Caract´ erisation des d´ echets

3.4.1 Radiotoxicit´e

Quelques d´efinitions [48]

La radioactivit´e se manifeste par une d´esint´egration spontan´ee de noyaux atomiques instables en d’autres noyaux, accompagn´ee d’un d´egagement d’´energie sous forme de divers rayonnement. Cette activit´e (unit´e Becquerel ou Bq) quantifie l’intensit´e d’une source de rayonnement, donc un risque potentiel, si l’on ne s’en prot`ege pas. L’irradiation d’un or-ganisme engendre des l´esions plus ou moins importantes. La dose quantifie ce qui a ´et´e effectivement re¸cu par un individu qui a ´et´e expos´e `a des rayonnements (provenant d’une source externe) ou contamin´e par des produits radioactifs (externe ou interne). Il existe diff´erentes notions de doses.

La dose absorb´ee correspond `a la quantit´e d’´energie d´epos´ee par unit´e de masse dans un tissu par des rayonnements. Elle s’exprime en Gray (Gy), ce qui correspond `a une ´energie de 1 joule c´ed´ee dans un kilogramme de mati`ere (1 Gy = 1 J.kg−1).

La dose ´equivalente prend en compte le type de rayonnements, car ils ne produisent pas tous le mˆeme effet `a faible dose. Les rayonnements α, lors d’une ingestion, sont les plus nocifs car le d´epˆot d’´energie d’une particule α est tr`es localis´e : une seule particule peut induire plusieurs brisures d’une mˆeme chaˆıne d’ADN que les m´ecanismes naturels ne parviennent pas `a r´eparer. On d´efinit alors la dose ´equivalente `a l’organe H_T,R, dans un tissu T irradi´e par le rayonnement R comme :

H_T,R=X

R

W_RD_T,R (3.11)

o`u DT,R est la dose absorb´ee par l’organe T lors de son irradiation par le rayonnement R, et W<sub>R</sub> est le facteur de pond´eration li´e `a la nature du rayonnement R. La dose ´equiv-alente totale H_T est la somme des H_T,R pour tous les types de rayonnements. Le facteur de pond´eration W_R est sans dimension, l’unit´e de la dose ´equivalente est le J.kg−1, mais son nom sp´ecifique est le sievert (Sv). Les coefficients de pond´eration sont des estimations faites par des experts comparant la toxicit´e biologique relative des diff´erents rayonnements pour produire des cancers dans un organe. Ces coefficients n’ont a priori de signification que pour de faibles doses de rayonnements.

La dose efficace permet d’estimer le risque d’induction de cancers dans l’organisme entier en prenant en compte la radiosensibilit´e des diff´erents tissus. En effet, le risque de cancer ´eventuel n’est pas le mˆeme selon les diff´erents tissus (d’une mani`ere g´en´erale, ceux dans lesquels la multiplication cellulaire est rapide sont les plus sensibles). Elle se d´efinit comme :

E =X

T

3.4 Caract´erisation des d´echets 63 o`u H_T est la dose ´equivalente totale et W_T le coefficient de pond´eration d´ependant de la sensibilit´e du tissu aux rayonnements. W_T est sans dimension et la dose efficace s’exprime ´egalement en Sv.

Ces facteurs de pond´eration, WRet WT, peuvent varier avec l’avancement des connais-sances sur les effets biologiques des rayonnements.

La dose engag´ee concerne le cas particulier de l’irradiation interne. En cas d’ab-sorption d’un produit radioactif, la dose sera d´elivr´ee `a l’organisme tant que ce produit sera pr´esent ; le cumul sur ce laps de temps constitue la dose engag´ee. Il s’agit de la dose ´equivalente `a l’organe ou la dose efficace `a l’organisme entier qui est engag´ee, d`es lors que des radionucl´eides sont ing´er´es ou inhal´es, et ce au cours des ann´ees qui suivent son incor-poration (50 ans pour les adultes et 70 ans pour les enfants). Le calcul de la dose engag´ee fait intervenir la p´eriode effective, qui est le laps de temps au bout duquel la dose d´epos´ee par unit´e de temps sera att´enu´ee d’un facteur 2, compte tenu de la p´eriode de d´ecroissance nucl´eaire et du m´etabolisme susceptible d’´eliminer le produit (cf equation 3.13).

