Au chapitre 2, nous avons discuté de la capacité classique sur un espace métrique com- pact et plus particulièrement dans la section 4 du cas où X := T. Dans cette section, nous présentons la capacité sous l’angle de la convolution. Cette façon de présenter les choses présentera une famille un peu différente de capacités dites "classiques" compa- rativement à la définition originale.
Considérons donc k : T → (0, ∞] un noyau tel que • k ∈ L1(T) ;
• k(ζ) = k(¯ζ) ;
• l’application θ 7→ k(eiθ) est finie et convexe sur (0, 2π).
Nous nous intéressons encore une fois au noyau de Riesz-Bessel kα := |1−ζ|1 α pour 0 < α < 1 et au noyau logarithmique k0(ζ) := log
2 |1−ζ|
. Pour 0 < δ < π, on définira kδ sur [0, 2π) comme étant le plus petit noyau en chaque point convexe tel que
kδ(eiθ) = k(eiθ) pour θ ∈ [δ, 2π − δ]. En particulier, comme k est un noyau, il suit que
kδ(eiθ) ≤ k(eiθ) pour θ ∈ [0, δ) ∪ (2π − δ, 2π). De plus, comme kδ est convexe, il suit que
kδ est une fonction affine sur [0, δ] et que la pente de cette droite est égale à la dérivée
à droite de k(eiδ). Remarquons finalement que pour chaque ζ ∈ T, k
δ(ζ) → k(ζ) quand
δ → 0. Nous sommes maintenant en mesure de commencer.
Définition 3.4.1. Soit µ ∈ M+(T). Le potentiel de µ par rapport à k est la fonction
pk,µ(ζ) := (k ∗ µ)(ζ) =
Z
T
k(ζ ¯λ) dµ(λ) (ζ ∈ T).
Le potentiel satisfait en quelque sorte un principe du maximum.
Théorème 3.4.2. Le potentiel pk,µ est semi-continu inférieurement sur T et satisfait
sup
ζ∈T
pk,µ(ζ) = sup ζ∈suppµ
pk,µ(ζ). (3.3)
Démonstration. Soit (ζn)n≥1 une suite dans T telle que ζn → ζ0 ∈ T quand n → ∞.
Par le lemme de Fatou, on a lim inf n→∞ pk,µ(ζn) ≥ lim infn→∞ Z T k(ζn¯λ) dµ(λ) ≥ Z T k(ζ0λ) dµ(λ) = p¯ k,µ(ζ0),
donc le potentiel pk,µ est semi-continu inférieurement sur T. Pour montrer que
sup
ζ∈T
pk,µ(ζ) = sup ζ∈suppµ
pk,µ(ζ),
il suffit de montrer que pour chaque ζ0 ∈ T, on a pk,µ(ζ0) ≤ sup
ζ∈suppµ
pk,µ(ζ). Soit mainte-
nant δ > 0 et kδ tel que définie plus haut. Soit aussi ζ0 ∈ T \ suppµ et I = (eiα, eiβ) l’arc
de T \ suppµ contenant ζ0. Pour chaque eiθ ∈ suppµ, l’application t 7→ kδ(ei(t−θ)) est
convexe sur [α, β] et donc de même pour t 7→ pkδ,µ(e
it). Puisque une fonction convexe
sur un interval fermé atteint son maximum à au moins une des extrémités de l’interval, il suit que pkδ,µ(ζ0) ≤ sup ζ∈suppµ pkδ,µ(ζ) ≤ sup ζ∈suppµ pk,µ(ζ).
En faisant tendre δ → 0, on obtient pk,µ(ζ0) ≤ supζ∈suppµpk,µ(ζ), ce qui démontre le
Nous définissons maintenant la capacité au sens de de La Vallée Poussin.
Définition 3.4.3. Soit E ⊂ T un ensemble borélien. La capacité de E par rapport à
k est définie par
Ck(E) := sup{µ(E) : µ ∈ M+(T), µ est supportée sur E, pk,µ ≤ 1 sur E}.
Encore une fois, on dira qu’une propriété tient Ck-quasi-partout sur E si elle tient
partout sur E sauf sur un ensemble borélien de Ck-capacité nulle.
La définition, bien qu’elle semble loin de ce que nous avons fait pour la capacité classique sur un compact quelconque, est en fait seulement un point de vue différent du même objet. Un corollaire du théorème de Frostman viendra clarifier la situation et harmoniser notre conception de la capacité via ce qu’on définira comme l’énergie. Voici maintenant quelques résultats élémentaires sur ces capacités.
