Pour la plupart des modèles présentés dans la section 4 (y compris les modèles à base physique), la modélisation passe obligatoirement par la calibration des para- mètres et leur validation par rapport aux débits observés. Avant de sélectionner un jeu de paramètres, nous devons définir une fonction objectif qui permet de quanti- fier la performance du modèle. Il existe différentes fonctions objectif dont le choix dépend du phénomène que l’on étudie et de l’objectif de modélisation. Ainsi il existe différents critères de calibration qui permettent de se focaliser sur les débits élevés ou le débit de pointe ou encore le temps d’arrivée du pic de crue. Ceci permet d’adapter le modèle hydrologique aux besoins des prévisionnistes ou des chercheurs.
Quelques fonctions objectif fréquemment utilisées par les hydrologues sont pré- sentées ici. Toutes les fonctions ci-dessous sont calculées à partir d’un hydrogramme observé et un hydrogramme simulé, à l’exception des critères sur le débit de pointe et son temps d’arrivée qui ne sont calculés qu’à partir de la valeur et du temps d’arrivée de ce dernier. F Le biais B = 1 n n X j=1 (Qsim,j− Qobs,j). (2.3)
n est le nombre de pas de temps sur l’hydrographe, Qsim,j est le débit
simulé au pas de temps j et Qobs,j est le débit observé. Le biais mesure
l’écart moyen entre les observations et le débit simulé, sa valeur optimale est donc 0. Le biais donne une idée de l’erreur moyenne sur les débits. Il n’est pas normalisé par rapport aux observations. Ce critère est donc difficile à interpréter sans comparaison avec les mesures de débit et la compensation des erreurs dans son calcul peut cacher certaines erreurs du modèle. Nous pouvons aussi définir le biais comme le ratio entre la somme des débits simulés et la somme des débits observés comme dans Coustau (2011). Le calcul d’un ratio facilite l’interprétation, mais le critère est sujet toutefois à la compensation des erreurs.
F L’erreur quadratique moyenne RMSE (Root Mean Squared Error).
RM SE = v u u t 1 n n X j=1 (Qsim,j − Qobs,j)2, (2.4)
La valeur optimale de la RMSE est zéro, ce qui signifie aucune différence entre les observations et la simulation. La RMSE élimine la compensation des erreurs présente dans le biais avec le calcul d’une erreur quadratique, mais l’erreur n’est pas normalisée rendant la comparaison de RMSE entre deux bassins versants différents difficile.
F La corrélation
R2 =
Pn
j=1[(Qobs,j− ¯Qobs)(Qsim,j −Q¯sim)]2
Pn
j=1(Qobs,j− ¯Qobs)2Pnj=1(Qsim,j −Q¯sim)2
. (2.5)
¯
Qobs est la moyenne des débits observés et Q¯sim est la moyenne des
débits simulés. Le coefficient de déterminationR2 permet de voir si l’hy- drogramme simulé suit l’évolution de l’hydrogramme observé. Sa valeur
optimale est 1. Il ne mesure pas de manière directe l’écart entre les ob- servations et la simulation.
F Le critère de Nash (Montanari et al., 2009; Nash et Sutcliffe, 1970).
IE = 1 − P j(Qsim,j − Qobs,j)2 σ2 obs , (2.6)
σobs est l’écart type des observations. Le critère de Nash mesure l’écart
quadratique entre la simulation et l’observation, normalisé par la va- riance des observations. Ce critère varie entre −∞ et 1, avec la valeur optimale égale à 1. La forme quadratique de cette fonction donne un poids plus important aux grands écarts de débit produits normalement pendant les périodes de hautes eaux. Des variations de cette formulation qui donnent un poids plus important aux débits faibles et moyens sont également possibles. Le critère de Nash est une des fonctions objectif les plus utilisée en hydrologie. Il combine à la fois les avantages de la formu- lation quadratique, qui évite la compensation des erreurs, et ceux de la normalisation qui facilite l’interprétation de ce critère et sa comparaison entre différentes études. Son point faible est le manque d’une limite infé- rieure ce qui peut conduire à des très grandes valeurs négatives et faire baisser la moyenne des Nash calculés sur un ensemble d’événements ou un ensemble de bassins.
