F(∇v) dx − F(∇u) dx ≥ DF(∇u) · (∇v − ∇u) dx = f(v − u) dx
par l’équation d’Euler-Lagrange (6.6). Ceci n’est autre que J(v) ≥ J(u).
Exemple La fonction F(ξ) = (1/p)|ξ|pest strictement convexe, de classe C1pour
p > 1 avec DF(ξ) = |ξ|p−2ξ. On a donc ainsi trouvé l’unique solution dans
W1,p
0 () de l’équation
−div (|∇u|p−2∇u) = f,
où l’on aurait aussi bien pu prendre f dans W−1,p
() = (W1,p
0 ()). En
dévelop-pant formellement, si u est très régulière (et∇u ne s’annule pas pour p < 2), c’est
l’équation
−|∇u|p−2u − (p − 2)|∇u|p−4(∂iu∂ju∂i ju) = f, soit
ai j(ξ) = |ξ|p−2δi j+ (p − 2)|ξ|p−4ξiξj.
Cet opérateur quasi-linéaire s’appelle le p-laplacien. On retrouve le laplacien usuel,
linéaire, quand p= 2.
6.3 Calcul des variations dans le cas vectoriel,
quasi-convexité
Les résultats de la section précédente admettent naturellement de nombreuses
généralisations. Nous allons considérer ici le cas de fonctions u à valeurs dansRm,
ce qui correspond au niveau des équations d’Euler-Lagrange au cas des systèmes
d’équations. Dans le cas scalaire, m = 1, l’hypothèse fondamentale sur F
assur-ant l’existence dans tous les cas (modulo quelques hypothèses techniques) est que
celle-ci soit convexe. Dans le cas m > 1, on peut toujours faire cette hypothèse, et
la théorie est essentiellement inchangée.
Néanmoins, dans un certain nombre d’applications, l’hypothèse de convexité est trop restrictive, voire tout à fait irréaliste comme par exemple en élasticité non linéaire, voir par exemple [14]. Il faut donc obtenir une condition plus générale que la convexité, qui assure encore la semi-continuité inférieure faible de
fonction-nelles du type (6.4) dans le cas vectoriel, mais qui soit compatible avec un certain
nombre d’applications.
Dans ce qui suit, est toujours un ouvert borné de Rd mais les applications u
par leurs m composantes ui dans une base cartésienne orthonormée. Le gradient ou la différentielle de u est alors représenté par une matrice à m lignes et d colonnes, (∇u)i j = ∂jui. Soit Mmdl’espace des matrices à m lignes et d colonnes. Il est muni
du produit scalaire euclidien usuel, A : B = tr (ATB) (note : ATB est une matrice
d× d).
On se donne F: Mmd → R une fonction continue et on lui associe la fonctionnelle
I(u) =
F(∇u) dx,
sans préciser pour l’instant les espaces fonctionnels auxquels u est censée appartenir, si ce n’est que les dérivées premières de u doivent être des fonctions en un certain sens. Nous allons étudier les propriétés de semi-continuité inférieure faibles de cette classe de fonctionnelles.
Définition 6.1. On dit que F est quasi-convexe s’il existe un ouvert borné D deRd
tel que, pour toute matrice A∈ Mmdet toute fonctionϕ ∈ D(D; Rm), on a
D
F(A + ∇ϕ(x)) dx ≥ (mes D)F(A). (6.7)
Voir [46, 47] pour l’introduction de la notion de quasi-convexité. Vérifions immédiatement que cette définition est raisonnable.
Lemme 6.1. La Définition 6.1 ne dépend pas de l’ouvert D.
Preuve. Soit F une fonction quasi-convexe, D l’ouvert qui apparaît dans la
Défini-tion 6.1 et soit D1un autre ouvert borné deRd. Il existe clairement un point x0∈ Rd
et un nombreη > 0 tels que x0+ ηD1 ⊂ D. Pour tout ϕ ∈ D(D1), on définit
ϕ∗∈ D(D) par ϕ∗(x) = ηϕ(x−x0 η ) si x ∈ x0+ ηD1, 0 sinon.
Comme F est quasi-convexe, on a en particulier
D
F(A + ∇ϕ∗(x)) dx ≥ (mes D)F(A). Par définition deϕ∗, on a par ailleurs,
∇ϕ∗(x) =
∇ϕ(x−x0
η ) si x ∈ x0+ ηD1,
En remplaçant ces expressions dans l’inégalité de quasi-convexité, il vient D\(x0+ηD1)F(A) dx + x0+ηD1 F(A + ∇ϕ∗(x)) dx ≥ (mes D)F(A), c’est-à-dire x0+ηD1 F A+ ∇ϕx− x0 η
d x≥ (mes(x0+ ηD1))F(A) = ηd(mes D1)F(A).
Effectuant alors le changement de variable y = (x − x0)/η dans l’intégrale, on voit
que F satisfait l’inégalité de quasi-convexité sur D1pourϕ.
Remarque 6.4. On peut remplacerD(D; Rm) par W1,∞
0 (D; Rm) sans rien changer
dans la Définition 6.1.
Notons tout d’abord qu’il existe bien des fonctions quasi-convexes. Proposition 6.2. Tout fonction convexe est quasi-convexe.
Preuve. Soit F une fonction convexe sur Mmd, D un ouvert borné de mesure 1 etϕ ∈ D(D; Rm). On applique l’inégalité de Jensen avec la mesure de Lebesgue restreinte à D, qui est une mesure de probabilité. On a donc
D
F(A + ∇ϕ(x)) dx ≥ F
D(A + ∇ϕ(x)) dx . Mais comme D est de mesure 1
D (A + ∇ϕ(x)) dx = A + D ∇ϕ(x) dx = A
en intégrant le deuxième terme par parties. On obtient donc bien que
D
F(A + ∇ϕ(x)) dx ≥ F(A)
c’est-à-dire la quasi-convexité de F .
