1.4 Objectifs de la thèse
2.1.3 Calibration du piège
Avant toute expérience, il faut donc mesurer les propriétés du puits de potentiel que forme le piège (cf. 2.1.1). Même si celui-ci n’aura pas exactement la même allure que celle estimée pour le régime de Rayleigh (figure 2.3), on peut, près du centre, l’approximer par un potentiel harmonique (i.e. une force linéaire).
Pour calibrer un tel dispositif, plusieurs méthodes peuvent être employées :
✦ spectre de fluctuations :les billes micrométriques dans l’eau constituent des particules browniennes. Une fois piégée, on peut obtenir l’allure du spectre des petites fluctuations de position de la sphère3
, autour du centre du piège [88] : Sxx(f ) = kBT
γπ2(f2 0 + f2)
avec f0 = k
2πγ (2.5)
où ηm est la viscosité du milieu environnant (solvant aqueux : ηeau= 9.10−4 Pa.s à 25°C,
ηeau = 7.10−4 Pa.s à 37°C), f0 la fréquence de coupure du spectre, et k la constante de
raideur du piège. γ est le coefficient de friction du milieu sur la sphère et vaut, en fonction de son rayon a et de la hauteur h par rapport à la surface (lamelle de verre), sur laquelle la vitesse du fluide est nulle :
γ(a, h) = 6πηmaβ(a/h) = 6πηma 1 −169 ah +18 ah 3 − 25645 ha 4 −161 ah 5 . (2.6)
La fonction β(a/h) est représentée sur la figure 2.9 pour des billes de rayon a = 1.735µm. On obtient donc la raideur du piège en mesurant la fréquence de coupure f0. Le spectre de
la figure 2.10 a été mesuré sur notre dispositif, pour la puissance de pompe la plus faible (400 mW). On mesure une fréquence de coupure de 18 Hz environ selon X et Y , ce qui équivaut à une raideur de 3,5 pN/µm environ, et qui est compatible avec les mesures de raideur réalisées par les méthodes présentées plus loin.
3
Sxx(f ) est en unité de déplacement2/Hz, ce qui suppose évidemment d’avoir auparavant étalonné la réponse
Fig. 2.9 – Allure de la fonction β(h) pour des billes de rayon 1,735 µm.
Fig.2.10 – Spectres de fluctuation de position selon X et Y en fonction de la fréquence, mesurés sur des billes de rayon 1,735 µm à distance h = 15 µm de la surface, piégées à puissance minimale (Pp = 400 mW).
Cette méthode a l’avantage d’être simple à mettre en oeuvre, et de ne nécessiter aucun dispositif de déplacement du piège ou de l’échantillon. Cependant, elle ne donne accès qu’à la raideur au centre du piège, et ne permet donc de connaître la force que pour de très petits déplacements. De plus, elle est assez peu adaptée aux pièges de forte rigidité : d’abord parce qu’une bille très fortement piègée a des fluctuations de position très faibles, et qu’il faut donc qu’elles soient supérieures au bruit du détecteur (on voit d’ailleurs sur la figure 2.10 que les spectres sont assez bruités) ; ensuite parce que la fréquence de coupure est proportionnelle à la rigidité, et qu’il faut donc un détecteur à très large bande passante pour pouvoir mesurer le spectre au moins une décade au-delà de f0 (typiquement, pour
surface, la fréquence de coupure serait de l’ordre de 500 Hz).
✦ méthode hydrodynamique : cette méthode tire profit de la viscosité du milieu ho- mogène (l’eau) entourant la sphère. Si on impose un flux hydrodynamique autour d’une bille piègée, on a égalité, à l’équilibre, entre la force exercée par le piège sur la bille, et la force de frottement visqueux Fvisq = −γv où v est la vitesse de la bille par rapport au
flux. L’équilibre des forces peut être considéré comme presque instantanément atteint : la durée du régime transitoire peut être estimée par τ = 43πρeffa3
3π ηma =
4
9a2 ρηeffm ≃ 10
−6 s, où
ρeff = ρsil− ρm≃ 1, 5.103 kg.m−3 est la masse volumique effective de la bille dans le milieu
aqueux.
On applique le flux en déplaçant la chambre expérimentale contenant une suspension de billes dans l’eau, à l’aide de la cale piézoélectrique. Ce déplacement est contrôlé par ordina- teur, via un programme LabVIEW (National Instruments, USA), mis au point par Martial Balland pendant sa thèse au laboratoire [9]. Des trains d’onde sinusoïdaux d’amplitude et fréquence contrôlables sont envoyés à la cale piézoélectrique, et sont synchronisés avec l’acquisition des images sur une caméra rapide (Kodak SR500), et ce dans les 2 directions X et Y (même si les équations qui suivent sont écrites selon X seulement).
