Calcul de l’émission d’une couche choquée

Le calcul de l’émission synchrotron d’un éjecta au cours de sa propagation dans le jet suit un traitement simplifié dans ishem. Je reprends ici les principaux points développés dans l’annexe B deMalzac,2014qui décrit avec précision le formalisme utilisé pour déterminer la contribution de chaque couche de la simulation.

Dans le modèle, un éjecta est paramétrisé par sa masse M, sa vitesse d’ensembleβc et son 7. Ce paramètre est défini de sorte que pour fv«1, les couches de la simulation sont extrêmement fines et pour fv=1, le jet est continu.

2.2. LE MODÈLE DE CHOCS INTERNES ISHEM

Paramètres Options

Fraction leptonique du jet ξel(%)

Fraction baryonique du jet ξp(%)

Indice de la loi de puissance p

Énergie minimum γmin

Énergie maximum γmax

Puissance du jet P (LE)

Angle d’ouverture φ (°) Angle d’inclinaison θ (°)

Calcul du contre-jet Non, Oui

Distance D (kpc)

TABLEAU2.2 – Paramètres de la simulation shem.

taux de puissance dissipée par unité de masse ˙². Lorsque l’un de ces paramètres, au moins, est modifié (du fait d’une collision) au cours de la simulation, l’éjecta considéré est alors remplacé par un nouvel éjecta caractérisé par les nouvelles propriétés. La modélisation de l’émission synchrotron couche par couche dans ishem prend en compte les effets de retards dus à la propagation des photons entre les différentes parties du jet et l’observateur. On note t=0 l’origine du temps dans un référentiel fixe par rapport à l’observateur, définie comme l’instant où la première couche de matière est éjectée à la base du jet. Pour simplifier les calculs on définit également le temps de réception des photons du jet dont l’origine, tr=0, se

définit comme l’instant où cet évènement est captée par les instruments. Considérons un jet se propageant selon l’axe z avec un angle d’ouvertureφ. On définit le point d’injection à la base du jet (de rayon rdyn), à partir duquel les couches sont éjectées, tel que z=zb=rdyn/tanφ

(de sorte que le rayon du jet R=ztanφ est toujours connu). Par conséquent, pour un angle d’inclinaisonθ, un photon émis à la position z et au temps t est détecté par l’observateur au temps :

t

r

= t − (z − z

b

)µ/c

(2.1)

avecµ=cosθ.

Le modèle ishem tient également compte de l’évolution du volume des couches afin de connaître à chaque instant les densités de particules et d’énergie qui déterminent leurs pro- priétés spectrales. Soit une couche, active dans le référentiel du jet entre les temps t0 et t1,

s’étendant entre les positions z-et z+(z+> z-). Ses bordures voyageant avec les vitessesβ-et

β+_{considérées comme constantes}8_{. La largeur de la couche est exprimée selon :}

H = z

+

− z

−

= H

0

+ (β

+

− β

−

)c(t − t

0

)

(2.2)

avec H0=z+₀ - z−₀, la longueur initiale de la couche. Pour une couche homogène, le centre de

masse se situe à la position :

z = z

0

+ βc(t − t

0

)

(2.3)

8. Ces vitesses sont en général différentes deβ du fait de l’expansion longitudinale des couches sous l’ef- fet de leur pression interne. La fusion de deux couches de vitesses différentes peut également expliquer ces différences.

avec :

z

0

=

γ

+

_z

+ 0

+ γ

−

z

−0

γ

+

_{+ γ}

−

(2.4)

β =

γ

+

β

+

+ γ

−

β

−

γ

+

_{+ γ}

−

(2.5)

oùγ+etγ-représentent, respectivement, les facteurs de Lorentz de la couche se déplaçant vers les z croissants et vers les z décroissants. Basculer dans le référentiel du centre de masse (dont les quantités seront notées avec un ∼) permet de définir ˜t et ˜z de sorte que (˜t=0, ˜z=0) soit équivalent à l’évènement (t=t0, z=z0) dans le référentiel fixe. On peut donc réécrire la

vitesse des bordures de la couche active tel que :

˜

β

±

₌

β

±

− β

1 − ββ

±

(2.6)

où l’on remarque que ˜β+=-˜β−=˜β, qui peut lui-même être exprimé de la façon suivante :

˜

β = c

e

γ

2

β

+

_{− β}

−

2

(2.7)

où apparaît ce, le facteur de correction de l’extension/contraction de l’éjecta. Il est défini tel

que :

c

e

= 4

µ

2 +γ

+

γ

−

+

γ

−

γ

+

¶

−1

(2.8)

Dans le référentiel du centre de masse, la largeur de la couche se réecrit :

˜

H = ˜H

0

+ 2˜βc˜t

(2.9)

avec :

˜

H

0

= c

e

γH

0

(2.10)

ce qui implique finalement :

˜

H = c

e

γH

(2.11)

qui diffère de la formule de contraction relativiste standard de par la présence de ce, qui ap-

paraît ici du fait de la variabilité de la hauteur des couches.