La notion de quasi-convexité ne serait guère passionnante si elle coïncidait avec la convexité. Heureusement, il n’en est rien dès que m> 1 et d > 1, nous reviendrons sur ce point plus loin en introduisant une condition suffisante de quasi-convexité. Il
n’y a pas contre rien de nouveau par rapport à la convexité si m= 1 ou d = 1.
La quasi-convexité intervient dans les problèmes de calcul des variations vecto-riels en raison des deux théorèmes suivants.
Théorème 6.7. Si la fonctionnelle I est faiblement-∗ s.s.c.i. sur W1,∞(; Rm) alors
Preuve. Soit A ∈ Mmd. Sans perte de généralité, on peut supposer que 0 ∈ .
Soit alors Q ⊂ un cube centré en 0 et de côté L et soit ϕ ∈ D(Q; Rm). Soit k
un entier naturel. On subdivise Q en kdcubes d’intérieurs disjoints(Ql)l=1,...,kd de
côtés parallèles aux côtés de Q et de longueur L/k. On note xl les centres de ces
cubes. On pose alors, voir Figure6.1.
uk(x) =
Ax+1
kϕ(k(x − xl)) si x ∈ Ql,
Ax sinon.
Commeϕ s’annule dans un voisinage du bord de Q, il est clair que l’on a uk ∈
D(; Rm). De plus,
∇uk(x) =
A+ ∇ϕ(k(x − xl)) si x ∈ Ql,
A sinon.
si bien qu’il existe une constante C indépendante de k telle que
uk L∞(;Rm)≤ C, ∇uk L∞(;Mmd) ≤ C.
La suite ukest bornée dans W1,∞(; Rm), donc elle admet une sous-suite
faible-ment-∗ convergente. Comme par ailleurs toute la suite converge uniformément vers
u(x) = Ax, on voit que uk u dans W1,∞(; Rm) faible-∗. La s.s.c.i. de I implique alors que
lim inf I(uk) ≥ I (u) =
F(A) dx = (mes )F(A). (6.8)
Calculons donc I(uk). I(uk) = \QF(A) dx + Q F(A + ∇uk(x)) dx
= (mes − mes Q)F(A) + kd l=1 Ql F(A + ∇ϕ(k(x − xl))) dx
d’où, en effectuant le changement de variable yl = k(x − xl) dans chaque petit cube,
I(uk) = (mes − mes Q)F(A) + kd l=1 1 kd Q F(A + ∇ϕ(yl)) dyl = (mes − mes Q)F(A) +
Q
F(A + ∇ϕ(y)) dy.
Combinant cette expression (qui ne dépend en fait pas de k) avec l’inégalité (6.8),
L
k Ω
Q
suppϕ
Fig. 6.1 Construction de la suite uk
Le Théorème 6.7 admet une réciproque, nettement plus difficile, dont nous don-nons une démonstration à titre culturel en annexe, voir aussi [46].
Théorème 6.8. Si F: Mmd → R est quasi-convexe, alors la fonctionnelle I est
faiblement-∗ s.s.c.i. sur W1,∞(; Rm).
La quasi-convexité apparaît donc comme une condition nécessaire et suffisante de semi-continuité inférieure faible pour des fonctionnelles du calcul des variations dans le cas vectoriel. Le résultat est également vrai dans W1,p(; Rm), à condition d’imposer des conditions de croissance et de borne inférieure appropriées. En voici un exemple dû à [1].
Théorème 6.9. Soit F: Mmd→ R quasi-convexe et telle que
|F(A)| ≤ C(1 + |A|p),
F(A) ≥ 0,
pour un certain p ∈ ]1, +∞[. Alors la fonctionnelle I est faiblement s.s.c.i. sur
W1,p(; Rm).
On montrera également ce résultat difficile en annexe.
On déduit immédiatement de ce théorème nombre de résultats d’existence de points de minimum. Ainsi, par exemple,
Corollaire 6.5. Soit F qui satisfait les hypothèses du Théorème 6.9 et telle qu’il
existeα > 0 avec F(A) ≥ α|A|p. On se donne f ∈ Lp (; Rm) et l’on pose J(u) = I (u) − f · u dx.
Alors la fonctionnelle J atteint son minimum sur W1,p
Preuve. On applique la méthode directe du calcul des variations. Considérons une
suite minimisante, c’est-à-dire une suite uk ∈ W1,p
0 (; Rm) telle que J(uk) → inf J . À cause de la coercivité de F et de l’inégalité de Poincaré dans W1,p
0 (; Rm),
on en déduit que uk est bornée dans W1,p
0 (; Rm). On en extrait une sous-suite
faiblement convergente vers un certain u, toujours notée uk. Comme J est faiblement
s.s.c.i., il vient lim inf J(uk) ≥ J(u), donc u est un point de minimum de J.
Remarque 6.5. On établit l’équation d’Euler-Lagrange comme précédemment, si ce
n’est qu’il s’agit ici d’un système de m équations :
− ∂j ∂F
∂ Ai j(∇u)= fipour i= 1, . . . , m, (6.9)
au sens deD(), en les m fonctions inconnues scalaires ui.
Il s’agit bien d’un système quasi-linéaire, puisqu’il s’exprime au moins formelle-ment sous la forme
Ci j kl(∇u)∂jluk= fi, i = 1, . . . , m, où le tenseur du quatrième ordre C est donné par
Ci j kl(A) = ∂ A∂2F i j∂ Akl(A)
en composantes.