Théorème 3.4.4. (i) Si E ⊂ F , alors Ck(E) ≤ Ck(F ).
(ii) Ck(∅) = 0 et Ck(T) ≤ kkk11.
(iii) Ck est une capacité intérieurement régulière.
(iv) Si (En)n≥1 est une suite de sous-ensembles boréliens de T, alors CK(∪n≥1En) ≤
P
n≥1Ck(En).
Démonstration. (i) Ce résultat est trivial.
(ii) Il est clair que Ck(∅) = 0. Aussi, si pk,µ ≤ 1 sur T, alors kpk,µk1 ≤ 1. Comme
kpk,µk1 = kk ∗ µk1 = kkk1µ(T),
on conlut que µ(T) ≤ kkk11 et Ck(T) ≤ 1 kkk1. (iii) Il est clair par définition que
Ck(E) = sup K⊂E Kcompact
Ck(K),
bref Ck est une capacité intérieure.
(iv) Posons E := ∪n≥1En. Soit µ ∈ M+(T) une mesure supportée sur E telle que
pk,µ ≤ 1 sur E et fixons > 0. Par régularité de la mesure, pour chaque n il existe
un sous-ensemble compact Kn de En tel que µ(Kn) > µ(En) −2n. Soit maintenant µn
une mesure définie par µn(A) := µ(A ∩ Kn). On a que µn est supportée par En et que
pk,µn ≤ pk,µ≤ 1 sur En. Il suit donc que µn(Kn) ≤ Ck(En) et donc
µ(E) ≤ X n≥1 µ(En) = X n≥1 (µ(Kn) + 2−n) = X n≥1 µn(Kn) + ≤ X n≥1 Ck(En) + .
Comme était arbitraire, on a que µ(E) ≤ P
n≥1Ck(En). Comme ceci tient pour chaque
µ ∈ M+(T) supportée sur E où pk,µ≤ 1 sur E, le résultat suit.
Nous sommes maintenant près à définir la k-énergie de µ. La définition sera analogue à celle donnée au chapitre 2, mais son lien avec la capacité définie au sens de la Vallée Poussin semblera beaucoup moins clair. Un peu plus loin dans cette section, nous serons cependant en mesure d’établir le même lien entre énergie et capacité que celui défini au chapitre 2.
Définition 3.4.5. Soit µ ∈ M+(T). La k-´energie de µ est définie par
Ik(µ) := Z T Z T k(ζ ¯λ) dµ(λ)dµ(ζ) = Z T pk,µdµ.
L’´energie d’un sous-ensemble borélien E ⊂ T est quant à elle définie par
Ik(E) := inf{Ik(µ) : µ ∈ M+(T), µ est supportée par E, µ(E) = 1}.
Il est possible que la k-énergie de µ sur T soit infinie, comme c’est le cas si k(1) = ∞ et
µ est une mesure de Dirac concentrée au point 1. De plus, il est possible que l’énergie
de E soit infinie, par exemple si E est un singleton et k(1) = ∞.
Comme nous travaillons avec les produits de convolutions, il paraît naturel d’étudier l’énergie via les coefficients de Fourier de k et de µ. Le prochain théorème fait ce lien. Théorème 3.4.6. (i) ˆk(n) = ˆk(−n) ≥ 0 pour chaque n ≥ 0.
(ii) Si µ ∈ M+(T), alors Ik(µ) = X n∈Z ˆ k(n)|ˆµ(n)|2 = ˆk(0)|ˆµ(0)|2+ 2X n≥1 ˆ k(n)|ˆµ(n)|2. (3.4)
Démonstration. Écrivons k(θ) pour k(eiθ). Remarquons que pour k ∈ L1(T) quelconque
et n ≥ 1, on a
i(ˆk(n) − ˆk(−n)) = i
2π
Z 2π
0
k(t)(e−int− eint) dt = 1
π
Z 2π
0
k(t) sin(nt) dt.
Comme ici k est un noyau, k est en particulier pair. Ainsi, la fonction k(t) sin(nt) est impaire et de période de 2π, donc 1πR2π
0 k(t) sin(nt) dt = 0, ce qui donne que ˆk(n) =
ˆ
Il faut maintenant montrer que tous les coefficients de Fourier sont positifs. Supposons d’abord que k est continu et fini. Comme k est positif, on a ˆk(0) ≥ 0. Soit n ≥ 1.
