f [y] = ω(h⋆)ω(h[y])−1ω(g)−1ωH¯(iad)−1f¯⋆.
En reprenant les d´efinitions, on voit que ω(g)ωH¯(iad) = ω∞◦ q∞(uy). L’´egalit´e (5) s’en d´eduit, ce qui ach`eve la d´emonstration.
7.9 Preuve de la proposition 7.1
On suppose DF[dV] non vide car sinon la proposition 7.1 est triviale, ainsi qu’on l’a dit en 7.3. On utilise les constructions de 7.3. On suppose que l’ensemble de places V′
satisfait les conditions 7.1(2) et 7.4(2). Supposons ¯ϕ[V′, dV] 6= 0. D’apr`es le lemme 7.4, ω et ωH¯ co¨ıncident sur I⋆(AF), c’est-`a-dire que l’hypoth`ese (1) de 7.8 est v´erifi´ee. Le lemme de ce paragraphe implique que ω∞ est trivial sur l’image de q∞. Puisque cette image est le noyau de q0, cf. lemme 7.7, ω∞ se quotiente en un caract`ere de l’image de q0. Cette image est le groupe Q0 de 6.6. C’est un sous-groupe ouvert, ferm´e et d’indice fini de Q, cf. lemme 6.6. On v´erifie ais´ement que le caract`ere ainsi d´efini de Q0 est continu. Il se prolonge donc en un caract`ere ωQ de Q. D’apr`es 6.5(1), ce caract`ere s’identifie `a un ´el´ement p ∈ P . Par construction, on a
- le compos´e de ωQet de l’homomorphisme q1 : Q1 → Q est le caract`ere de Q1 associ´e `a l’´el´ement ¯s ∈ ˆ¯SΓF
ad ;
- le compos´e de ωQ et de l’homomorphisme Gab(AF) → Q2 q2
→ Q est le caract`ere ω ; - le compos´e de ωQ et de l’homomorphisme q3 : Q3 → Q est trivial.
Les mˆemes calculs qu’en 6.5 montrent que ces propri´et´es sont respectivement ´equivalentes `a
- p1(p) = ¯s ; - p2(p) = a ;
- pour tout v 6∈ V , resIv(p) appartient `a l’image de ϕv.
Autrement dit, p ∈ P (H). Donc cet ensemble n’est pas vide. Alors J (H) ne l’est pas non plus d’apr`es la proposition 6.4. Cela prouve la proposition 7.1.
7.10 Calcul d’une constante
On a fix´e une fois pour toutes une mesure sur AG˜. En 5.8, on a d´efini le r´eseau AG,Z˜ = Hom(X∗(G)ΓF,θ, Z) ⊂ AG˜ et on a not´e covol(AG,Z˜ ) le volume du quotient AG˜/AG,Z˜ . La donn´ee X est elliptique, cf. 5.1(2). Pour tout d ∈ DF[dV], l’´el´ement η[d] est donc elliptique (cf. fin de 1.2). Il en r´esulte que AGη[d] = AG˜. On d´efinit dans cet espace le r´eseau AGη[d],Z = Hom(X∗(Gη[d])ΓF, Z) et on note covol(AGη[d],Z) le volume du quotient AG˜/AGη[d],Z.
Proposition. Supposons DF[dV] non vide. Alors, pour tout d ∈ DF[dV], on a l’´egalit´e |P0|| ˙DF[dV]|−1 = C( ˜G)−1τ (Gη[d])[Iη[d](F ) : Gη[d](F )]−1[Iη[d](FV) : Gη[d](FV)]covol(AG ,Z)−1.
On renvoie `a 5.8 pour la d´efinition de C( ˜G). La preuve occupe les paragraphes 7.11 `a 7.15.
