Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité 5 points

Partie A

1. On représente la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommetsZetZ:

Z Z

0,03

0,002

0,97 0,998

2. a. D’après le texte, on a :

½ an+1 = 0,97an+0,002bn

bn+1 = 0,03an+0,998bn

Autrement dit :¡

an+1 bn+1¢

=¡ an bn

¢×

µ0,97 0,03 0,002 0,998

¶

La matrice de transition de l’étatnà l’étatn+1 est doncM=

µ0,97 0,03 0,002 0,998

¶

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

3. Pour que l’objectif de la municipalité soit atteint, il faudrait que le pourcentage d’automobiles en ZTL soit ramené à la moitié de 40 % en deux ans, c’est-à-dire à 20 % en 24 mois. Donca24≈0,2171>0,20 donc l’objectif affiché par la municipalité ne sera pas atteint.

Partie B

Un réseau de navettes gratuites est mis en place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.

Le graphe ci-contre indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.

1. Sur ce graphe, c’est assez facile de trouver un itinéraire reliant le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites :

P – B – C – E – A – D – F – G Note du correcteur

Rechercher dans un graphe un trajet qui passe une et une seule fois par tous les sommets, c’est cher-cher un chemin hamiltonien ; cette notion n’est pas au programme de la spécialité en ES mais dans le graphe proposé ici, il n’y avait guère de difficulté pour répondre à la question.

Il n’existe pas – à ma connaissance – de condition nécessaire et suffisante pour qu’un graphe admette un chemin hamiltonien.

2. On cherche un chemin qui emprunte une et une seule fois toutes les voies et qui relie P à G, autre-ment dit un chemin eulérien.

Or, d’après le théorème d’Euler, il existe un chemin eulérien dans un graphe si et seulement si tous les sommets ou tous les sommets sauf 2 sont de degrés pairs. Tous les sommets de ce graphe sont de degrés impairs sauf F, donc il n’existe aucun itinéraire qui emprunte une et une seule fois toutes les voies.

3. On va déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G au moyen de l’algorithme de Dijkstra :

Polynésie 50 9 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

P A B C D E F G On garde

0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ P

9 P 8 P 4 C ∞ ∞ ∞ ∞ C

9 P 8 P ∞ ∞ ∞

7 C 13 C B

9 P 13 C ∞ ∞

13 B A

13 B 13 C ∞ ∞

14 A 15 A D

13 C

18 D 21 D E

18 D 21 D

23 E F

21 D

25 F G

Le chemin le plus rapide de P vers G est d’une durée de 21 minutes : P−→⁴ C−→³ B−→⁶ D−→⁸ G

Exercice 3 Commun à tous les candidats 5 points

Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises

1. La courbeC passe par le point E d’abscisse 0,6 ; graphiquement on voit que son ordonnée est approximativement de 0,3.

u(0,6)=0,6×0,6²+0,4×0,6=0,456 etv(0,6)=0,7×0,6³+0,1×0,6²+0,2×0,6=0,3072 Donc la courbeC est la représentation de la fonctionv, et donc la courbe représentative de la fonctionuestC′.

On a alors :

Filiale A B

Fonction u v

Courbe C^′ C

2. a. Pour avoir le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50 % des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires, on calculeu(0,5) que l’on exprimera en pourcentage.

u(0,5)=0,6×0,5²+0,4×0,5=0,35 donc 50 % des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale A se partagent 35 % de la masse salariale.

b. v(0,5)=0,7×0,5³+0,1×0,5²+0,2×0,5=0,2125 ; donc 50 % des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale B se partagent 21,25 % de la masse salariale.

Donc pour les 50 % des salariés ayant les plus bas salaires, c’est la filiale A qui distribue la plus grande part de la masse salariale.

c. D’après la question précédente, c’est la filière B qui semble avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire.

3. Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction f modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :

cf =2 µ1

2− Z₁

0 f(x) dx

¶

a. cu=2 µ1

2− Z₁

0 u(x)dx

¶

Une primitiveUde la fonctionusur[_{0; 1}]est définie par :

Polynésie 51 9 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

2 est la moitié de l’aire du carré de côté 1, donc c’est l’aire du domaine com-pris entre la droite d’équationy=x, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=0 et x=1 ; autrement dit1

2= Z₁

0 xdx.

Z₁

0 v(x)dx représente l’aire du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abs-cisses et les droites d’équationsx=0 etx=1.

2 représente l’aire du domaine hachuré sur le graphique ci-dessus.

c. L’aire du domaine hachuré est plus petite que 0,5 donccv6_1.

