4.2 Transformée de Fourier et hangement des formes
4.2.1 Cal ul de la DFT dis rète
La transformée de Fourier dis rète (DFT : Dis rete Fourier Transform) permet de al-
uler la transformée de Fourier d'une suite d'é hantillons au lieu d'une fon tion ontinue.
omme suit :
fj
=
n−1
X
k=0
X[k]exp[((−2π/n)i)jk]
(4.1)⋄ (X[k])
est lasuite des é hantillons temporels,⋄ (fj)
la suite des é hantillons fréquentiels,⋄ n
est le nombre des é hantillons temporels,⋄ i
est lenombre imaginairetelquei
2
=-
1
,⋄ j
désignel'indi e de la suite des é hantillonnagesfj
, et⋄ k
la variable de sommation.4.2.2 La transformée de Fourier rapide : FFT
Unalgorithmede transforméede Fourier rapide(FFT :FastFourierTransform) permet
de al ulerlaDFT ave une omplexitéminimale.Eneet, pourune appli ationlittéralede
la DFT, on obtient une omplexité de al ulde l'ordre de
O(n
2
)
. Les buts des algorithmes de FFTest de dé omposer latransformation a n d'obtenir une omplexitéenO(nlog2(n))
, permettant ainsi sa réalisationen tempsa eptable par des ordinateurs d'une puissan e deal ul raisonnable.
Ilexistediérentsalgorithmesde laFFT.Leplus onnuetleplusutiliséest eluidetype
de Cooley-Tukey (appelé aussi à entrela ement temporel ou à de imation in time)[62℄ qui réduit la omplexité à
nlog2(n)
.Il existe deux versions de l'algorithme:
⋄
FFTave entrela ement temporel,⋄
FFTave entrela ement fréquentiel.L'algorithme né essite que n soit une puissan e de 2. Le prin ipe onsiste à dé omposer le
al ul de laTFD d'ordre
n = 2
l
,en
l
étapessu essives.4.2.2.1 FFT ave entrela ement temporel
Par sou i de simpli ité,nous illustronsle prin ipe de la méthode par un exemple d'une
suite temporelle
X[k]
de taillen = 4
en dimension 1.Lesdonnéessontsto kéesdansunve teur
X[n]
etnotéesxk
,lasuitedelaTFD estdé ni par unve teurf [n]
dontlesdonnéessontnotéesfj
.Onposeparsou ide lartéw = e
−i2π/n
,
'est-à-dire
w = e
−i2π/4
pour notre as.
Il va sans dire pour
n = 4
que :⋄ w0
= w4
= 1
⋄ w2
= −1
.De e qui pré ède, la suite TFD s'é rit omme suit :
⋄ f0
= x0+ x1
+ x2+ x3
=(x0+ x2) + (x1+ x3)
⋄ f1
= x0+ w1x1+ w2x2
+ w3x3
=(x0
− x2) + w
1
(x1− x3)
⋄ f2
= x0+ w
2
x1+ w
4
x2
+ w
6
x3
=(x0
+ x2) − (x1+ x3)
⋄ f3
= x0
+ w3x1+ w6x2+ w9x3
=(x0− x2) − w
1
(x1− x3)
Lesdonnées (
x0, x1, x2, ..., x
n−1
) sont regroupées en deux paquets :un paquet formédes données d'indi es pairs (x0, x2, x4, ...x
n−2
)etun paquetformédes données d'indi es impairs (x1, x3, x5, ..., x
n−1
). Ce qui donnepour unn = 4
, un paquet (x0, x2
) etun paquet (x1, x3
). Puis sur haque paquet on ee tue une DFT d'ordren/2
et on ombine les résultats de es DFT pour obtenir elle d'ordren
. À titre illustratif, lorsquen = 4
, ça donne la gure FIG.4.1.x0
Y0
= x0+ x2
⊕
f0
= Y0+ Z0
= x0
+ x1+ x2+ x3
TFD(n/2=2)x2
Y1= x0− x2
w1⊕
f1
= Y1+ w1Z1
= x0+ w1x1− x2− w1x3
x1
Z0
= x1+ x3
⊖⊕
f2
= Y0− Z0
= x0− x1+ x2− x3
TFD(n/2=2)x3
Z1
= x1− x3
⊖w1⊕ f3
= Y1− w1Z1
= x0− w1x1
− x2+ w1x3
Fig. 4.1: Constru tion de
fj
: étage de papillonPourobtenirlesquatrevaleurs
fj
