Calcul des critères sur point de fonctionnement

4.11.1 Profil de mission du métro

Le profil de mission du métro donné en Figure 4-21 peut être affiché dans le plan couple/pulsation à la roue, comme illustré sur le graphe de droite. Le couple maximum atteint est 10000(N.m), la vitesse maximale est 55(rad/s) environ. Ces données sont invariantes et participent au cahier des charges de la chaîne de traction.

Figure 4-21. Profil de mission de la chaîne de traction dans le plan couple/pulsation

Pour valider la conception proposée, il faut que la simulation de la chaîne de traction couvre bien tout le domaine de fonctionnement de la Figure 4-21. Pour ce faire une grille comprenant 110 points a été définie. La simulation décrite sur la Figure 4-16 est répétée 110 fois et plusieurs critères sont calculés après chaque simulation, par exemple les pertes Joule et fer.

Dans ce qui suit ces critères sont explicités et on représente de façon synthétique leur évolution dans le plan couple/pulsation de la Figure 4-21, pour la chaîne de traction de référence, dans les conditions de l'application.

85 4.11.2 Tension, courant, densité de courant et pertes Joule

Pour le calcul des pertes Joule, il est pratique de calculer la valeur efficace des courants. La valeur efficace d'un courant périodique est la racine carrée de la moyenne du carré de l'intensité de ce courant sur une période électrique, ce qui s'exprime dans le domaine fréquentiel par (4.39). En pratique comme les courants calculés pour cette étude seront toujours équilibrés il ne sera considéré qu'une seule valeur de courant efficace, calculée avec le courant de la première phase.

( ) ∑

( )

=

=

1 2 ,

h

phase h I phase

Ieff (4.39)

La densité de courant efficace se calcule à partir du courant de phase et de la section d'un conducteur, ce qui est exprimé à partir de la section totale de cuivre Scu issue du Tableau 4-7 et du nombre de conducteur n par (4.40).

cu eff

eff S

I J n⋅

= (4.40)

Les pertes Joule sont données par la résistivité du cuivre à 450K (177°C), soit ρcu=22^e-9(Ω.m). Les autres données de ce calcul sont la densité efficace de courant et le volume de cuivre Vcu (4.41). Pour la résistivité une valeur élevée de température a été considérée (450K), de façon à se placer dans le pire des cas.

2 eff cu cu

cu V J

P = ρ ⋅ ⋅ (4.41)

La Figure 4-22 donne ces 3 grandeurs, ainsi que l'amplitude du fondamental de la tension phase-neutre, en fonction du point de fonctionnement dans le plan Couple/Pulsation à la roue.

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Figure 4-22. Tension, courant, densité de courant et pertes Joule en fonction du point de fonctionnement

4.11.3 Induction dans le fer et pertes fer

4.11.3.1 Induction dans le fer

L'induction dans le fer est calculée d'après la composante fondamentale de l'induction des aimants.

Il n'est pas tenu compte des flux induits par les courants dans le bobinage. La Figure 4-23 illustre ce calcul respectivement pour les culasses (gauche) et pour les dents (droite).

Figure 4-23. Illustration du calcul de l'induction dans les culasses (gauche) et dans les dents (droite)

Le calcul de l'induction dans les culasses est illustré par un entrefer sans dents. Sur la Figure 4-23, l'induction est nulle en B et maximale en A. Le flux passant en A est égal à la somme des inductions produites dans l'entrefer par l'aimant sur un demi-pas polaire. Par suite l'induction moyenne le long de la ligne A pour cette position du rotor est donnée par (4.42). Le terme 2/π provient de la valeur

87 sinusoïdale de l'angle γ, de valeur maximale Bculasse. Dans le stator cette forme d'induction est mobile compte-tenu du déplacement relatif des aimants. Par suite l'induction en fonction du temps à un endroit donné du stator sera supposée être une fonction sinusoïdale de valeur maximale Bculasse. Cette façon de déterminer l'induction est très approximative et n'a pas vocation à quantifier précisément les pertes fer pour chaque solution. L'intérêt de ce calcul est plutôt de dégager des préférences entre plusieurs solutions.

En pratique la présence des dents est susceptible d'entraîner des paliers dans les courbes d'induction en fonction de γ et en fonction du temps. La non-répartition homogène sur la largeur peut amener des points de saturation locaux. Enfin, l'induction générée par les aimants dans l'entrefer présente des harmoniques qui peuvent être important dans le calcul des pertes fer, spécialement pour les machines à grande vitesse. Dans le cadre d'une conception optimale plus précise, mais nécessitant cependant encore des modèles rapides, ces points devraient être étudiés analytiquement de façon à obtenir un modèle rapide et paramétrable [T3].

L'induction dans les dents est considérée au niveau de la ligne C de la Figure 4-23, où tout le flux traversant l'entrefer est concentré dans les dents. En supposant la répartition homogène dans les dents, l'expression de la valeur crête de l'induction dans les dents est donnée par (4.43). Cette valeur est distincte de la valeur fondamentale de l'induction en fonction de temps, qui est un signal carré compte-tenu des hypothèses. Par suite, le fondamental considéré de l'induction dans les dents est donné en condition de non-saturation est nécessaire pour que le calcul du couple soit valable.

4.11.3.2 Pertes fer

Le fabricant de tôles Cogent donne un tableau pour estimer les pertes fer massique Pfm en fonction de la fréquence électrique et du niveau d'induction dans le fer. La formule (4.45) permet de retrouver les pertes fer.

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La Figure 4-24 donne les pertes fer calculées pour le circuit magnétique du stator uniquement.

Seule l'induction des aimants est prise en compte. Ainsi, les pertes fer ne dépendent que de la fréquence, pour une solution donnée.

Figure 4-24. Pertes fer en fonction du point de fonctionnement

4.11.4 Calcul des distorsions

Les distorsions du courant et l'ondulation du couple sont calculées selon (4.46). Concernant le courant, seule la distorsion de la première phase est calculée, les phases étant équilibrées. Dans cette expression, h=1 désigne le fondamental.

∑

∑

=

∞

=

=

=

2 2 2

2( ) ( )

h d h

d I h C C h

I (4.46)

Il est courant de diviser la distorsion du courant par le fondamental pour obtenir un taux de distorsion. Cependant, le taux de distorsion ainsi calculé est très grand pour les cas où le courant est proche de 0. Pour avoir une image de la distorsion sur tous les points de fonctionnement du parcours il est plus pratique d'utiliser directement (4.46). D'autre part, le parcours du métro est fixé, donc (4.46) permettra de comparer directement deux solutions différentes, du point de vue de la distorsion du courant.

L'intérêt de calculer la distorsion est d'avoir un moyen quantitatif d'estimer la qualité des formes d'onde. Il faudra vérifier que cette qualité n'est pas dégradée par rapport aux solutions actuelles. Cette contrainte sur la distorsion est une solution de substitution, à défaut de calculer les pertes harmoniques, à défaut de savoir le contenu harmonique du courant que peut supporter l'alimentation.