Rappelons que k est une fonction paire. Comme ˆk(n) = ˆk(−n), on a
ˆ k(n) = ˆ k(n) + ˆk(−n) 2 = 1 2π Z 2π 0 k(t) e int+ e−int 2 ! dt = 1 2π Z 2π 0 k(t) cos(nt) dt = − 1 2πn Z 2π 0 k0(t) sin(nt) dt = − 1 2πn 2n−1 X j=0 Z (j+1)π/n jπ/n k0(t) sin(nt) dt = − 1 2πn Z π/n 0 2n−1 X j=0 (−1)jk0(t + jπ/n) sin(nt) dt.
Comme k est convexe sur [0, 2π] par définition, il suit que k0(t) est croissante et donc la somme dans la formule précédente est négative. Ainsi, ˆk(n) ≥ 0. Pour le cas général,
il suffit de remarquer que par le théorème de convergence dominée, on a ˆkδ(n) → ˆk(n)
quand δ → 0.
(ii) Supposons d’abord que k est C1 par morceaux autour de 0. Dans cette situation, le noyau k est égal à sa série de Fourier autour de 0. En particulier, on aP
n∈Z|ˆk(n)| =
P
n∈Zk(n)kˆ δ(0) < ∞, donc la série de Fourier est absolument convergente. Ainsi,
Ik(µ) = Z Z k(s − t) dµ(s)dµ(t) = Z Z X n∈Z ˆ k(n)ein(s−t)dµ(s)dµ(t) = X n∈Z ˆ k(n)|ˆµ(n)|2.
Pour k quelconque, considérons kδ. Puisque kδ est linéaire par morceaux proche de 0,
on peut appliquer le résultat précédent et obtenir
Ikδ(µ) =
X
n∈Z
ˆ
kδ(n)|ˆµ(n)|2. (3.5)
Lorsque δ décroît vers 0, kδ croît en chaque point vers k, donc Ikδ(µ) → Ik(µ). De plus, si δ1 < δ2, alors kδ1 − kδ2 est aussi un noyau, donc dkδ1 −kdδ2 ≥ 0 pour chaque n. Ainsi, lorsque δ tend vers 0,ckδ croît vers ˆk(n). Il suffit donc de laisser tendre δ → 0 dans (3.5)
Nous montrerons maintenant que, comme dans le cas de l’énergie classique, l’infimum dans la définition d’énergie d’un borélien E est toujours atteint par une mesure si E est un compact. De plus, sous certaines hypothèses, cette mesure est unique.
Théorème 3.4.7. Soit E ⊂ T un ensemble compact. Alors, il existe une mesure µe∈
M+(E) telle que µ
e(E) = 1 et Ik(µe) = Ik(E). De plus, si Ik(E) < ∞ et ˆk(n) > 0 pour
chaque n ≥ 1, alors µe est unique.
Une telle mesure µe se nomme encore une fois une mesure d’équilibre pour E. Avant
de montrer le théorème, nous avons besoin d’un lemme.
Lemme 3.4.8. Soit (µn)n≥1 une suite de mesures de M+(T) qui converge faiblement*
vers une mesure µ. Alors, lim inf
n→∞ Ik(µn) ≥ Ik(µ).
Démonstration. Pour chaque δ > 0, la fonction (ζ, λ) 7→ kδ(ζ ¯λ) est continue sur T × T.
Ainsi, Ikδ(µn) → Ikδ(µ) quand n → ∞. Comme k ≥ kδ, il suit que lim infn→∞ Ik(µn) ≥
Ikδ(µ). Finalement, comme Ikδ(µ) → Ik(µ) quand δ → 0, le résultat suit.
Démonstration du théorème 3.3.7. Commençons par l’existence. Soit (µn)n≥1 une suite
de M+(T) telle que µ
n(E) = 1 et Ik(µn) → Ik(E). Par le théorème de Banach-Anaoglu,
il existe une sous-suite (µni)i faiblement*-convergente vers une mesure µe ∈ M
+(T). Il
est clair que µe(E) = 1 et donc Ik(µe) ≥ Ik(E). De plus, le lemme précédent montre
qu’en fait Ik(µe) ≤ Ik(E), bref µe est une mesure d’équilibre pour E.
Pour l’unicité, supposons que µe et νe soient deux mesures d’équilibre pour E. Pour
chaque entier n, on a |µce(n) +cνe(n)| 2+ | c µe(n) −cνe(n)| 2 = 2| c µe(n)|2+ 2|cνe(n)| 2 .
