Calibration des paramètres de raideur et de la longueur de transi-

transition du pourtour

Nous réalisons la calibration des paramètres de raideur et de la longueur de transition

du pourtour à partir du chargement monotone des anneaux sollicités en traction 2 points.

Cette configuration est plus riche du point de vue des non-linéarités géométriques et le

modèle présente plus de degrés de liberté en traction 2 points qu’en traction 4 points.

Formulation du problème de minimisation

Nous désirons reproduire le comportement en traction 2 points d’un anneau réel à

l’aide de la formulation analytique développée section 3.3. Le déplacement axial δ est

imposé en un point de l’anneau, celui-ci se déforme et développe des efforts de réaction. La

calibration doit donc tenir compte de ces deux réponses : la cinématique de déformation et

les efforts de réaction. Concernant les efforts de réaction, nous nous intéressons à la force

de traction axiale F. Concernant la cinématique de déformation, nous nous intéressons

à la longueur de la diagonale d, celle-ci caractérise entièrement l’ovalisation de l’anneau

lorsque le déplacement axial est imposé. Nous définissons dans ce but les deux fonctions

objectif suivantes :

S

F

(θ) = kF

e

−F

a

(θ)k

²2

(3.24)

S

d(

θ) = kd

e

−d

a

(θ)k

²2

(3.25)

Afin de simplifier la minimisation, la longueur de transition des bords s

r

est considérée

comme un paramètre n’appartenant pas à l’ensemble des paramètresθ et est choisie dans

un intervalle [s

inf

r

;s

sup

r

] parcouru avec un pas∆s

r

. Le problème de minimisation est alors

résolu pour toutes les valeurs de s

r

dans l’intervalle et la valeur minimale des fonctions

objectif parmi l’ensemble des résultats sera retenue afin d’obtenir les paramètres optimaux

(s

∗

r

,θ

^∗

). Le vecteur paramètre est alors θ= (k

b

,k

t

,k

d)>

.

Les fonctions objectif (3.24) et (3.25) ne sont pas des applications linéaires du vecteur

paramètre θ. Nous utilisons la méthode des moindres carrés non-linéaires de

Levenberg-Marquardt (LM) [Levenberg, 1944,Levenberg-Marquardt, 1963] afin de les minimiser. Cette méthode

consiste à résoudre le problème non-linéaire initial en le remplaçant par une suite de

problèmes quadratiques résolus de façon itérative. A l’itération courante n, la grandeur

analytique étudiée est linéarisée X

a

=X

ⁿ_a

+J

ⁿ

∆θ

ⁿ

et introduite dans l’équation (3.23).

Nous obtenons alors les équations normales de la méthode de Gauss-Newton (3.26).

J

^n>

J

ⁿ

∆θ

ⁿ

=J

^n>

(X

e

−X

ⁿ_a

) (3.26)

La résolution de ces équations peut devenir problématique dans le cas où la matrice

J

^n>

J

ⁿ

est mal conditionnée, en particulier, la condition de descente de l’algorithme

n’est pas toujours garantie. Levenberg [Levenberg, 1944] puis Marquardt [Marquardt,

1963] proposent d’introduire un terme d’amortissement diagonal qui permet d’améliorer

le conditionnement de cette matrice. Marquardt introduit un paramètre d’amortissement

λ

n

> 0, qu’il applique à la partie diagonale de la matrice J

^n>

J

ⁿ

, définissant ainsi le

système d’équations de Levenberg-Marquardt :

J

^n>

J

ⁿ

+λ

ⁿ

diag J

^n>

J

ⁿ

∆θ

ⁿ

=J

^n>

(X

e

−X

ⁿ_a

) (3.27)

Dans le cas où l’algorithme ne parvient pas à trouver une plus faible valeur de la

fonc-tion objectif, le facteur d’amortissement λ

n

est augmenté. La direction de descente se

rapproche alors de celle du gradient et le pas diminue, garantissant ainsi la diminution

de la fonction objectif. L’équation (3.27) est résolue pour ∆θ

ⁿ

, le vecteur paramètre est

actualisé θ

ⁿ⁺¹

=θ

ⁿ

+ ∆θ

ⁿ

et le processus est poursuivi jusqu’à convergence vers un

mi-nimum de la fonction objectif. Étant donné que les problèmes non quadratiques peuvent

avoir plusieurs minima, la résolution est effectuée pour différents points de départ θ

⁰

qui

convergent vers différentes valeurs deθ

^∗

. La valeur minimale de la fonction objectif ainsi

que l’ensemble de paramètres optimaux correspondant sont obtenus en retenant la valeur

minimale parmi les minima explorés.