1 T_{ef f} ⁼ 1 T_radioactive ⁺ 1 T_biologique ^(3.13)

La radiotoxicit´e est une mesure du risque potentiel auquel serait soumis une personne dans une situation extrˆeme sans aucune mesure de protection. Cette mani`ere de calculer la radiotoxicit´e n’a pas vraiment d’application pratique, puisqu’elle suppose qu’un individu a ing´er´e tout le stock de mat´eriaux radioactifs consid´er´es. N´eanmoins, elle permet de comparer entre elles chacune des fili`eres ´etudi´ees. La radiotoxicit´e se d´efinit en fait en termes de dose efficace engag´ee que recevra un individu, suite `a l’ingestion d’un ensemble de radionucl´eide.

Pour pouvoir convertir l’activit´e d’un noyau en radiotoxicit´e en cas d’ingestion ou d’inhalation de radionucl´eides, on introduit le facteur de dose. Il diff`ere selon que la personne expos´ee est un adulte ou un enfant. Il regroupe tous les param`etres dont d´epend la radiotoxicit´e : nature du rayonnement (dose ´equivalente), sensibilit´e de l’organe touch´e au rayonnement (dose efficace), ... Il s’exprime en Sv/Bq et permet de relier la radiotoxicit´e et l’activit´e :

R = F_d× A (3.14)

o`u F<sub>d</sub> est le facteur de dose ou dose par unit´e d’incorporation (DPUI) [48], R est la radiotoxicit´e ou la dose et A l’activit´e. Plus la DPUI est ´elev´ee, plus le noyau est consid´er´e comme toxique. Le facteur de dose permet de calculer une dose efficace d´elivr´ee `a l’homme correspondant `a l’ingestion ou `a l’inhalation d’une activite de 1 Bq d’un radionucl´eide donn´e. En r´ealit´e, le terme de facteur de dose est g´en´erique, et sa d´efinition peut varier suivant qu’il s’agit d’une exposition interne ou externe, et suivant le type d’exposition externe [49].

Calcul de la radiotoxicit´e d’un stock de noyaux

Comme on l’a vu avec l’´equation 3.14, la radiotoxicit´e potentielle pour un temps g´eologique t s’exprime en fonction de l’activit´e et du facteur de dose, et s’exprime en Sv :

R(t) =X

i

f_iλ_iN_i(t) (3.15)

avec f_i le facteur de dose du noyau i et λ_i la constante de d´ecroissance du noyau i, et N_i(t) le nombre de noyaux i. L’origine est la s´eparation des ´el´ements consid´er´es comme d´echets et ceux consid´er´es comme mati`eres valorisables issus du combustible. Les temps consid´er´es pour le calcul de l’´evolution de la radiotoxicit´e s’´etendent jusqu’aux millions d’ann´ees. Sur de telles ´echelles de temps, la m´ethode de Runge-Kutta ne peut ˆetre utilis´ee pour r´esoudre les ´equations de Bateman (´equation 2.9) ; en effet, pour ˆetre stable, cette m´ethode implique que le dt permettant d’obtenir N(t+dt) connaissant N(t) soit de l’ordre du temps de demi-vie minimal ; par exemple, dans la chaˆıne de d´esint´egration de l’238U, le temps de demi-vie minimal est de l’ordre de 10⁻⁴ s. Par cons´equent, cela n´ecessite

3.15×107×106

10−4 op´erations `a r´ealiser, ce qui est trop coˆuteux en temps, et qui en plus entraˆıne une accumulation d’erreur trop importante. Les ´equations de Bateman pr´esent´ees sous forme matricielle dans le premier chapitre sont alors r´esolues par diagonalisation de la matrice d’´evolution A. d^−→N (t) dt ^{= A} − → N (t) (3.16)

