Caract´erisation de l’´etat stationnaire

A titre d’exemple la population de l’´etat timed Dicke en r´egime stationnaire s’´ecrit

ρ^st_{T D|T D} = ¹ 2

sc

1 + sc

. (1.139)

Limite de faible excitation Pour pouvoir se limiter `a l’espace de Hilbert en-gendr´e par le fondamental et les niveaux `a une excitation, il faut que ρ_{T D|T D} ≪ 1, i.e. que la saturation collective soit faible s_c ≪ 1.

Dans le cadre d’atomes de Rydberg, le r´egime de blocage de Rydberg [121, 108, 122, 46] permet d’avoir un syst`eme restreint `a une excitation au plus. Les ´equations donn´ees ci-dessus sont alors correctes quelle que soit la saturation du syst`eme.

1.5.2 Caract´erisation de l’´etat stationnaire

Nous allons voir comment il est possible de caract´eriser l’´etat collectif du sys-t`eme en suivant l’´evolution de la population des ´etats excit´es du syssys-t`eme P

iρ_i|i = 1 − ρG|G qui correspond `a l’´energie m´ecanique des dipˆoles (voir Eq. (1.21)). Oscillations de Rabi collectives

La fr´equence de Rabi correspond `a la fr´equence d’oscillation des populations lorsque le syst`eme est excit´e par un champ lumineux ext´erieur. Elle d´epend de la force de couplage entre le champ lumineux et la transition atomique. La pr´ecession de Rabi entre les niveaux d’un syst`eme `a deux niveaux ´eclair´e par une lumi`ere r´esonnante s’effectue `a la fr´equence de Rabi.

Dans l’image pr´ec´edente d’un syst`eme `a deux niveaux {|Gi, |T Di} excit´e `a r´esonance par le laser, nous avons vu que la pulsation de Rabi collective est donn´ee par

Ωc =√

Ceci s’interpr`ete simplement en remarquant que l’´el´ement de matrice hT D|<sup>P</sup>jdj· E0|Gi =<sup>√</sup>N ~Ω o`u E0 est le champ ´electrique du laser incident. Le syst`eme r´eagit collectivement comme un gros dipˆole D =√

N d (d est le dipˆole d’un atome) coupl´e au champ ext´erieur E0.

Pour un laser d´esaccord´e de ∆ par rapport `a la transition atomique, la pr´eces-sion de Rabi s’effectue `a la pulsation de Rabi g´en´eralis´ee

ωR=p Ω2

c + ∆2 ≃^√N Ω2+ ∆2, (1.141) o`u on a n´eglig´e le d´eplacement de Lamb collectif (bonne approximation pour les nuages dilu´es). Les oscillations collectives ne sont correctement d´ecrites que par l’´equation maˆıtresse. Dans le cadre de la th´eorie lin´eaire, les dipˆoles oscillent `a la fr´equence ∆/(2π). Pour observer des oscillations de Rabi, il faut que la pulsation de Rabi ωR soit grande devant le taux d’amortissement du syst`eme Γc

ωR≫ Γc, (1.142) et, pour que l’oscillation soit domin´ee par Ωc, il faut que

Ωc ≫ ∆. (1.143)

Les conditions (1.142) et (1.143) ´equivalent `a ce que la saturation collective du syst`eme sc introduite dans Eq. (1.138) soit importante. Nous avons vu qu’une condition pour pouvoir n´egliger les ´etats `a plus d’une excitation s’´ecrit sc ≪ 1 ce qui est donc incompatible avec Eq. (1.142) et Eq. (1.143). Cependant, comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e, des atomes dans le r´egime de blocage de Rydberg sont de bons candidats pour observer ce ph´enom`ene. Par exemple, l’excitation collective de deux atomes de Rydberg a ´et´e observ´ee [46].