On a alors les grandeurs suivantes :
– le déplacement de la cale c’est-à-dire du milieu (par rapport au référentiel du laboratoire Rlab) X(t) = X0sin(2πf t), étalonné préalablement ;
– le déplacement de la bille par rapport au centre du piège (fixe dans Rlab) x(t) =
x0sin(2πf t + φ), mesuré sur les images obtenues à la caméra rapide (à l’aide du logicial
ImaQ Vision Builder, NI, USA) ;
– le déplacement relatif de la bille par rapport au flux : δX(t) = x(t)−X(t) = δX0sin(2πf t+
φ′) calculé à l’aide des grandeurs précédentes.
La vitesse de la bille par rapport au flux vaut alors : v(t) = 2πf δX0cos(2πf t + φ′).
En prenant simplement les amplitudes de chacun de ces signaux, on doit avoir l’égalité suivante :
2πf δX06πηma β(a, h) = Ftrap(x0) (2.7)
et l’on peut donc mesurer la force Ftrap en fonction de la distance x0 de la bille au centre
du piège. Ces mesures sont représentées sur les courbes de la figure 2.11.
On voit donc que le piège n’est pas tout à fait linéaire, l’ajustement se faisant par un polynôme de degré 2 passant par zéro. On estime l’incertitude sur la connaissance du déplacement de la cale piézoélectrique X(t) à quelques dizaines de nm ; l’incertitude sur la mesure de la position de la bille x(t) à la caméra rapide peut être réduite à moins d’un pixel par interpolation de la forme de la bille soit moins de 50 nm. La quantité probablement la plus délicate à connaître avec précision est le rapport a/h : la hauteur h est estimée en remontant l’objectif à partir du fond de la chambre, au moment où la bille semble se défocaliser et le rayon des billes est connu à ±0.05 µm près. On peut donc estimer que β(a, h) n’est pas connu à mieux que 5 % près, et que la calibration de la force est effectuée avec à peu près le même degré de précision.
Il faut ensuite prendre en compte les conditions expérimentales au moment des manipula- tions sur cellules : le laser traverse en général au moins une partie de la cellule, où l’indice varie, ce qui modifie la forme du piège. On peut donc estimer que l’on contrôle la force à mieux que 10% près, mais peut-être pas beaucoup mieux.
✦ mesure de force à l’échappement :le principe est globalement le même que celui décrit précédemment, mais on cherche uniquement à estimer la force maximale (cf. figure 2.3).
Fig. 2.11 – Etalonnage de la force de piègeage sur des billes de diamètre 2a = 3, 47 µm en fonction de la distance au centre du piège, en X (disques gris, courbe continue grise) et en Y (cercles noirs, courbe pointillée noire) (regroupement des mesures effectuées à diverses puissances (PP=1 et 1,5 W), alignées sur une même courbe représentant la force divisée par la puissance
lumineuse F/Popt). L’ajustement est réalisé par des polynômes du deuxième degré passant par
zéro. La bille est située à une hauteur h de (A) 5 µm et (B) 10 µm au-dessus de la lamelle. On applique pour cela une force extérieure, par exemple un flux hydrodynamique, et on n’a alors qu’une mesure à effectuer : celle de la force nécessaire pour faire sortir une bille du piège.
Dans notre cas, on se sert de cette méthode rapide pour vérifier, avant toute expérience, que le piège est bien réglé. On piège une bille à hauteur h = 30 µm au-dessus de la lamelle (pour pouvoir prendre β ≃ 1) avec le laser à Pp =800 mW, soit une puissance lumineuse
de 115 mW environ. On utilise cette fois-ci les miroirs galvanométriques pour défléchir le faisceau. On fait osciller le piège sinusoïdalement à fréquence f, à une amplitude prise, par référence, à 420 mVP −P (ce qui correspond à un déplacement sinusoïdal du centre du piège Xp(t) = Xp,0sin(2πf t) avec Xp,0 ≃ 5, 5 µm dans le plan focal). La bille oscille
alors sinusoïdalement : x(t) = x0sin(2πf t + φ). On augmente f jusqu’à ce que la bille
s’échappe du piège. A cette fréquence fmax, on mesure la force à l’échappement : Fmax =
6πηma 2πfmaxδX0.
Toujours pour les billes de rayon a = 1, 735 µm, on mesure en général fmax ≃ 29 Hz à
25°C. Or on a δX0= |x0eiφ− Xp,0| ≃ 0, 95Xp,0, et ηm= 0, 89 Pa.s pour l’eau à 25°C. Cela
donne une force maximale Fmax ≃ 27, 5 pN, ce qui est tout à fait en accord avec notre
courbe d’étalonnage (en prenant le dernier point X = Xmax ≃ 1, 3 µm).
On considère, lors de la vérification préliminaire à toute expérience, que le piège est "bien" réglé quand on mesure une fréquence fmax≥ 27 Hz, soit une tolérance d’environ 7-8% sur
la valeur de la force.
Notre piège est de raideur 35 à 120 pN/µm, selon la puissance de laser envoyée. Typiquement, à l’aide de billes de silice de diamètre 3,47 µm, maintenues de 1 à 1,5 µm du centre du piège, on peut appliquer des forces de 35 à 180 pN.