La matrice est diagonalis´ee3 en calculant les matrices de passage P et P−1 telles que :

A = P⁻¹∆P (3.17)

P est la matrice de passage de A `a ∆ et ∆ une matrice diagonale constitu´ees des valeurs propres de A. Le syst`eme peut s’´ecrire alors comme :

d^−→N (t) dt ^{= P}

−1∆P^−→N (t) (3.18)

En posant^−→N = Pe ^−→N et en multipliant `a gauche 3.18 par P, on a alors : d^−→N (t)e dt ^{= ∆} − → e N (t) (3.19)

Ce syst`eme s’int`egre facilement (du fait que ∆ est diagonale) : − → e N (t) = e^∆t −→ f N0(t) (3.20)

La solution en fonction de^−→N (t) est alors : − → N (t) = P⁻¹e^∆t −→ f N0(t) = P⁻¹e^∆tP^−→N⁰(t) (3.21)

3.4 Caract´erisation des d´echets 65 En notant : Γ(t) = P⁻¹e^∆tP (3.22) On a alors : − → N (t) = Γ(t)^−→N⁰ (3.23) Par cons´equent, N_i(t) dans l’´equation 3.15 s’´ecrit comme :

−→

N_i(t) =X

j

Γ_i,j(t)^−→N_j⁰ (3.24)

L’´equation 3.15s’´ecrit alors comme : R(t) =X

i

X

j

f_iλ_iΓ_i,j(t)^−→N_j⁰ (3.25)

La somme sur l’indice j correspond `a une somme sur les noyaux initialement pr´esents dans le stock dont on calcule la radiotoxicit´e. La somme sur l’indice i, elle, correspond `a la somme de tous les noyaux pr´esents `a l’instant t auquel on calcule la radiotoxicit´e. Cela conduit `a deux descriptions physiques diff´erentes lorsque l’on regarde les contributions de chaque ´el´ement `a la radiotoxicit´e. Si l’on veut d´eterminer la contribution de chacun des ´el´ements pr´esents `a l’instant t de l’´evolution, on utilisera la notation :

R(t) =X i R_i(t) (3.26) o`u : Ri(t) = fiλi −→ Ni(t) = fiλi X j Γi,j(t)<sup>−→</sup>N<sub>j</sub><sup>0</sup>(t) (3.27) Dans ce cas, R<sub>i</sub>(t) repr´esente la radiotoxicit´e induite par les noyaux i pr´esents `a l’instant t.

Si l’on veut d´eterminer quels sont les noyaux pr´esents `a l’instant initial responsables de la radiotoxicit´e `a l’instant t, mˆeme si ceux-ci ont disparu depuis longtemps, on utilise une repr´esentation par noyau p`ere. Si on ´etudie la radiotoxicit´e induite par le noyau j pr´esent `

a l’instant t initial, on peut ´ecrire :

−→ N⁰ =             0 0 · · · N_j · · · 0 0             (3.28) On a alors : −→ N_i(t) = Γ_i,j(t)^−→N_j⁰ (3.29)

La radiotoxicit´e induite `a l’intant t par le noyau j pr´esent `a l’instant t = 0 est : f

Rj(t) =X

i

fiλiΓi,j(t)^−→N_j⁰ (3.30)

La radiotoxicit´e induite `a l’intant t par plusieurs noyaux j pr´esents initialement est : R(t) =X

j

f

R_j(t) (3.31)

Dans la suite de notre ´etude, nous utiliserons essentiellement la radiotoxicit´e par p`ere pour calculer les contributions particuli`eres de chaque noyau, pour d´eterminer les ´el´e-ments initialement pr´esents responsables de la radiotoxicit´e `a long terme et s´electionner les noyaux int´eressants `a transmuter.

