Para realização dos experimentos, consideraremos um procedimento de geração sintética de cartas de controle, utilizadas no processo de classificação. Para a obtenção de cartas de controle concorrentes (misturas) faz-se necessária a combinação linear de dois ou mais padrões descritos na literatura (Seção 1.2). Na literatura da área, há modelos matemáticos que representam cada um dos padrões discutidos. Esses modelos, que podem
o período, g o gradiente e s a magnitude de deslocamento. No presente estudo, assim como em [12], além dos parâmetros descritos na Tabela, foram definidos: N = 100, µ = 0,
σ = 1 e T = 16.
Tabela 3.1: Equações e parâmetros para geração automática de padrões.
Padrão Anômalo Equação Parâmetros
Cíclico xi(t) = µ + ri(t)σ + a sin(2πt/T ) a = 2σ
Sistemático xi(t) = µ + ri(t)σ + d(−1)t d = 2σ
Tendência crescente/decrescente xi(t) = µ + ri(t)σ ± tgσ g = 0.075σ
Deslocamento para cima/baixo xi(t) = µ + ri(t)σ ± sk
Se t > T /2,
k = 0. Senão, k = 1.s = 2σ
Geração de misturas lineares
Consideraremos um modelo no qual a mistura de padrões é obtido pela combinação linear de dois ou mais padrões distintos e escolhidos ao acaso. Esse tipo de mistura vem sendo assumido na literatura, e, de certo modo, supõe que as causas anormais em um processo de produção se sobrepõem de modo aditivo. Na prática é comum que os dados que compõem as cartas de controle concorrentes sofram com ruídos externos, não correlacionados ao comportamento anômalo em si. Esse termo de ruído pode representar, por exemplo, alguma limitação do modelo como a não incorporação de efeitos de memória do sistema, erros de medição em instrumentos, ou mesmo a existência de padrões anômalos não considerados na modelagem. Em termos matemáticos, este modelo generativo é dado por:
y = x1w1+ x2w2+ · · · + xnwn+ p, (3.1)
onde y representa a série da mistura linear resultante, xi um padrão anômalo de carta
intensidade do ruído pode ser quantificada pela razão sinal-ruído, acrônimo de signal-to-
noise ratio (SNR), que pode ser expressa em decibel (dB):
SN RdB = Psinal,dB− Pruido,dB, (3.2)
onde Psinal,dB é a potência média do sinal e Pruido,dB a potência média do ruído.
No presente trabalho, as misturas consideraram dois padrões anômalos distintos (n = 2) e escolhidos ao acaso dentre os seis descritos na literatura. Recapitulando, os padrões considerados anormais em cartas de controle, objetos de classificação foram: (1) tendência crescente, (2) tendência decrescente, (3) cíclico, (4) sistemático, (5) deslocamento para cima e (6) deslocamento para baixo.
Os pesos utilizados para a realização das misturas foram de 0,4 e 0,6. Logo, dado que os desvios de cada padrão são iguais, a escolha feita pelos pesos corresponde à situação que um dos padrões se sobressai ligeiramente sobre o outro na carta de controle. A SNR adotada para a geração de ruído foi de 25dB. Além disso, assim como em [11], as misturas de padrões tendência crescente/decrescente e deslocamento para cima/baixo foram ignoradas pois apontariam para o mesmo comportamento (ambiguidade), apenas com uma mudança de direção ou magnitude de deslocamento.
O seguinte algoritmo foi implementado para a geração de uma mistura linear aleatória:
Algoritmo 1: Gerador de mistura linear aleatória Entrada: n, w, N, SNR
Saída: y início
Gera {x1, . . . , xn} padrões, de tipos aleatórios e distintos, para compor a
mistura
Inicializa o vetor da mistura y de tamanho N e vazio
para i ← 1 até n faça y = y + xiwi
fim
Adiciona ruído Gaussiano branco aleatório em y com base em SNR
retorna y fim
As misturas passaram por um processo de normalização do tipo min-max. Tal como seria caso o sinal fosse obtido de outra fonte, cada mistura a ser classificada, já com
Por fim, a Figura 3.1 ilustra todo o processo: a geração de dois padrões distintos, uma mistura ruidosa baseada nos mesmos e a normalização dos dados.
Figura 3.1: Processo de mistura baseado em dois padrões anômalos.
Representação esparsa das misturas
Para obter uma série temporal capaz de representar esparsamente cada uma das cartas de controle observadas, foi utilizada abordagem de regressão esparsa via método LASSO. Conforme discutido na Seção 2.4, um dos desafios desta abordagem está na escolha de um dicionário de átomos e de um λ mais apropriado para o modelo de classificação (compromisso entre a esparsidade e a qualidade da representação fornecida pelo modelo).
O dicionário de átomos é gerado a partir de uma amostra normalizada de cada padrão anômalo. Os itens do dicionário, ao contrário das misturas, não sofreram adição de ruído, ou seja, há apenas a variabilidade inerente ao modelo gerador de cada padrão.
Dado o dicionário de átomos e uma mistura y observada, aplicamos a regressão do algoritmo LASSO. A implementação foi feita no software Matlab. Mais precisamente, consideramos a função lasso [8], que retorna uma matriz de coeficientes β dispostos em colunas para diferentes valores em λ. Para selecionar a coluna de coeficientes desejada foi criado um parâmetro que retorna o vetor coluna βlasso com certo grau de esparsidade.
É fato que em relação às 100 entradas (dados brutos da mistura) a redução para seis coeficientes via método LASSO já poderia ser considerada significativa. Contudo, neste estudo, o fator de esparsidade foi definido em 0,5 (50%). Isso significa dizer que, além de realizar a regressão esparsa através de um dicionário que contém os seis padrões anômalos, o vetor βlasso escolhido deverá possuir três coeficientes nulos. O
Algoritmo 2 demonstra o processo de seleção do vetor de coeficientes βlasso, onde a
solução retornada pela função lasso do Matlab é uma matriz βmatriz em ordem
crescente do valor de λ, ou seja, da solução menos para a mais esparsa. A inicialização de ylasso com a última coluna da matriz de coeficientes β obtida via lasso garante que a
representação mais esparsa será retornada caso o requerimento mínimo de elementos nulos não seja satisfeito em outra coluna, associada a um menor valor em λ. É válido ressaltar que a iteração sugerida parte da primeira até a última coluna em βmatriz.
Assim, o vetor coluna βlasso torna-se cada vez mais esparso e está associado à uma
solução de maior erro quadrático médio (EQM). Logo, visando um modelo de maior qualidade, é retornado o primeiro βlasso que atenda ao critério de esparsidade.
início
βmatriz ← lasso(y, dicionario)
ylasso ← última coluna em βmatriz
minNulos ← linhas em ylasso × fatorEsparsidade
para cada βcoluna em βmatriz faça
se nulos em βlasso ≥ minNulos então
ylasso ← βcoluna retorna ylasso fim fim retorna ylasso fim