Intuitivement, il semble peu probable que l’ensemble optimal (s

∗

r

,θ

^∗

)

_F

minimisant la

fonction S

F

et l’ensemble optimal (s

∗

r

,θ

^∗

)d minimisant la fonction S

d

soient identiques.

En d’autres termes, les paramètres qui fournissent le comportement optimal du modèle

en terme d’efforts sont possiblement très différents des paramètres fournissant le

com-portement optimal du modèle en terme de déformation. La calibration par rapport à une

grandeur peut donner de très mauvais résultats sur l’autre. Ce résultat peut être aisément

vérifié à partir de données expérimentales. Nous disposons de la mesure de l’effort axial

F et de la longueur de la diagonaled pour un anneau soumis à un chargement monotone

de traction 2 points piloté en déplacement axialδ. Plus de détails sur la réalisation de ces

essais et l’obtention des résultats sont donnés en section 3.5. Nous appliquons la méthode

de Levenberg-Marquardt sur les deux fonctions objectif S

F

etS

d

, nous obtenons ainsi les

paramètres optimaux(s

^∗_r

,θ

^∗

)F et(s

^∗_r

,θ

^∗

)dainsi que les valeurs des deux fonctions objectifs

associées à ces paramètres. Nous déterminons également l’ensemble des valeurs possibles

de ces fonctions objectifs. Ces valeurs sont obtenues à l’aide d’un tirage homogène de

1 000 000 valeurs de paramètres choisies sur une plage estimée à partir des valeurs

opti-males des paramètres minimisantS

_F

etS

_d

. Toutes les valeurs des fonctions objectif ainsi

obtenues sont tracées dans l’espace des objectifs (Figure 3.8).

Nous observons d’abord, et de façon claire, de fortes différences entre les valeurs

des fonctions objectifs issues de la minimisation sur l’effort axial (3.24) et sur la

lon-gueur transversale (3.25). Les paramètres fournissant le comportement optimal en effort

fournissent un très mauvais comportement en longueur diagonale et réciproquement :

S

F

(s

^∗_r

,θ

^∗

)d S

F∗

et S

d(

s

^∗_r

,θ

^∗

)F S

d∗

. Par ailleurs, nous observons également que

parmi l’ensemble des solutions, il en existe de nombreuses pour lesquelles il est possible

Figure^{3.8 – Ensemble des valeurs des fonctions objectif et valeurs optimales pour chaque}

objectif dans l’espace des objectifs

de fortement diminuer l’une des fonctions objectif sans beaucoup augmenter l’autre. Par

conséquent, il apparait impératif de définir une stratégie de minimisation multicritère

tenant compte des deux grandeurs F et d. Les notions et les méthodes d’optimisation

multicritère employées ci-après sont issues de [Colette and Siarry, 2002, Ehrgott, 2005].

Il existe pour les problèmes d’optimisation multicritère un ensemble de solutions

opti-males dites non-dominées, appelées solutions de Pareto. Il n’existe pas de solution qui soit

meilleure sur tous les objectifs qu’une solution de Pareto. Dans notre cas (Figure 3.8), les

solutions de Pareto forment la frontière inférieure gauche de l’ensemble des valeurs des

fonctions objectif déterminées. Nous ne pouvons néanmoins nous contenter d’un ensemble

de solutions optimales et devons arbitrer afin de définir une solution unique et

détermi-niste à notre problème multicritère. Nous utilisons une méthode scalaire d’approximation

de la solution idéale. Le point idéal est défini comme le point dont les coordonnées dans

l’espace des objectifs sont les valeurs optimales de chaque fonction objectif prise

sépa-rément, soit dans notre cas P

I

= (S

F∗

,S

d∗

). Lorsque les objectifs sont contradictoires,

ce point n’est pas atteignable, nous cherchons donc la solution la plus proche du point

idéal parmi les solutions possibles P(θ) = (S

F

(θ),S

d(

θ)). La distance entre ces deux

points est définie à partir d’une norme. Nous choisissons la norme k · k

1

pour des raisons

de simplicité, toutes les normes étant équivalentes en dimension finie. Étant donné que

l’effort axial F et la longueur de la diagonale d ne sont pas des grandeurs homogènes,

nous utilisons une distance relative, obtenue en normalisant chaque fonction objectif par

sa valeur optimale. La distance à minimiser s’exprime alors :

d

1

P

^I

,P(θ)

=

S

F

(θ)−S

F∗

S

_F^∗

^,

S

d(

θ)−S

d∗

S

_d^∗

1

(3.28)

Minimiser la distance (3.28) est équivalent à minimiser la fonction S

F d

(Équation 3.29).