3.4.2 Chaleur r´esiduelle

D´efinition et contexte

En raison de leur radioactivit´e ´elev´ee, les d´echets HA issus du combustible us´e d´egagent de la chaleur, et ce pendant plusieurs centaines d’ann´ees. Des particules α et β sont ´emises lors de ces d´esint´egrations au sein de la mati`ere. Comme elles sont frein´ees dans la mati`ere, ce mouvement (´energie cin´etique des particules) se transforme en chaleur. Cette chaleur r´esiduelle issue des d´echets n´ecessite des dispositions particuli`eres. Actuellement, en France, les PF et les AM issus des combustibles us´es des REP sont calcin´es et incorpor´es dans une matrice de verre puis coul´es dans un conteneur en acier r´efractaire [50]. Ces colis de d´echets, ou verres, ainsi conditionn´es, sont entrepos´es sur leur lieu de conditionnement `

a La Hague dans des puits ventil´es qui permettent d’´evacuer la chaleur d´egag´ee. L’option envisag´ee dans l’avenir est le stockage en couche g´eologique profonde. Ce stockage consiste disposer les colis de d´echets dans des ouvrages souterrains adapt´es. Le dimensionnement de ces sites de stockage est fortement li´e `a la chaleur r´esiduelle produite par les d´echets. En effet, comme il n’y a pas d’´evacuation de chaleur par convection de l’air, le temp´erature a tendance `a augmenter, et il est n´ecessaire que le maximum de temp´erature atteinte dans la formation d’argilite ne d´epasse pas 90 °C [51]⁴. Pour donner un ordre de grandeur, la surperficie n´ecessaire pour enfouir 1 ha de colis de d´echets entrepos´es en surface est de 500 ha environ sous terre [53].

4Pour garantir la stabilit´e thermique du verre, la temp´erature au cœur du colis en entreposage ne

doit pas d´epasser sa temp´erature de transition vitreuse. De nouvelles formulations de verres borosilicat´es enrichis en terres rares sont ´etudi´ees et permettent une augmentation des temp´eratures de transition

vitreuse d’environ 50°C, ce qui permettrait une augmentation de la charge thermique de 15 % par rapport

`

a la limite maximale actuelle [52]. Il est `a noter qu’un colis de d´echet vitrifi´e d´egage environ 500 W apr`es

3.4 Caract´erisation des d´echets 67 Evaluation de la chaleur r´esiduelle

Le calcul de la chaleur r´esiduelle dans MURE se fait d’apr`es le calcul de l’activit´e. On rappelle que l’activit´e d’un m´elange de noyaux i se d´efinit comme :

A(t) =X

i

A_i =X

i

λ_iN_i(t) (3.32)

A un facteur pr`es en moins, l’´evolution de l’activit´e se calcule de la mˆeme mani`ere que celle de la radiotoxicit´e (equation 3.15). Pour calculer la chaleur r´esiduelle, on utilise des facteurs de chaleurs (cf AnnexeH) par noyaux, qui s’expriment en Watt par Curie (W/Ci). Pour obtenir la contribution `a la chaleur r´esiduelle de chacun des noyaux, une fois l’activit´e calcul´ee, que ce soit en mode par p`ere ou par noyau, il suffit de multiplier la valeur de l’activit´e par le facteur de chaleur. On obtient alors la chaleur r´esiduelle en Watt. La m´ethode de r´esolution de N(t) est exactement la mˆeme que celle d´ecrite pr´ec´edemment pour le calcul de la radiotoxicit´e. Les ´echelles de temps sont cependant diff´erentes : alors que la radiotoxicit´e est d´ecrite sur des p´eriodes g´eologiques qui peuvent atteindre plusieurs millions d’ann´ees, la chaleur des d´echets a un impact sur le dimensionnement du site de stockage souterrain pendant quelques centaines d’ann´ees seulement.