De plus,cv représente une aire donc est positive : 06_cv61 d. De la même manière, on prouverait que cu

2 est égal à l’aire du domaine hachuré dans le graphique ci-contre.

En comparant les aires, on en déduit que cu

Exercice 4 Commun à tous les candidats 5 points

On considère une fonctionPdéfinie et dérivable sur l’intervalle[_{0 ; 60}]_. On donne page suivante la courbe représentativeC de la fonctionP: Partie A

1. Autour dex=54, la fonctionPest décroissante donc le nombre dérivéP^′(54) est négatif.

2. D’après le graphique, la fonctionP est convexe sur l’intervalle[_{10; 30}]_.

3. Pour déterminer graphiquement les solutions de l’équationP(x)=10, on trace la droite d’équa-tiony=10.

Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbeC. Les solutions de l’équationP(x)=10 sont, à l’unité près, 30 et 58.

4. On noteAle nombre Z₁₀

0 P(x) dx; il correspond à l’aire du domaine hachuré sur le graphique.

Donc 60<A<70

Polynésie 52 9 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

|t]0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 C

Partie B

La fonctionPest définie sur l’intervalle[_{0 ; 60}]_{par :P(x)=6+(60−x)e}^0,1x−5

1. a. D’après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel,P^′(x)=(−0,1x+5)e^0,1x−5 Pour toutx, e^0,1x−5>0 doncP^′(x) est du signe de−0,1x+5 c’est-à-dire :

• strictement positif si−0,1x+5>0 soit sur[_{0; 50}[_;

• strictement négatif si−0,1x+5<0 soit sur]_{50; 60}]_. b. D’après la question précédente, on peut dire que :

• la fonctionPest strictement croissante sur[_{0; 50}]_;

• la fonctionPest strictement décroissante sur[_{50; 60}]_;

• la fonctionPadmet un maximum enx=50 qui vautP(50)=16.

2. P(0)≈6,4<10 etP(60)=6

On peut établir le tableau de variations de la fonctionPsur[_{0; 60}]_:

x 0 50 60

16 P(x)

≈6,4 6

10 x0

D’après ce tableau de variations, on peut dire que l’équationP(x)=10 admet une solution unique dans l’intervalle[_{0; 50}]_.

P(29) ≈ 9,8 P(30) ≈ 10,1

¾

=⇒x0∈[_{29; 30}] ^{P(29,7) ≈ 9,98}

P(29,8) ≈ 10,01

¾

=⇒x0∈[_{29,7; 29,8}] Donc 29,7 est une valeur approchée dex0à 0,1 près.

3. La fonctionP est convexe sur les intervalles sur lesquels sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée est croissante, ce qui correspond aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée seconde est positive.

D’après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel,P^′′(x)=(−0,01x+0,4)e^0,1x−5. P^′′(x)>0⇐⇒ −0,01x+0,4>0⇐⇒ 0,4>0,01x ⇐⇒ 40>x

Donc la fonctionPest convexe sur[_{0; 40}[et concave sur]_{40; 60}]_. Retour à la liste des corrigés

Polynésie 53 9 septembre 2015

[ Corrigé du baccalauréat ES/L – Antilles-Guyane \ septembre 2015

E

XERCICE

1 5 points

Commun à tous les candidats

1. Soit la fonctionf définie sur [1 ; 100] parf(x)=200lnx+10x, f^′(x) désigne la fonction dérivée de f. On a :

a. f^′(x)=200+1

x b. f^′(x)=200

x +10 c. f^′(x)=200+10x d. f^′(x)=200 x +10x La dérivée de la fonction ln estx7−→1

x.

2. On noteLune primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction ln. Cette fonctionLest : a. croissante puis décroissante

b. décroissante sur [0 ;+∞[ c. croissante sur [0 ;+∞[ d. décroissante puis croissante

La fonction ln est négative sur]_{0; 1}[puis positive donc n’importe laquelle de ses primitives est décroissante puis croissante.

3. La fonctiongdéfinie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=x−lnxest : a. convexe sur ]0 ;+∞[

b. concave sur ]0 ;+∞[

c. ni convexe ni concave sur ]0 ;+∞[ d. change de convexité sur ]0 ;+∞[ g(x)=x−lnxdoncg^′(x)=1−1

x et doncg^′′(x)= 1 x² g^′′(x)>0 sur]_0;+∞[_{, doncg}est convexe sur]_0;+∞[_.

4. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonctionh définie et dérivable sur [0 ;+∞[ ainsi que sa tangente au point A d’abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que :

a. h^′(2)=2 b. h^′(2)=1

2 c. h^′(2)=0 d. h^′(2)=1

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6

A

h^′(2) est le coefficient directeur de la droite tracée soit yA−yO

xA−xO =1 2.

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

5. La variable aléatoireX suit une loi normale d’espéranceµ=0 et d’écart typeσinconnu mais on sait queP(−10<X<10)=0,8. On peut en déduire :

a. P(X<10)=0,1 b. P(X<10)=0,2 c. P(X<10)=0,5 d. P(X<10)=0,9

Un petit dessin peut expliquer la réponse :

−10 10

80%

10%

10%

E

XERCICE

2 5 points

Candidats ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats L PARTIE A

1. On construit un arbre pondéré traduisant la situation :

A 0,4

0,85 C

1−0,85=0,15 C

B 1−0,4=0,6

0,95 C

1−0,95=0,05 C

2. L’événement « la pomme n’est pas commercialisable » est l’événementC.

D’après la formule des probabilités totales :

P(C)=P(C∩A)+P(C∩B)=P(A)×PA(C)+P(B)×PB(C)=0,4×0,15+0,6×0,05=0,06+0,03=0,09 3. Il s’agit, dans cette question, de comparerP_C(A) etP_C(B).

P_C(A)=P(A∩C) P(C) =0,06

0,09=2

3;P_C(B)=P(B∩C) P(C) =0,03

0,09=1 3

Donc le responsable des achats a raison quand il dit qu’une pomme non commercialisable a deux fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.

PARTIE B

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

Donc la variable aléatoireX qui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètresn=15 etp=1−0,09=0,91.

Antilles–Guyane 55 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

1. La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est : P(X=15)=

Ã15 15

!

0,91¹⁵0,09⁰≈0,243

2. La probabilité qu’au moins 14 pommes soient commercialisables est : P(X>14)=P(X=14)+P(X=15)=

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s’aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables.

n=200>30 ;np=200×0,09=18>5 etn(1−p)=200(1−0,09)=182>5

donc on peut déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de pommes non commercialisables :

I= La fréquence de pommes non commercialisables dans l’échantillon estf = 22

200=0,11.

f ∈Idonc le résultat est conforme à ce qu’on pouvait attendre.

E

XERCICE

2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables.

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables

et les distances sont en kilomètre. bb b b

b b

Pour faire son parcours, le cycliste décide qu’il procèdera selon l’algorithme ci-dessous : ligne 1 Marquer sur le plan tous les villages comme non « visités »

ligne 2 Choisir un village de départ

ligne 3 Visiter le village et le marquer « visité » ligne 4 Rouler vers le village le plus proche

ligne 5 Tant que le village où il arrive n’est pas un village déjà visité ligne 6 |visiter le village et le marquer « visité »

ligne 7 |rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière ligne 8 Fin Tant que

ligne 9 afficher la liste des villages visités

1. Le graphe est connexe, donc il y a au moins une arête qui part de n’importe quel sommet, et donc une arête de poids minimum qui part de ce sommet.

Antilles–Guyane 56 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

2. En partant du village G que l’on visite, on roule vers le village B (distance 10) que l’on visite, puis vers le village A (distance 14), enfin vers le village F (distance 30). De F, on ne peut se rendre que dans un village déjà visité, G ou A, donc G puisqu’on ne revient pas en arrière ; comme le village est déjà visité, on sort de la boucle « tant que ».

G7−→¹⁰ B7−→¹⁵ A7−→³⁰ F7−→²⁰ G

3. La question posée revient à chercher si, en suivant cet algorithme, on peut visiter les villages C, D et E avant le village G. La réponse est positive, il suffit de partir du village C :

C7−→²⁰ D7−→¹⁰ E7−→¹⁵ G7−→¹⁰ B7−→¹⁵ A7−→³⁰ F

4. Partir d’un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois, c’est chercher un cycle eulérien ou un chemin eulérien dans ce graphe.

D’après le théorème d’Euler, un graphe connexe admet un chemin eulérien si et seulement s’il possède exactement deux sommets de degrés impairs, et il possède des cycles eulériens si tous les sommets sont de degrés pairs.

sommet A B C D E F G

degré 2 4 2 4 2 2 4

Dans ce graphe, tous les sommets sont de degré pair, donc il existe au moins un cycle eulérien partant de chaque sommet.

Par exemple : AB – BC – CD – DB – BG – GD – DE – EG – GF – FA est un parcours partant de A et revenant à A, qui passe par les 10 pistes cyclables une et une seule fois.

