits

cousus par β_i ou i-cousus. Enfin, la composition des opérateurs β_i et β_j est notée par β_i◦ β_j = β_ji.

Définition 27 (Carte combinatoire de dimension 2). Une carte combinatoire

2D (ou 2-carte) est un triplet C = (B, β₁, β₂) où :

– B est un ensemble fini de brins ; – β₁ est une permutation7 _{sur B ;}

– β₂ est une involution8 _{sur B.}

6. Le modèle n’est pas dépendant d’une orientation précise mais nous choisissons arbitrairement cette orientation pour des raisons de cohérence entre les différentes illustrations.

7. Une permutation sur un ensemble E est une bijection de E sur E.

Cycles

Les modèles à base de carte représentent une partition par un ensemble fini d’éléments de base (les brins) et un ensemble de permutations sur ces brins. Puisque les éléments de la partition comme les sommets, les arêtes et les faces ne sont pas directement représentés (par exemple, une arête est composée de deux brins), la notion de cycle permet de caractériser des sous-ensembles de brins représentant les objets de la partition comme les sommets, les arêtes et les faces. En 2D, un cycle correspond en pratique à une séquence de brins ordonnée et associée à une permutation (Définition 28).

Définition 28 (Cycle). SoitB un ensemble fini de brins et π une permutation.

Le π-cycle d’un brin b est défini comme la restriction de π à l’ensemble des images de b par les itérations successives de π. Le π-cycle d’un brin b est lui- même une permutation notée π∗(b) = (b₀, . . . , b_n−1) avec :

– ∀i ∈ {0, . . . , n − 1}, b_i = πi_{(b) et b}

i = b0;

– πn_{(b) = b.}

Pour une carte combinatoire C = (B, β₁, β₂), chaque brin appartient à une face et donc à un unique cycle de β₁ caractérisant cette face. De la même façon, un brin appartient à un unique cycle de β₂ caractérisant l’arête correspondante. Enfin, les sommets correspondent aux cycles de β₁◦ β₂. Par exemple, dans la Figure 1.18(b) :

– le cycle (β₁ ◦ β₂)∗(2) = (2, 6, 8) définit l’ensemble des brins incidents au sommet résultant de l’intersection des arêtes{2, 5}, {6, 7}, {8, 1} ; – le cycle β₂∗(2) = (2, 5) décrit l’arête séparant la face carrée et la face

triangulaire ;

– le cycle β₁∗(1) = (1, 2, 3, 4) décrit la face carrée.

La notion de cycle se généralise à un ensemble de permutations par la notion d’orbite [Lie94]. Nous nous en servons pour caractériser certains sous-ensembles de brins à partir des opérateurs β_i (Définition 29).

Définition 29 (Orbite). Soit Φ = {π₁, . . . , π_k} un ensemble fini de permuta- tions sur B. Le groupe de permutations généré par Φ est noté Φ. Il s’agit de l’ensemble des permutations obtenues par toutes compositions des permutations contenues dans Φ et de leurs inverses. L’orbite d’un brin b par rapport à Φ est définie par Φ(b) = {π(b) | π ∈ Φ}.

Par exemple, l’orbite composante connexe β₁, β₂(b) d’un brin b désigne

l’ensemble des brins appartenant à la composante connexe de b. Notons qu’une orbite restreinte à une seule permutation correspond à l’espace de définition du cycle correspondant. Par définition, un brin b appartient simultanément à un

Figure 1.19 – Représentation des sommets, arêtes et faces dans une carte combinatoire par des cycles.(a)Image ;(b)Caractérisation des sommets par les cycles (β₁◦ β₂)∗. Nous pouvons distinguer quatre sommets : (2, 6, 8), (3, 7, 5), (4, 11, 10), (1, 9, 12) ; (c) Caractérisation des arêtes par les cycles β₂∗. Nous pouvons distinguer six arêtes : (1, 8), (2, 5), (3, 10), (4, 12), (6, 7), (9, 11) ;

