Quand un nœud a suffisamment d‘information de distances/angles et de positions (des amers), il peut calculer sa position. Pour cela, plusieurs méthodes sont utilisées. Parmi ces méthodes : la trilatération, la multilatération, la triangulation, les approches probabilistes, le cadre englobant et la position centrale.
Le choix de la méthode de calcul de la position influe sur les performances finales du système de localisation. Ce choix dépend des informations disponibles et des ressources du processeur (CPU, mémoire, etc.).
Les paragraphes suivants présentent les méthodes de calcul de la position, suivies par un ensemble de commentaires et de remarques.
3.1
Trilatération et multilatération
La trilatération est la méthode la plus basique et intuitive. Cette méthode calcule la position d‘un nœud par l‘intersection de trois cercles, comme le montre la Figure I-3.
Pour estimer sa position (en 2D), un nœud a besoin de connaître la position de trois amers ainsi que sa distance par rapport à ces amers. La distance peut être estimée en utilisant l‘une des méthodes décrites dans la première partie « Estimation de distance/angle ».
Un amer est un nœud qui a ses coordonnées globales connues à priori. Ces coordonnées peuvent être préenregistrées ou obtenues à l‘aide d‘un dispositif externe comme le GPS.
Les équations des cercles centrés aux positions des amers et qui ont comme diamètres d1, d2 et d3
respectivement sont définies comme suit :
(1) (2) (3) : La position du nœud à localiser.
: La position du ième
amer.
: La distance entre le nœud à localiser et le ième
amer.
Figure I-3 Principe de la trilatération
En soustrayant l‘équation (3) des deux premières équations, on obtient un système linéaire avec deux équations à deux inconnus ( qui peut donner une seule solution :
(4) (5) (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) ( , ) d1 d2 d3
Dans les cas réels, les imprécisions des distances mesurées et des positions des amers rendent la résolution des équations précédentes très difficile, voire impossible. Une solution du problème consiste à définir un système surdéterminé (le nombre d‘équation est plus grand que le nombre d‘inconnus) en utilisant un nombre supplémentaire d‘amers, c‘est ce qui est appelé la multilatération.
Le système peut être défini par le système d‘équations (6) :
(6)
est une variable aléatoire qui suit la loi Normale et de moyenne zéro.
Ce système peut être rendu linéaire en soustrayant la dernière équation des autres équations de (1) à (n-1). Le système linéaire est donné par l‘équation (7) :
(7)
Ce système peut être résolu avec une méthode standard comme la minimisation de la somme des erreurs quadratiques, dont la solution optimale est donnée par la formule (8) :
(8) Où :
est la transposée de la matrice A. est la matrice inverse de la matrice .
3.2
Triangulation
La triangulation ressemble à la trilatération, mais elle utilise les angles à la place des distances. La position peut être calculée à distance (centralisée au niveau des stations de base) ou par les nœuds eux-mêmes (auto-localisation). Dans les deux cas, la position est calculée en utilisant les lois de la trigonométrie (cosinus et sinus). Dans la localisation à distance, au moins deux stations de base estiment l‘angle d‘arrivée des signaux du nœud à localiser, et elles calculent la position du nœud qui n‘est que l‘intersection des deux droites qui partent des deux stations de base avec les deux angles mesurées respectivement. La Figure I-4 (a) illustre le principe de la localisation à distance. Ce type de triangulation est surtout utilisé dans les réseaux de téléphonie mobile.
Cependant dans les RCSF, le plus important est que chaque nœud calcule sa position lui-même (auto-localisation). Dans ce cas, au moins trois amers sont nécessaires. Le nœud non localisé estime ses angles avec chaque amer. En se basant sur les angles estimés et les positions des amers (qui forment un triangle), le nœud calcule sa position en utilisant les lois de la trigonométrie. La Figure I-4 (b) illustre le principe de l‘auto-localisation en utilisant la triangulation.
Cette technique est similaire à la trilatération. En effet, en se basant sur les angles d‘arrivée, il est possible de déduire les distances vers les divers amers [17].
Figure I-4 Principe de la triangulation [1] (a) Localisation à distance (b) auto-localisation
Figure I-5 Principe de la triangulation [7]
Les formules du sinus :
Les formules du cosinus :
3.3
Approche probabiliste
Les incertitudes dans les estimations de distance motivent l‘apparition des approches probabilistes. Dans ces approches, le résultat de calcul de la position n‘est pas un seul point, mais un ensemble de points avec leurs probabilités d‘être la position réelle du nœud à localiser.