F Le débit de pointe
PH = Qsim,p− Qobs,p
Qobs,p
, (2.7)
Qsim,pest le débit de pointe simulé et Qobs,pest le débit de pointe observé.
Dans le cas où le pic de crue est la seule quantité d’intérêt, par exemple dans la réalisation des ouvrages hydrauliques ou l’estimation des cartes d’inondation, l’écart normalisé du débit de pointe permet de quantifier la fiabilité de ce dernier.
F L’arrivée du débit de pointe
TP = tsim,p − tobs,p, (2.8)
tsim,p est le temps d’arrivée du pic de crue simulé et tobs,p est le temps
d’arrivée observé. Ce critère permet d’estimer l’écart entre l’arrivée pré- vue du débit de pointe et son arrivée observée. Il permet notamment d’estimer la valeur d’un modèle dans un contexte de prévision.
Après la sélection d’une fonction objectif selon les objectifs de la modélisation (caractérisation hydrologique d’une crue observée, prévision en temps réel, ...), le jeu de paramètres qui optimise cette fonction est déterminé par calibration. La procédure de calibration peut être manuelle ou automatique. La calibration manuelle dépend fortement de l’expérience de l’hydrologue sur le modèle hydrologique utilisé et de ses connaissances sur le bassin versant. Elle n’est pas recommandée pour la plupart des études en raison de sa subjectivité et de sa dépendance aux compétences de l’hydrologue.
La calibration automatique des paramètres explore l’espace des paramètres à l’aide d’un algorithme. Certains algorithmes, dits locaux, partent d’un jeu de pa- ramètres initial et poursuivent des itérations dans l’espace des paramètres jusqu’à converger sur un jeu optimal. Le point faible de cette méthode est la possibilité de trouver un optimum local. Les algorithmes globaux échantillonnent tout l’es- pace paramétrique afin d’optimiser la fonction objectif mais ont un coût de calcul élevé comparés aux méthodes locales. Enfin, certains modèles présentant un grand nombre de paramètres peuvent présenter des problèmes d’équifinalité. Autrement dit, il existe pour ces modèles plusieurs jeu de paramètres optimaux qui donnent une même valeur de la fonction objectif. Le travail de Beven et Binley (in press) aborde ce problème d’équifinalité et propose des méthodes afin d’identifier un jeu de paramètres qui correspond au mieux au comportement du bassin versant.
Suite à la sélection d’un jeu de paramètres, le modèle doit être validé avec un jeu de données différent de celui utilisé pour la calibration. Le split sample test (ou test de validation croisée) sépare la chronique des observations en deux parties, une qui est utilisée pour la calibration et une autre qui est utilisée pour la validation. Le differential split sample test sépare la chronique des observations en deux parties ayant des conditions climatiques différentes, par exemple une période humide et une période sèche. Le modèle est donc calibré et validé sur deux jeux de données ayant chacun un climat différent. Ce type de validation est utile pour les études d’impact où le climat n’est pas stationnaire (Tramblay et al., 2013). La validation peut se faire aussi sur un bassin versant différent de celui de la calibration avec le proxy-basin test. La version de ce test appliquée à deux bassins présentant des climats différents est le differential proxy-basin. Toutes les méthodes proposées permettent de valider un modèle hydrologique sur de nouveaux événements. Certaines de ces méthodes, permettent d’évaluer le modèle pour des conditions climatiques non-stationnaires ou sur plusieurs bassins versants. Plus d’informations sur la validation des bassins versants sont disponibles dans Klemeš (1986) et Coustau (2011).