de la gureFIG.4.1,ilsu tde al uler2TFD d'ordre n/2 et de ombiner lesrésultatsdeux àdeux à l'aided'une additionetd'une multipli ationaumaximum, pour haque valeur
fj
. Cetteétapeest appelée étagede papillon,liéeà la forme du s héma de al ul.Ce résultatsegénéralise assez façilementpour tout
n = 2
l
où
l
est un entier stri tement positif. Laméthode peut être réitéréel
fois et al ulerlaTFD d'ordren
àl'aidedel
étages den/2
papillons, avel = log2(n)
. La omplexité de al ul d'une TFD d'ordren
devient alors elle del
étages den/2
papillons,soitln
2
= log2(n)
n
2
multiplications complexes
ln = log2(n)n additions complexes
au lieude faire lassiquement :
n2
multiplications complexes
n(n − 1) additions complexes
Ainsi,pour
n = 1024 = 2
10
,le al ul lassiquedemande :
⋄ n2
= 1048576multipli ations
⋄ n(n − 1)
=1024*1023 = 1047552additionstandis que le a ulave l'algorithmede laFFT demande :
⋄ log2(n)n2
= 10 ∗ 512
=5120 multipli ations⋄ log2(n)n = 10 ∗ 1024
=10240 additionsL'algorithme diviseenviron par 200 le nombre de multipli ations à ee tuer. L'e a ité de
la FFT augmente sans nul doute ave la valeur de
n
. Pourn = 4
, le s héma omplet de l'algorithme est donné à la gure FIG.4.2, page 79.x0
⊕
Y0
= x0
+ x2
⊕
f0
= Y0+ Z0
= x0+ x1+ x2
+ x3
x2
⊖
Y1
= x0
− x2
w1⊕
f1
= Y1+ w1Z1
= x0+ w1x1
− x2
− w1x3
x1
⊕
Z0
= x1
+ x3
⊖⊕
f2
= Y0− Z0
= x0− x1+ x2− x3
x3
⊖
Z1
= x1− x3
⊖w1⊕
f3
= Y1− w1Z1
= x0− w1x1− x2+ w1x3
Fig. 4.2: S héma omplet de l'algorithmetemporel de Cooley-Tukey
Nous remarquons que dans e s héma les données temporelles en entrées
xi
sont désor- données, par ontre elles de sortiefj
sont dans l'ordre naturel de hoses. De e fait, et algorithme de FFTs'appelleFFTave entrela ement temporel.4.2.2.2 FFT ave entrela ement fréquentiel
Cet algorithme est symétrique du pré édent. Les données temporelles
xi
restent dans l'ordre naturel,tandis que lesrésultatsfj
sontdésordonnés.Leprin ipe onsiste en oreà dé omposer le al ul de la TFD d'ordre
n = 2
l
en
l
étapes su essives. Maisle regroupement de données sefait diéremment.Lesdonnéesfréquentielles(
f0
,f1
,f2
,...,f
n−1
)sontregroupéesendeuxblo s:unblo formé dedonnéesd'indi espairs(f0
,f2
,f4
,...,f
n−2
)etunblo forméd'indi esimpairs(f1
,f3
,f5
,...,f
n−1
). Ainsi, pourn = 4
on aura un blo (f0
,f2
) etun blo (f1
,f3
). De même pourn = 8
on aura un blo (f0
,f2
,f4
,f6
)et un blo (f1
,f3
,f5
,f7
).De façon analogueque le as de données temporelles, pour
n = 4
onpeut é rire :⋄ f0
= x0+ x1
+ x2+ x3
=(x0+ x2) + (x1+ x3)
⋄ f2
= x0+ w2x1+ w4x2
+ w6x3
=(x0
+ x2) − (x1+ x3)
⋄ f1
= x0+ w1x1+ w2x2
+ w3x3
=(x0
− x2) + [w
1
(x1− x3)]
⋄ f3
= x0+ w
3
x1+ w
6
x2
+ w
9
x3
=(x0
− x2) − [w
1
(x1− x3)]
Pour obtenir haque blo de résultats fréquentiels, onee tue une DFT d'ordre
n/2
sur les données résultant d'une étape de papillons sur lesdonnéesxi
.x0
⊕
f0
T F D(2)
x1
⊕
f2
w0
x2
⊖⊕
⊗
f1
T F D(2)
x3
⊖⊕
⊗
f3
w1
Fig. 4.3: S héma ompletde l'algorithme fréquentielde Cooley-Tukey
On a don un étage de 2 papillons suivi d'un étage de 2 DFT d'ordre
n/2 = 2
. Ce résultat se généralise, pour plus de détails, le le teur est invité à se pen her sur le livre deG. BAUDOIN[62℄.