Chapitre 4

R´eacteurs `a neutrons rapides avec

combustible U/Pu

Nous pr´esentons tout d’abord un mod`ele simplifi´e, qui a pour but de mettre en ´evidence l’influence des temps d’irradiation, de refroidissement et de fabrication sur l’inventaire du

241Pu et de l’ ²⁴¹Am et donc sur la neutronique du r´eacteur, pour tenter de clarifier la notion d’´equilibredans le cas d’un r´eacteur r´eg´en´erateur U/Pu. Puis, nous examinons trois types de gestion du rechargement pour un RNR U/Pu, prenant en compte justement les temps d’irradiation, de refroidissement et de fabrication : un cas de r´ef´erence o`u seuls les ´el´ements fissile et fertile sont remis en cœur, un cas de transmutation homog`ene des AM o`u, non seulement, les ´el´ements fissile et fertile, mais aussi les AM produits par le cœur, sont remis dans la zone fissile, et un cas de transmutation h´et´erog`ene dans lequel les ´elements fissile et fertile sont remis dans le cœur et les AM, quant `a eux, sont plac´es dans une couverture fertile radiale en p´eriph´erie du cœur. Nous pr´ecisons dans les trois cas les inventaires ainsi que certains param`etres de sˆuret´e.

4.1 Illustration du couplage neutronique/cycle

Nous consid´erons ici un RNR isog´en´erateur bas´e sur le cycle U/Pu `a l’´equilibre. Le cœur du r´eacteur est irradi´e pendant un temps T<sub>irr</sub>. Au bout de ce laps de temps, une partie ou tous les assemblages du cœur sont remplac´es par des assemblages frais. Les assemblages sortis du cœur sont refroidis durant un temps T<sub>cool</sub>. Une fois que les assemblages ont refroidi, ils sont retrait´es : les ´el´ements fissile et fertile, tels que l’uranium et le plutonium sont s´epar´es puis r´eutilis´es pour fabriquer les assemblages frais. Le temps de fabrication des assemblages frais est not´e T<sub>f ab</sub>. On ne consid`ere pas ici le recyclage des AM. Dans ce mod`ele, le temps T<sub>irr</sub> varie entre 3 et 7 ans, le temps T<sub>cool</sub> entre 2 et 7 ans, et le temps T<sub>f ab</sub> entre 2 et 7 ans ´egalement. Les valeurs de r´ef´erence commun´ement admises dans les ´etudes de sc´enarios sont (T<sub>irr</sub>,T<sub>cool</sub>,T<sub>f ab</sub>) ´egales `a (5,5,2) [54]. La densit´e de puissance est repr´esentative d’un RNR, soit 221 W/cm3 de cœur (437 W/cm3 de combustible), 5 ans d’irradiation correspond donc `a un burn-up de 90 000 MWj/tNL.

4.1.1 Probl´ematique

Dans un RNR avec combustible U/Pu, le combustible contient du 241Pu. Le 241Pu a une p´eriode de demi-vie de l’odre de 14.4 ans et d´ecroˆıt vers l’²⁴¹Am pendant la phase de refroidissement et de fabrication. La p´eriode de l’²⁴¹Am ´etant de 432 ans, cet isotope s’accumule au fur et `a mesure que le241Pu se d´esint`egre. Aux ´echelles de temps consid´er´ees pour le cycle (fonctionnement du r´eacteur, refroidissement des assemblages us´es et fabri-cation des assemblages frais), ce ph´enom`ene va impacter la neutronique, et notamment la r´eactivit´e, ainsi que la quantit´e d’am´ericium envoy´ee aux d´echets.