Pour calculer l’évolution de l’énergie interne totale d’une couche, il faut connaître la puissance qu’elle dissipe au cours d’un choc ainsi qu’au cours de sa propagation dans le jet en expansion. En partant de son taux de dissipation caractéristique ˙², correspondant à la puissance constante par unité de masse dissipée pendant une collision, et tenant compte des pertes liées au refroidissement adiabatique, il est alors possible d’exprimer l’évolution de son énergie spécifique tel que :

d˜²

d˜t

= ˙² − ˜²(γ

a

− 1)

dln ˜V

2.2. LE MODÈLE DE CHOCS INTERNES ISHEM

avecγ_a, l’indice adiabatique, et ˜V, le volume de la couche active dans le référentiel du centre

de masse. La solution analytique de l’équation2.12s’écrit :

˜

² =

"

˙

²Z

˜ t 0

µ_V˜

˜

V

0

¶

γa−1

d˜t + ˜²

0

#

µ

_V˜

˜

V

0

¶

1−γa

(2.13)

où l’indice 0 indique la valeur de la quantité à ˜t=0. Supposant une couche de géométrie cy- lindrique tel que, ˜V=πR2H, et négligeant les pertes énergétiques causées par l’expansion lon-˜ gitudinale, cette solution devient :

˜

² =

·

_˙²z

0

γβc

x

2γa−1

_{− 1}

2γ

a

− 1

+ ˜²

0

¸

x

2−2γa

_(2.14)

avec :

x =

R

R

0

=

z

z

0

= 1 +

γβc˜t

z

0

(2.15)

L’énergie magnétique étant déterminée comme une fraction 1/(1+ξe+ξp)9fixée de l’éner-

gie totale, l’équation2.14permet alors de connaître la valeur du champ magnétique à tous les instants, tel que :

B =

s

8Mc

2

_˜²x

₋₂

_h

−1

(1 + ξ

e

+ ξ

p

)R

20

H˜

0

(2.16)

où l’on note :

h =

H_˜˜

H

0

= 1 +2˜βc

H

0

˜t = 1 +

2˜βz

0

γβH

0

(x − 1)

(2.17)

La connaissance du champ magnétique nous permet deux choses. Premièrement, si l’on suppose une distribution d’électrons en loi de puissance idéale : N(γ)=K γ−p, évoluant entre

γminetγmaxavecγmin,γmaxet p constants, il est possible de déterminer l’évolution de la

normalisation K via l’hypothèse que la densité d’énergie des particules est une fraction ξe

constante de l’énergie magnétique : UB=B2/8π. En conséquence, il est possible de prendre

en compte l’effet du refroidissement adiabatique en contrôlant simplement cette normalisa- tion. Deuxièmement, la détermination de la valeur de B, indispensable au calcul de l’émissi- vité synchrotron et du coefficient d’absorption en oeuvre dans let jet, rend maintenant pos- sible le calcul approximé du flux instantané émis par la couche active. De manière similaire à l’équation2.12, celui-ci s’exprime tel que :

F

_ν

_{(t) = δ}

3

R ˜H

2D

2

˜J

ν˜

˜

α

_ν˜

¡1 − exp

−˜τν˜

¢

(2.18)

avecδ, le facteur d’amplification Doppler : δ=[Γmoy(1 − βcosθ)]−1, D la distance, ˜Jν˜, l’émissi-

vité synchrotron, ˜αν˜, le coefficient synchrotron et ˜τν˜, la profondeur optique (voir Annexe A

deMalzac,2014). Prenant en compte les délais dus à la propagation des photons entre leur 9. Avecξeetξp, les facteurs d’équipartition.

émission et leur détection grâce à la fonction correctrice gl(voir l’annexe B deMalzac,2014),

le flux réellement reçu à trest finalement défini tel que :

F

sν

(t

r

) =

Z

t₁

t0

F

_ν

(t’)g

_l

(t’, t

r

)dt’

(2.19)

Dans le document Émission multi-longueurs d'onde du jet compact de MAXI J1836-194 (Page 52-56)