Par ailleurs, il faut souligner qu'il est souvent utile dans ertains as de préparer les
donnéesavantlatransforméedeFourier.Late hnique onsisteàmultiplierlesignaltemporel
par une fon tion de temps. On nomme ette te hnique "apodisation". Le résultat dans le
spe tre sera bien sûr la onvolution de toutes les raies par la transfmée de Fourier de la
fon tion d'apodisation( ltrage).
À ause de la oupure fréquentielle abrupte introduite par des parasites, il est né es-
saire d'utiliser des fenêtres d'apodisation pour limiter les eets de ette dis ontinuité et
notammentles os illationsde Gibbs dans les imagesre onstruites [64℄.
Enréalité, ilexiste plusieurstypesde fenêtre d'apodisation,notamment[65℄:
⋄
fenêtre re tangulaire,⋄
fenêtre triangulaire,⋄
fenêtre de hanning,⋄
fenêtre de hanningave re ouvrement,⋄
fenêtre de Bla kman,⋄
fenêtre de at-top,⋄
fenêtre de Kaiser-Bessel, et⋄
fenêtre exponentielle.Le hoixdelafenêtreàutiliserdépenddes obje tifsetdesexigen esdelarésolutionspatiale
et de sensibilitéradiométrique. Toutefois, l'apodisationa un oût. L'attenuation de es os-
illationss'a ompagne né essairementd'une ertaine dégradationde larésolution spatiale.
Il est question dans la partie qui va suivre de regarder, dans un premier temps, les
diérents types de hangements qui peuvent surgir en utilisant la FFT. Le problème de la
transformée de Fourier est qu'elle est dé nie sur des espa es in nis, tandis que les images
réellesne lesontpas.Cependant, e in'estpasunhandi ap majeur.Ilexistedespro édures
ou du moins de moyens en dis rétisation nie, pour pouvoir appliquer la transformée de
Fourierà une suite nie de données temporelles ou spatialesd'é hantillonnage, notamment
l'imagebidimensionnelle(2D).Lele teurintéressépardedétails,peut onsulterparexemple
l'ouvrage de J.M. Vézien [66℄.
4.2.3 Préambule
Soit
I
une image.I(x, y)
représentera unefon tion d'amplitudede deux variablesréelles dans le plan artésien. Les amplitudes dans une image donnée peuvent être des nombresentiers ou réels. Il arrive que les mesures physiques produisent une image omplexe, ave
phase et amplitude. Dansla suite, nous nous limiteronsau as d'amplitudesréelles.
Une image digitale
I[m, n]
dé rite dans un espa e dis ret de dimension 2 est dérivée d'une imageI(x, y)
dans unespa e2D
ontinue parun pro essusd'é hantillonnagequel'on désigne fréquemment par le terme numérisation ou digitalisation. L'image ontinueI(x, y)
est diviséeennl
rangéesoulignesetnp
olonnes.L'interse tiond'uneligneetd'une olonne estdénomméepixel.Lesvaleursae téesaux oordonnées[p, l]
ave p∈ {0, 1, 2, ..., np−1}
et l∈ {0, 1, 2, ..., nl−1}
sontI[p, l]
.DanslapratiqueI(x, y)
onsidérée ommelesignalreçupar le apteur est une fon tionànombreuses variables,telles quelaprofondeur (β
),lalongueur d'onde (λ
) et le temps (t
). Formellement,I
s'é ritI(x, y, β, λ, t)
. Sauf ex eption expli ite, nous onsidérerons seulement le as d'image 2D
où seules les valeurs radiométriques sont prises en ompte.Cependant, il existe des valeurs standards pour les diérents paramètres ren ontrés
en traitement d'image. Elles prennent leurs origines des spé i ations algorithmiques, des
ontrainteshardwareoudesstandardsvidéo.LetableauTAB.4.8,page81endonnequelques unes.
Paramètre Symbole Valeurs typiques
Lignes
nl
256, 512, 525, 576, 625, 720, 1024, 1080Colonnes
np
256, 512, 768, 1024, 1920Niveaux