Le r´eacteur consid´er´e est un r´eacteur `a neutrons rapides isog´en´erateur, refroidi par du sodium. La puissance du r´eacteur est de 3600 MWth. La masse d’<sup>238</sup>U est suppos´ee `

a peu pr`es constante sur le cycle (environ 50 t) : en fait, la masse de fertile dans un concept isog´en´erateur diminue au cours de l’irradiation et un apport de fertile est r´ealis´e `

a chaque cycle pour compenser sa consommation. Cela ´etant, cette variation sur la masse totale d’238U en cœur est n´eglig´ee dans les calculs simplifi´es pr´esent´es dans ce paragraphe. Tous les isotopes du Pu sont pris en compte. On suppose le flux et les sections efficaces constants au cours de l’irradiation. Tous les isotopes sont consid´er´es `a l’´equilibre durant le cycle (irradiation + refroidissement + fabrication). La masse d’241Am est mise aux d´echets au moment de la s´eparation, c’est-`a-dire au temps T_irr + T_cool. Les pertes dues au retraitement chimique pour s´eparer les isotopes sont n´eglig´ees.

4.1.2 Calcul de la masse de 239Pu et de 240Pu

L’´equilibre d’un syst`eme isog´en´erateur se d´efinit en g´en´eral par l’´egalit´e entre produc-tion et consommaproduc-tion d’un noyau donn´e pendant l’irradiaproduc-tion (pour le noyau p`ere fertile, la production correspond `a l’alimentation en minerai). On en d´eduit en g´en´eral que chaque isotope multi-recycl´e, et en particulier les isotopes du Pu, sont constants pendant l’irra-diation. Cela est correct pour les isotopes 239 et 240 du plutonium car ils ont des dur´ees de vie longue, respectivement 24 000 ans et 65 000 ans, et ne d´ecroissent donc pas pendant le refroidissement et la fabrication du combustible. Pour le²⁴¹Pu, en revanche, sa p´eriode est de 14.4 ans, et sa d´ecroissance hors cœur ne peut ˆetre n´eglig´ee. L’´equilibre ne se d´efinit donc plus par la constance de la quantit´e de Pu sur la dur´ee de l’irradiation pour n’im-porte quel isotope du plutonium, mais par N (0) = N (T_irr + T_cool + T_{f ab}), (et pour les isotopes²³⁹Pu et ²⁴⁰Pu, cette ´equation se traduit par N (0) = (T_irr)).

Les ´equations d’´evolution du²³⁹Pu et du²⁴⁰Pu s’´ecrivent : dN239P u dt ^{= N238Uσ} cap 238Uφ − N239P uσ^abs239P uφ (4.1) dN240P u dt ^{= N239P uσ} cap 239P uφ − N240P uσ240^absP uφ (4.2)

4.1 Illustration du couplage neutronique/cycle 71 A l’´equilibre, on a alors : N239P u = ^N238Uσ cap 238U σ239^absP u (4.3) N240P u = ^{N239P uσ} cap 239P u σ^abs240P u (4.4)

Comme la masse d’²³⁸U est suppos´ee constante au cours du cycle celle du ²³⁹Pu l’est ´egalement. La masse d’²³⁸U `a l’´equilibre est d’environ 50 tonnes. On en d´eduit la masse du 239Pu et celle du 240Pu : M239P u = 6.17 t et M240P u = 3.57 t.

4.1.3 Cas du 241Pu

Condition d’isog´en´eration

Comme cela a ´et´e dit, l’isog´en´eration ne signifie pas que la masse du241Pu est constante sur [0 ; T_irr] `a cause de la d´ecroissance de ce dernier sur l’²⁴¹Am sur [T_irr; T_irr+ T_cool+ T_{f ab}]. En effet, si le²⁴¹Pu est constant pendant l’irradiation, il d´ecroit pendant T_cool + T_{f ab}, et la masse de241Pu est diff´erente entre les cycles i et i+1, et l’´equilibre n’est plus assur´e. La condition d’isog´en´eration s’´ecrit donc :

N241P u(0) = N241P u(T_irr+ T_cool+ T_{f ab}) (4.5)

Equation d’´evolution du ²⁴¹Pu

On a deux ´equations d’´evolution : une valable sur l’intervalle [0 , T_irr] et l’autre sur l’intervalle [T_irr , T_irr + T_cool + T_{f ab}]. En effet, sur le deuxi`eme intervalle, on est hors flux (φ = 0). Intervalle [0 , T_irr] dN241P u dt ^{= N240P uσ} cap 240P uφ − N241P u(σ241^absP uφ + λ241P u) (4.6) La solution de cette ´equation est de la forme :