La calibration des paramètres de raideur du modèle d’anneau est donc effectuée en

mini-misant la fonction scalaire multicritère S

_{F d}

:

S

_{F d}

(θ) = ^S

^F

^(θ)

S

F∗

+ ^S

^d(

^θ)

Nous appliquons la méthode de Levenberg-Marquardt (LM) à la fonction objectif

S

F d

pour les mêmes données expérimentales que celles présentées Figure 3.8. Le tracé

des valeurs obtenues dans l’espace des objectifs normalisé est présenté Figure 3.9. Nous

observons que la minimisation de la fonction objectif (3.29) nous permet de nous

rappro-cher très fortement du point idéal et de demeurer dans le même ordre de grandeur que

la solution idéale sur chacun des objectifs pris séparément.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

S

F

/S

F^∗

S

^d

/S

d ∗

Ensemble des valeurs des fonctions objectif Point id´eal

Valeur issue de la minimisation deSF d

Figure ^{3.9 – Point idéal et valeurs optimales issues de la minimisation multicritère}

Calcul des paramètres

Les détails de l’application et de l’implémentation de la méthode de

Levenberg-Marquardt aux fonctions objectifs (3.24), (3.25) et (3.29) sont maintenant présentés.

La minimisation de S

_{F d}

requiert la connaissance des valeurs de S

_F^∗

et S

_d^∗

et donc la

minimisation de (3.24) et (3.25). La minimisation de ces deux fonctions objectif se fait à

l’aide de l’algorithme de Levenberg-Marquardt (3.27), nous devons donc déterminer pour

un ensemble θ de paramètres donné, les valeurs analytiques et les matrices Jacobiennes

des grandeursF et d.

Calcul de S

_F^∗

Dans un premier temps, S

_F^∗

est calculé. Les valeurs analytiques de

l’effort de traction axiale F

a

sont obtenues en résolvant la relation force-déplacement

implicite (3.18) à l’aide de la méthode de Brent [Brent, 1973]. La matrice Jacobienne

de F

a

, notée J

F

, est déterminée analytiquement à partir du théorème des fonctions

implicites. Une fois F

a

et J

F

connus, la valeur minimale S

F∗

est déterminée à l’aide de

l’algorithme LM (3.27).

Calcul de S

d∗

Dans un second temps, S

d∗

est calculée. Les valeurs analytiques de la

longueur de la diagonale d

a

sont obtenues directement à partir de l’équation (3.19), en

notée J

d

, est obtenue en calculant directement ses dérivées partielles. Il est intéressant

de noter que F n’est pas une variable indépendante dans l’équation implicite (3.19),

par conséquent, les dérivées partielles de F, obtenues à travers le calcul de J

F

détaillé

précédemment, interviennent dans le calcul de J

d

. De même que pour S

_F^∗

, la valeur

optimale S

d∗

est déterminée à l’aide de l’algorithme LM (3.27).

Calcul de S

F d∗

Une fois les valeurs minimales S

F∗

et S

d∗

obtenues, la fonction S

F d

(3.29) est minimisée de façon similaire. En utilisant les propriétés de linéarité du gradient,

les équations de Levenberg-Marquardt appliquées à la fonction objectif multicritère S

F d

deviennent (en omettant le marqueur de l’itération n) :

J

F>

J

F

S

F∗

+ ^J

^d >

J

d

S

d∗

+λdiag

J

F>

J

F

S

F∗

+^J

^d >

J

d

S

d∗

∆θ = ^J

^F >

(F

e

−F

a

)

S

F∗

+^J

^d >

(d

e

−d

a

)

S

d∗

(3.30)

et ont pour solution le vecteur paramètre optimal θ

^∗

= (k

_b^∗

,k

^∗_t

,k

_d^∗

)

^>

. Nous obtenons ainsi

l’ensemble des valeurs optimales (s

∗

r

,k

∗ b

,k

∗

t

,k

∗

d

) à l’exception de k

∗

s

. En effet, la raideur

des liaisons de bord k

s

n’apparait pas dans les équations de chargement monotone en

traction 2 points, nous utilisons donc une configuration de chargement supplémentaire

pour déterminer la valeur optimale k

∗

s

à partir des données de chargement monotone

uniquement. La valeur optimale du paramètre de raideur des liaisons de bord est donnée

par (3.31) oùδ

2P

r

représente le déplacement axial à l’état de transition en traction 2 points

(Figure 3.7a). La relation (3.31) est démontrée en annexe B.3.

k

^∗_s

= 2k

^∗_b

φ−s

0

+δ

2P r ∗

φ+s

0

+δ

2P r ∗

−2s

∗ r

−1

(3.31)

Dans le document Modélisation numérique discrète du comportement mécanique sous impact des structures d'écrans de filets pare-pierres (Page 85-89)