Partie B

1. La matriceMde transition de ce graphe est :



On met un 1 à l’intersection de la ligneiet de la colonnejs’il y a dans le graphe une arête qui relie le sommet de la ligneiau sommet de la colonnej; sinon on met un 0.

Le terme en gras, ligneA, colonneF(valant 1), donne le nombre de chemins contenant 4 arêtes (la puissance de la matriceM) reliant le sommetAau sommetF; ce chemin estAB−BD−DG−GF.

E

XERCICE

3 4 points

Commun à tous les candidats

Un couple fait un placement au taux annuel de 2 % dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de 18 000 euros.

Le couple a placé le montant de 1 000 euros à l’ouverture le 1^erjanvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1^erjanvier, verse 2 400 euros.

Antilles–Guyane 57 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

1. Les 1 000 euros placés en 2010 à 2 % produisent 1000× 2

100=20 euros d’intérêt.

Le capital au 1^erjanvier 2011 après le versement annuel est 1000+20+2400=3420 euros.

2. On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d’années.

On donne ci-dessous trois algorithmes :

Variables : Variables : Variables :

Uest un nombre réel Uest un nombre réel Uest un nombre réel

ietNsont des nombres entiers ietNsont des nombres entiers ietNsont des nombres entiers

Entrée Entrée Entrée

Saisir une valeur pourN Saisir une valeur pourN Saisir une valeur pourN

Début traitement Début traitement Début traitement

Affecter 1 000 àU Pouride 1 àNfaire Affecter 1 000 àU

Pouride 1 àNfaire Affecter 1 000 àU

Affecter 1,02×U+2400 àU Pouride 1 àNfaire

| Affecter 1,02×U+2400 àU Affecter 1,02×U+2400 àU

AffecterN+1 àN

Fin Pour Fin Pour Fin Pour

AfficherU AfficherU AfficherU

Fin traitement Fin traitement Fin traitement

algorithme 1 algorithme 2 algorithme 3

a. PourN=5, on remplit le tableau avec les valeurs données par l’algorithme 1 :

valeur dei xxx 1 2 3 4 5

valeur deU 1 000 3 420 5 888,40 8 406,17 10 974,29 13 593,78

b. La valeur affichée par l’algorithme 1 pourN =5 est 13 593,78 ; c’est le montant du capital obtenu après versement annuel le 1^erjanvier 2010+5 soit 2015.

c. • Dans l’algorithme 2, on affecte 1 000 àUà l’intérieur de la boucle « pour » ; l’algorithme donnera donc toujours comme résultat 1,02×1000+2400=3420, quelle que soit la valeur deNentrée.

• Dans l’algorithme 3, on modifie la valeur deN à chaque tour de boucle ; cet algorithme ne s’arrêtera jamais.

3. À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2 %.

La somme présente sur le compte au 1^erjanvier 2015 est 13 593,78 euros, donc la somme présente sur le compte au 1^erjanvier 2016 est : 13593,78×1,02+2400≈16265,65 euros.

À partir de 2016, le compte rapporte 2 % et il n’y a plus de versement annuel ; donc pour passer d’une année à la suivante, il faut augmenter la somme de 2 % donc multiplier par 1,02.

Si on appelleSn la somme présente sur le compte le 1^erjanvier de l’année 2016+n, on a donc : Sn+1=1,02×Sn. La suite (Sn) est donc une suite géométrique de raisonq=1,02 et de premier termeS0=16265,65 ; on a donc pour tout entier natureln,Sn=S0×qⁿ=16265,65×1,02ⁿ. On cherche alors une valeur entière dentelle que 16265,65×1,02ⁿ>18000 :

16265,65×1,02ⁿ>_{18000 ⇐⇒ 1,02}ⁿ> ¹⁸⁰⁰⁰ 16265,65

⇐⇒ ln(1,02ⁿ)>ln 18000

16265,65 croissance de la fonction ln

⇐⇒ nln(1,02)>ln 18000

16265,65 propriété de la fonction ln

⇐⇒ n>

ln 18000 16265,65

ln(1,02) car ln(1,02)>0

Or

ln 18000 16265,65

ln(1,02) ≈5,14 donc l’objectif sera atteint pourn=6 soit au 1^erjanvier 2022.

Antilles–Guyane 58 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

E

XERCICE

4 6 points

Commun à tous les candidats

L’évolution de la population d’une station balnéaire pour l’été 2015 a été modélisée par une fonctionf, définie sur l’intervalle [0 ; 70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Lorsquexest le nombre de jours écoulés après le 1^erjuillet,f(x) désigne la popula-tion en milliers d’habitants.