N241P u(t) = α exp −(λ241P u+ σ^abs241P uφ)t + ^{N240P uσ} cap 240P u φ λ241P u+ σabs 241P uφ ^(4.7) α est une constante d’int´egration que l’on d´etermine grˆace `a la condition d’isog´en´eration 4.5. On note d’ores et d´ej`a que pour remplir la condition 4.5, l’inventaire du ²⁴¹Pu doit augmenter pendant l’irradiation pour compenser sa diminution pendant le refroidissement et la fabrication, donc α est n´egatif.

Intervalle [T_irr , T_irr + T_cool + T_{f ab}] dN241P u

dt ^{= −λ241P uN241P u (4.8)} La concentration de²⁴¹Pu sur cet intervalle est :

N241P u(t) = N241P u(T_irr) exp (−λ241P u(t − T_irr)) (4.9) Une fois l’´equation d’´evolution du241Pu ´etablie sur l’intervalle [T_irr , T_irr + T_cool+ T_{f ab}], on peut calculer α avec la condition d’isog´en´eration 4.5, on obtient :

α = N_{240 P u}σ_{240 P u}^cap φ λ_{241 P u}+σabs 241P uφ(exp(−λ241P u(T_cool+ T_{f ab})) − 1) 1 − exp −[(λ241P u+ σabs 241P uφ) + λ241P u(T_cool+ T_{f ab})]
(4.10) Equation d’´evolution du 242Pu

Comme le 241Pu n’est pas constant pendant l’irradiation, il en sera de mˆeme pour le

242Pu. L’´equation d’´evolution du²⁴²Pu s’´ecrit comme : dN242P u

dt ^{= −N242P uσ}

abs

242P uφ + N241P uσ₂₄₁^cap_{P u}φ (4.11) Intervalle [0 , T_irr]

La valeur de N241P u est donn´ee par l’´equation 4.13. La solution de l’´equation 4.11 est de la forme : N242P u = β e^−σ242 P u^abs φt + ^V σabs 242P uφ − a^e −at+ ^W σabs 242P uφ ^(4.12) avec : a = −λ241P u+ σ241^absP uφ V = ασ₂₄₁^cap_{P u}φ W = Kσ^cap_{241P u}φ K = ^{N240P uσ} cap 240P u φ λ241P u+ σabs 241P uφ β = N242P u(0)

Il nous reste `a d´eterminer la valeur initiale de <sup>242</sup>Pu `a t = 0. Intervalle [Tirr , Tirr + T_cool + T_{f ab}]

Sur cet intervalle de temps, la dur´ee de vie du ²⁴²Pu (375 000 ans) est trop longue pour jouer un rˆole, on a donc :

N242P u(t) = constante (4.13) Pour d´eterminer, cette constante, on utilise la condition d’isog´en´eration, qui s’´ecrit comme : N242P u(0) = N242P u(T_irr+ T_cool+ T_{f ab}) (4.14)

4.1 Illustration du couplage neutronique/cycle 73 Comme sur [T_irr , T_irr + T_cool + T_{f ab}], N242P u est constant, on a :

N242P u(0) = N242P u(T_irr) (4.15) Des ´equations 4.13,4.12et 4.15, on peut ´ecrire l’´equation4.16 :

β + ^V σabs 242P uφ − a ⁺ W σabs 242P uφ | {z } N_{242P u}(0)

= βe^−σ242 P u^abs φTirr + ^V

σabs 242P uφ − a^e −aTirr+ ^W σabs 242P uφ | {z } N_{242 P u}(Tirr) (4.16)

On d´etermine ainsi la valeur de β :

β = ^V

a − σabs

242P uφ^×

1 − e^−aTirr

1 − e^−aσabs242 P uφTirr (4.17)

4.1.4 Cas du 241Am