Un exemple d‘une approche probabiliste est proposé dans [26]. Dans ce travail, l‘erreur de distance est modélisée comme une variable aléatoire normale. Quand un nœud reçoit un paquet en provenance d‘un amer, il peut être localisé autour de l‘amer, comme le montre la Figure I-6.a. La distance est estimée en utilisant l‘indicateur de puissance du signal reçu (RSSI). Quand un deuxième paquet arrive en provenance d‘un deuxième amer, le nœud calcule sa position comme le montre la Figure I-6.b. Quand une nouvelle information arrive d‘un troisième amer, alors il est possible d‘estimer la position du nœud comme le montre la Figure I-6.c.
Si une application a besoin d‘une seule position (pas toutes les positions possibles), la position avec une grande probabilité est utilisée.
B A C α β (x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) ( , ) (b) (x1, y1) (x2, y2) ( , ) (a)
L‘inconvénient majeur de cette approche est qu‘elle est coûteuse en puissance de calcul ainsi qu‘en espace mémoire nécessaire pour stocker les informations. Dans l‘article [26], il est démontré que si l‘espace d‘intérêt est une grille de d x d, alors la complexité de la méthode est de O(3d2
).
Une application possible de cette approche est d‘envoyer toutes les informations collectées à partir de tous les nœuds vers un nœud central (avec plus de puissance et de mémoire) pour calculer les positions de tous les nœuds du réseau [1].
(a) (b) (c)
Figure I-6 Exemple approche probabiliste [1]
3.4
Cadre englobant – BB
La méthode du cadre englobant (Bounding Box) [15] utilise des carrés à la place des cercles pour déterminer les positions possibles d‘un nœud.
Pour chaque amer , un cadre (ou rectangle) englobant est défini comme le carré centré à la position de l‘amer et qui a comme longueur de côté ( est la distance estimée par rapport à un nœud non encore localisé) et avec comme coordonnées et pour les coins inférieur gauche et supérieur droit respectivement. L‘intersection de tous les cadres englobant donne les positions possibles du nœud à localiser. Cette intersection peut être calculée facilement en prenant le maximum des coordonnées inférieures et le minimum des coordonnées supérieures [1].
et
La position finale du nœud est le centre du rectangle obtenu, et elle est calculée comme suit :
Figure I-7 Principe du cadre englobant
3.5
Position centrale
En supposant que la position la plus probable pour un nœud (non encore localisé) est le point central de tous les amers, le calcul de la position du nœud peut être fait sans avoir besoin d‘estimer les distances entre le nœud et les amers. Dans ce cas là, la position du nœud est calculée en utilisant la formule suivante [15][16] :
étant le nombre d‘amers.
Cette méthode est la plus simple en termes de ressources de calcul et d‘informations nécessaires : seulement opérations flottantes sont nécessaires pour calculer la position du nœud. Cependant les solutions obtenues sont imprécises, notamment lorsque le nombre d‘amers est réduit [1].
3.6
Bilan et synthèse sur les techniques de calcul de la position
Un ensemble de méthodes qui peuvent être utilisées pour le calcul de la position a été exposé. Il est à noter que cette présentation n‘est pas exhaustive. Le choix de la méthode de calcul de la position influe sur les performances finales du système de localisation.
Il n‘y a pas de solution générale et idéale qui fonctionne pour tous les scénarios. Le choix de la méthode dépend des informations collectées et des ressources du processeur.
Le Tableau I-2 compare les principales caractéristiques des méthodes de calcul de la position présentées dans les paragraphes précédents.
(x1, y1) (x2, y2) (x3, y3) ( , ) d1 d2 d3
Méthode Nombre de
références Distance Angle
Complexité
temporelle Défis
Trilatération 3 Oui Non (1) Sensible aux imprécisions des distances
Multilatération n 3 Oui Non (n3) Complexité du calcul
Triangulation 3 Non Oui (1) Besoin de matériel
supplémentaire
Probabiliste n 3 Oui Non (3d
2
) (taille de la grille)
Complexité du calcul et le volume mémoire nécessaire
Cadre
englobant n 2 Oui Non (n) Erreur de la position finale Position
centrale n 1 (n) Erreur de la position finale
Tableau I-2 : Comparaison des méthodes de calcul de la position [1]