Ainsi x=30 correspond au 31 juillet et f(30) représente la population qu’il est prévu d’accueillir le 31 juillet.

On estime qu’un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55 litres d’eau par

jour. 2

4 6 8 10

10 20 30 40 50 60 70

0 2 4 6 8 10

0 10 20 30 40 50 60 70

nombre de jours milliers d’habitants

17 8

Partie A

1. a. D’après le graphique, le maximum de la fonctionf estf(40)=10.

Le nombre 40 correspond au 10 août, et 10 correspond à 10 000 habitants.

Le nombre maximum d’habitants est donc de 10 000 et est atteint le 10 août.

b. Chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d’eau ; donc 10 000 habitants consommeront entre 450 000 et 550 000 litres au maximum.

Comme la commune peut fournir 600 000 litres d’eau par jour, c’est suffisant pour la journée la plus chargée, donc pour toutes les autres.

2. Le maximum d’habitants prévus est 10 000 donc 80 % du maximum est égal à 8 000 habitants.

Chercher le nombre de jours durant lesquels le nombre d’habitants est supérieur à 80 % du nombre maximal prévu, revient à résoudre sur l’intervalle[_{0 ; 70}]l’inéquationf(x)>8 (voir graphique).

f(x)>8 sur l’intervalle[_{17 ; 70}], soit pendant 53 jours.

Partie B

On admet que la fonctionf est définie sur l’intervalle [0 ; 70] parf(x)=2+0,2xe^−0,025x+1 1. f(9)=2+0,2×9×e^{−0,025×9+1}≈5,90706

x=9 correspond au 10 juillet ; il y a une estimation de 5,907×1000=5907 habitants à cette date.

Chaque habitant consomme au maximum 55 litres, donc la consommation d’eau maximale le 10 juillet sera de 5907×55≈324885 litres que l’on peut majorer par 324890 litres.

2. a. La fonctionf est dérivable surRdonc sur[_{0; 70}]_{et :}

f^′(x)=0,2×1×e^−0,025x+1+0,2x×(−0,025)e^−0,025x+1=(0,2−0,005x)e^−0,025x+1 b. Pour toutxréel, e^−0,025x+1>0 doncf^′(x) est du signe de 0,2−0,005x.

0,2−0,005x>0⇐⇒ 0,2>0,005x ⇐⇒ 0,2

0,005>x ⇐⇒40>x

x 0 40 70

0,2−0,005x +++ 0 −−−

f^′(x) +++ 0 −−−

Antilles–Guyane 59 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

c. D’après le signe de sa dérivée, la fonction f est croissante sur [_{0 ; 40}], puis décroissante sur[_{40 ; 70}]; elle atteint donc un maximum pourx=40. Cette valeur dexcorrespond au 10 août et à un maximum de population dans la station, donc à un maximum de consommation d’eau.

Partie C

On notegla fonction définie sur l’intervalle [0 ; 70] parg(x)=55f(x)=110+11xe^−0,025x+1

Lorsquex est le nombre de jours écoulés après le 1^erjuillet, g(x) représente alors la consommation maximale d’eau prévue ce jour là et exprimée en m³.

Soit la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [0 ; 70] parG(x)=110x−(440x+17600)e^−0,025x+1 On admet que la fonctionGest une primitive de la fonctiong.

La sommeS=g(10)+g(11)+g(12)+ ··· +g(20) représente la consommation maximale d’eau du 10^eau 20^ejour exprimée en m³.

1. g(10)=g(10)×1 est l’aire d’un rectangle de largeur 1 et de longueurg(10) ; doncS=g(10)+g(11)+ ...+g(20) est la somme des aires des 11 rectangles représentés sur l’annexe en page??.

2. La fonctiongest strictement positive sur[_{0; 70}]donc l’aire du domaine défini par la courbeC_g, l’axe des abscisses, et les droites d’équationsx=10 etx=21 estI=

Z₂₁

10 g(x)dx.

L’aireIde ce domaine est une valeur approchée de la sommeS. La fonctionGest une primitive de la fonctiongdonc :

I= Z₂₁

10 g(x)dx=G(21)−G(10)≈ −40849,10−(−45474,00)≈4624,90

La quantité d’eau consommée du 10^eau 20^ejour est donc approximativement de 4 625 m³.

Antilles–Guyane 60 septembre 2015

Baccalauréat ES/L : l’intégrale 2015 des corrigés A. P. M. E. P.

Dans le document [ Corrigés du baccalauréat ES/L 2015 \ L’intégrale d’avril à juin 2015 (Page 49-61)