En utilisant l’égalité précédente, il suit que
Ik(µe+ νe) + Ik(µe− νe) = 2Ik(µe) + 2Ik(νe) = 4Ik(E). (3.6)
Comme la mesure µe+νe
2 est aussi une mesure de probabilité supportée par E, il suit
que son énergie est au moins Ik(E) et donc Ik(µe+ νe) ≥ 4Ik(E). Comme Ik(E) < ∞,
il suit par (3.4) et (3.6) que
Ik(µe− νe) = X n∈Z ˆ k(n)|µce(n) −cνe(n)| 2 ≤ 0.
Par hypothèse, ˆk(n) > 0 pour chaque n ≥ 1 et ˆk(n) = ˆk(−n). On a donc que ˆk(n) > 0
chaque n ∈ Z \ {0}. Remarquons aussi queµce(0) =cνe(0) = 1 puisque µe et νe sont des
mesures de probabilités et doncµce(n) =cνe(n) pour tout n ∈ Z. On a donc bel et bien
que µe= νe.
Tout comme pour la capacité classique définie sur un espace compact, il existe une version du théorème de Frostman pour la capacité classique définie via la convolution. Théorème 3.4.9 (Frostman). Soit E ⊂ T un ensemble compact tel que Ik(E) < ∞ et
soit µe sa mesure d’équilibre. Alors
(i) pk,µe ≤ Ik(E) sur T,
(ii) pk,µe = Ik(E) ν-p.p. pour chaque mesure ν ∈ M
+(T) telle que I
k(ν) < ∞.
Démonstration. Montrons d’abord que si ν ∈ M+(T) et I
k(ν) < ∞, alors pk,µe ≥ Ik(E)
ν presque partout sur E. Supposons le contraire. Pour > 0, posons F := {ζ ∈ E : pk,µe(ζ) ≤ Ik(E) − }.
Il existe donc > 0 tel que ν(F) > 0. Remarquons que F est compact puisque le
potentiel pk,µe est semi-continu inférieurement. Soit maintenant σ la mesure définie par
σ(A) := ν(A∩F)
ν(F) . Par construction, σ est une mesure de probabilité supportée par F. Pour t ∈ (0, 1), posons µt := (1 − t)µe + tν. Remarquons que la mesure µt est une
mesure de probabilité supportée par E. De plus, on a
Ik(µt) = (1 − t)2Ik(µe) + t2Ik(σ) + 2t(t − t)
Z
pk,µedσ ≤ (1 − t)2Ik(µe) + t2Ik(σ) + 2t(1 − t)(Ik(E) − )
= Ik(E) − 2t + O(t2) (t → 0).
Ainsi, si t > 0 est suffisamment petit, alors Ik(µt) < Ik(E), ce qui est absurde. Il suit
que pk,µe ≥ Ik(E) ν-presque partout sur E.
Il suffit maintenant de montrer (i) pour montrer le théorème. Soit > 0. Posons
G := {ζ ∈ suppµe : pk,µe(ζ) > Ik(E) + }.
Par ce qu’on a déjà montré, pk,µe ≥ Ik(E) µe-presque partout sur E. Ainsi,
Ik(E) =
Z
pk,µedµe≥ (Ik(E) + )µe(G) + Ik(E)µe(E \ G) = Ik(E) + µe(G) On a donc que µe(G) = 0. De plus, on a que G est ouvert dans suppµe car le potentiel
pk,µe est semi-continu inférieurement. Par la définition de support, il suit que G = ∅. Comme était quelconque, il suit que pk,µe ≤ Ik(E) sur suppµe. Finalement, par le principe du maximum (théorème 3.3.2), il suit que pk,µe ≤ Ik(E) partout sur T.
Nous sommes maintenant près à établir le lien entre capacité et énergie d’un ensemble.
Corollaire 3.4.10. Si E est un sous-ensemble borélien de T, alors
Ck(E) =
1
Ik(E)
.
Démonstration. Il suffit de montrer le résultat pour E compact : le cas pour E borélien
en découle directement. Montrons d’abord que Ck(E) ≥ I 1
k(E) et supposons que Ik(E) < ∞. Soit µe une mesure d’équilibre pour E et posons ν := Iµe
k(µe). Par le théorème de Frostman, pν ≤ 1 sur T. Ainsi, Ck(E) ≥ Iµe
k(µe) = 1
Ik(E).