La figure 1.8 montre les oscillations de Rabi collectives simul´ees `a partir de l’´equation maˆıtresse ainsi que leurs d´ependances en Ω. On remarque le tr`es bon accord avec la pr´ediction Eq. (1.141)

D´eveloppement pour les grands d´esaccords Pour ∆c ≫ Ω, la pulsation des oscillations de Rabi collectives se simplifie en ωR≃ ∆ (1 + sc) avec sc ≃ Ω2

c/(2∆2). `

A l’ordre le plus bas, on retrouve le r´esultat de l’optique lin´eaire, i.e. les dipˆoles oscillent `a ∆. En restant dans le r´egime faiblement saturant sc ≪ 1, la correction `a la pulsation de Rabi est de l’ordre de sc, donc faible. Elle sera par cons´equent difficile `a mesurer exp´erimentalement. Les atomes dans le r´egime de Blocage de Rydberg semblent ainsi constituer un syst`eme id´eal pour ´etudier cette physique.

0 2 4 6 8 10

Time (

)

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

Excited population

(a)

0 2 4 6 8 10

Omega (

)

0

2

4

6

8

10

12

Osc

illa

tio

n fr

eq

ue

nc

y (

) (b)

Figure 1.8 – (a) Population des ´etats excit´es en fonction du temps. Les atomes sont initiale-ment dans l’´etat fondainitiale-mental |Gi et le laser est allum´e `a t = 0. On observe des oscillations de Rabi amorties. Param`etres de la simulation : N = 40, kσ = 10, ∆ = 10 Γ, Ω = 2 Γ. (b) Fr´equences d’oscillation de la population des ´etats excit´es en fonction de Ω pour N = 20 (cercles bleus) et N = 40 (carr´es rouges) ainsi que leurs pr´edictions th´eoriques sans ajuste-ment f_R=√

N Ω2+ ∆2/(2π) (courbes continues).

R´esonance de l’´etat stationnaire

La figure 1.9 montre la solution num´erique de l’´equation maˆıtresse restreinte `a une excitation donnant l’´evolution de la population des ´etats excit´es P

iρ_i|i en fonction du d´esaccord du laser incident. Dans le cas d’atomes ind´ependants (i.e. nuage tr`es dilu´e), la courbe de r´esonance est une Lorentzienne de largeur Γ, centr´ee en z´ero. Lorsque l’´epaisseur optique du nuage est augment´ee, le couplage collectif entre |Gi et |T Di ´elargit de Γc la courbe de r´esonance et la d´eplace de Lc. Pour mesurer la largeur de raie et la fr´equence de r´esonance issues de la simulation num´erique, nous effectuons un ajustement dans la r´egion o`u l’´epaisseur optique b(∆) < 1, pour ´eviter les effets de diffusion multiple qui d´eforment la courbe. La figure 1.9 illustre notre d´emarche. Nous avons cependant remarqu´e qu’un ajustement sur la courbe compl`ete donne des r´esultats similaires `a ceux obtenus en excluant la r´egion b(∆) > 1.

La figure 1.10 donne l’´evolution de la largeur ainsi que le centre de la courbe de r´esonance en fonction de l’´epaisseur optique b0 et de la densit´e N/(kσ)3 du nuage. Pour r´ealiser la simulation num´erique, on a gard´e le nombre d’atomes constant et on a fait varier la taille du nuage kσ. Les points bleus et rouges correspondent `a deux r´ealisations du d´esordre diff´erentes. On remarque que la largeur de la r´eso-nance est en bon accord avec la pr´ediction Γ_c = (1+b₀/12) Γ. En ce qui concerne la position de la r´esonance, on remarque de fortes fluctuations suivant la r´ealisation

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Detuning (

)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Normalized excited population

Figure 1.9 – Population normalis´ee des ´etats excit´es en fonction du d´esaccord ∆ pour un nuage de N = 200 atomes tr`es dilu´e (cercles bleus) et pour N = 200 atomes, kσ = 8.6 (b₀ = 8.2) (cercles rouges). En faisant l’ajustement 1/(4(∆ − Lc)2 + Γ2

c) dans la zone de diffusion simple (i.e. en dehors de la r´egion color´ee), on extrait les param`etres collectifs du nuage. Pour la courbe rouge on obtient Γ<sub>c</sub> = 1.7 Γ, Lc = −0.02 Γ, ce qui est en tr`es bon accord avec la pr´ediction th´eorique Γ_c = (1 + b₀/12) Γ = 1.68 Γ.

du d´esordre en accord avec notre discussion de la partie 1.1.5, o`u l’on a remarqu´e que le d´eplacement de Lamb collectif est caract´eris´e par une loi de probabilit´e dont la valeur moyenne est petite devant l’´ecart type de la distribution.