(d)Caractérisation des faces par les cycles β₁∗. Nous pouvons distinguer quatre faces : la face triangulaire (5, 6), carrée (1, 2, 3, 4), le fond (7, 8, 9, 10) et la face infinie (11, 12).

seul cycle et une seule orbite définie par β₁, β₂et β₁◦β₂. De façon équivalente, un brin appartient à un seul sommet (orbiteβ₁◦ β₂), une seule arête (orbite β₂) et une seule face (orbiteβ₁). La Figure 1.19 synthétise l’ensemble des cycles de la carte combinatoire proposée Figure 1.19(a). Les cycles correspondant aux sommets, aux arêtes et aux faces sont respectivement représentés dans la Figure 1.19(b), dans la Figure1.19(c) et dans la Figure1.19(d).

Carte duale

Il est également intéressant de définir le dual d’une carte combinatoire pour faire l’analogie avec le modèle de graphes duaux. Ainsi, le dual d’une carte correspond à une carte combinatoire composée du même ensemble de brins et dont l’involution et la permutation sont définies à partir du β₁ et β₂ de la carte primale.

Définition 30 (Dual d’une carte combinatoire). Soit C = (B, β₁, β₂) une carte

combinatoire. Le dual de C, noté C correspond au triplet C = (B, β₁◦ β₂, β₂).

Nous pouvons remarquer que la propriété C = C est bien respectée. En effet, comme β₂ est une involution, β₁◦ β₂◦ β₂ = β₁.

(a) (b) (c)

Figure 1.20 – (a) Cartes généralisées : deux brins liés par α₀ sont dessinés consécutifs et alignés, deux brins liés par α₁ partagent un même disque, deux brins liés par α₂ sont dessinés parallèles ; (b) Relations explicites des trois involutions α₀, α₁ et α₂; (c) Carte combinatoire correspondante.

Cartes généralisées

Le modèle de cartes généralisées propose un formalisme homogène en dimension n de façon à représenter les quasi-variétés, orientables ou non, avec ou sans bord [Lie89,Lie91,Lie94]. En dimension 2, une approche intuitive de la construction d’une carte généralisée reprend le principe de construction d’une carte combinatoire par décompositions successives (Section 1.17) et rajoute une étape de décomposition d’une arête en ses deux sommets extrémités. De la sorte, le parcours d’une face ne nécessite plus l’utilisation d’une permutation. Une carte généralisée utilise en effet trois involutions α₀, α₁ et α₂ telles que :

– α₀ lie deux brins appartenant à la même face et à la même arête ; – α₁ lie deux brins appartenant à la même face et au même sommet ; – α₂ lie deux brins appartenant à la même arête et au même sommet. La Figure1.20 réutilise la même image de test utilisée Figure 1.18 pour les cartes combinatoires. Ainsi, nous pouvons comparer sur le même exemple le modèle de carte combinatoire (Figure 1.20(c)) et celui de la carte généralisée correspondante (Figure 1.20(a)). Dans cet exemple, l’involution α₀ relie deux brins partageant un même petit segment perpendiculaire à la direction de l’arête. Ces deux brins sont dessinés de façon consécutive et alignée (par exemple,α₀(1) = 2). L’involution α₁ met en correspondance deux brins partageant un même disque (par exemple, α₁(1) = 8). L’involution α₂ s’établit entre deux brins parallèles partageant un même petit segment perpendiculaire (par exemple, α₂(1) = 16). L’ensemble des relations α_i est donné par le

L’avantage des cartes généralisées vient de son formalisme qui est homogène quelle que soit la dimension considérée. Toutefois, lorsque l’application visée est restreinte à la représentation d’images de dimension 2, le modèle de carte combinatoire est à privilégier du point de vue de l’implantation. En effet, les deux modèles sont équivalents au niveau des relations topologiques qu’ils représentent mais le modèle de carte généralisée requiert deux fois plus de brins et une involution supplémentaire.