Montrons maintenant l’inégalité inverse. Soit µ ∈ M+ telle que p
k,µ ≤ 1 sur E. On
a alors Ik(µ) =
R
pk,µdµ ≤ µ(E). Posons ν := µ(E)µ . La mesure ν est une mesure de
probabilité sur E, donc Ik(E) ≤ Ik(ν) = µ(E)Ik(µ)2. On a donc que µ(E) ≤ 1
Ik(E). Comme ceci tient pour chaque telle µ, il suit que Ck(E) ≤ Ik1(E).
Pour terminer cette section, nous établissons des conditions sur les coefficients de Fou- rier des noyaux pour que la L2-capacité soit égale à la capacité classique sur chaque
sous-ensemble borélien de T.
Théorème 3.4.11. (i) Si ˆk(n) ≤ |ˆl(n)|2 pour chaque n ∈ Z, alors, pour chaque sous-ensemble borélien de T, on a
Ck(E) ≥ Cl,2(E).
(ii) Si ˆk(n) ≥ |ˆl(n)|2 pour chaque n ∈ Z, alors, pour chaque sous-ensemble borélien de T, on a
Ck(E) ≤ Cl,2(E).
Démonstration. Comme les Boréliens sont L2-capacitables et que le théorème 3.3.4 (iii)
stipule que la capacité classique est intérieure, il suffit de traiter le cas où E est compact. Par le corollaire 3.3.10 et le théorème 3.3.7, on a
Ck(E)−1= inf{Ik(µ) : µ ∈ M+(E), µ(E) = 1}
= inf X n∈Z ˆ k(n)|ˆµ|2 : µ ∈ M+(E), µ(E) = 1 .
De plus, par le théorème 3.2.5, le théorème 3.2.3 et le théorème de Parseval, on a
Cl,2(E)−1 = cl,2(E)−2
= inf{kl ∗ µk22 : µ ∈ M+(E), µ(E) = 1} = inf X n∈Z |ˆl(n)|2|ˆµ|2 : µ ∈ M+(E), µ(E) = 1 .
Les deux énoncés du théorème suivent immédiatement des deux formules précédentes.
De ce théorème, on peut déduire que dans le cas du noyau de Riesz, la capacité classique
Ckα est controlée par la L
2-capacité C α+1
2 pour tous les sous-ensemble boréliens de T. Ce résultat s’avère important en pratique, mais avant de le déduire, montrons d’abord un lemme.
Lemme 3.4.12. Soit 0 < α ≤ 1. Alors |ˆkα(n)| 1+|n|11+α pour chaque n ∈ Z. De plus,
les constantes impliquées ne dépendent que de α.
Démonstration. Considérons d’abord le cas où α = 0. Remarquons qu’on a k0(ζ) =
< log(2/(1 − ζ)) et que la fonction log 2 1 − z = log 2 + X n≥1 zn n
appartient à H2(D). Ainsi, on a que ˆk
0(z) = 2|n|1 pour chaque n 6= 0 et ˆk(0) = log 2 >
0. En particulier, il suit que pour chaque n ∈ Z, on a |ˆk0(n)| 1+|n|1 . Supposons
maintenant que 0 < α < 1. Pour n ∈ Z, comme kα est un noyau, on a
ˆ kα(n) = 1 π Z π 0 cos(nt) (2 sin(t/2))α dt > 0.
De plus, comme (2 sin(t/2))−α−t−αest C1 sur [0, π], le comportement de ˆk
α(±n) quand
n → ∞ est donné par
ˆ kα(±n) = 1 π Z π 0 cos nt tα dt + O 1 n = 1 πn1−α Z nπ 0 cos u uα du + O 1 n = 1 πn1−α Z ∞ 0 cos u uα du + O 1 n = Mα n1−α + O 1 n , où Mα = 1π R∞ 0 cos u
uα du > 0 pour chaque α ∈ (0, 1). Il suit donc que |ˆkα(n)| 1+|n|1
1−α
En écrivant Cα et Cα,2 au lieu de Ckα et Ckα,2, le théorème et le lemme précédent nous donnent le corollaire suivant.
Corollaire 3.4.13. Soit 0 ≤ α < 1. Alors, pour chaque sous-ensemble borélien E de T, on a
Cα(E) Cα+1 2 ,2(E),
où les constantes impliquées ne dépendent que de α.