7.11 Calcul de |P
0|
Labesse d´efinit des groupes de cohomologie ab´elienne de I⋆\G, cf. [Lab1] 3.3. Consid´erons comme en 7.3 un sous-tore maximal ¯T⋆ de I⋆ d´efini sur F , notons T⋆ son commutant dans G et introduisons les images r´eciproques ¯T⋆,sc de ¯T⋆ dans ¯G⋆,SC et T⋆,sc de T⋆ dans GSC. On a un complexe de tores
¯
T⋆,sc → T⋆× T⋆,sc → (1 − θ)(T⋆) × T⋆.
En notant ¯π⋆ : ¯G⋆,SC → G, ¯π⋆,sc : ¯G⋆,SC → GSC et π : GSC → G les homomorphismes naturels, les fl`eches sont
x 7→ (¯π⋆(x), −¯π⋆,sc(x)) pour la premi`ere et
(y, z) 7→ ((1 − θ)(y), y + π(z)) pour la seconde. On pose
Hab0 (F ; I⋆\G) = H2,1,0(F ; ¯T⋆,sc → T⋆× T⋆,sc → (1 − θ)(T⋆) × T⋆). On d´efinit de mˆeme H0
ab(AF; I⋆\G), H0
ab(AF/F ; I⋆\G) et H0
ab(Fv; I⋆\G) pour v ∈ V al(F ). Pour v 6∈ V , on peut choisir T⋆ non ramifi´e en v et on pose
Hab0(ov; I⋆\G) = H2,1,0(ov; ¯T⋆,sc → T⋆× T⋆,sc → (1 − θ)(T⋆) × T⋆).
On pose aussi H0
ab(oV; I⋆\G) =Q
v6∈V H0
ab(ov; I⋆\G). Des notations analogues seront uti-lis´ees dans la suite. Ces d´efinitions ne d´ependent pas du choix de ¯T⋆, `a isomorphismes canoniques pr`es. Les isomorphismes T⋆× T⋆,sc → T⋆ × T⋆,sc (y, z) 7→ (y + π(z), −z) et (1 − θ)(T⋆) × T⋆ → T⋆ × (1 − θ)(T⋆) (y′, z′) 7→ (z′, y′− (1 − θ)(z′))
fournissent un isomorphisme entre le complexe (1) et la somme des deux complexes (2) T¯⋆,sc ¯ π⋆,sc → T⋆,sc 1−θ → (1 − θ)(T⋆) et T⋆ id
→ T⋆. Puisque le deuxi`eme complexe est cohomologiquement trivial, la cohomologie de I⋆\G peut se d´efinir `a l’aide du complexe (2). Comme en 6.2, on voit que l’on peut remplacer le complexe (2) par
(3) S¯sc ¯ π⋆,sc → Ssc 1−θ → (1 − θ)(S). En effet, les deux complexes sont quasi-isomorphes au complexe
On a une suite exacte
Hab0 (F ; G) → Hab0(F ; I⋆\G) → Hab1 (F ; I⋆) → Hab1(F ; G).
Labesse d´efinit E(I⋆, G; F ) comme le conoyau de la premi`ere fl`eche, ou encore le noyau de la troisi`eme. Cf. [Lab1] 3.3. On d´efinit de mˆeme E(I⋆, G; AF), E(I⋆, G; Fv) pour v ∈ V al(F ) et E(I⋆, G; ov) pour v 6∈ V .
Attention. Labesse d´efinit par contre E(I⋆, G; AF/F ) comme le conoyau de l’homo-morphisme compos´e Hab0(AF; G) → Hab0 (AF/F, G) → Hab0(AF/F ; I⋆\G). On a un diagramme commutatif H0 ab(oV; G) → H0 ab(oV; I⋆\G) → E(I⋆, G; oV) → 1 ↓ ↓ ↓ H0 ab(AF; G) → H0 ab(AF; I⋆\G) → E(I⋆, G; AF) → 1 ↓ ↓ ↓ H0 ab(AF; G) → H0 ab(AF/F ; I⋆\G) → E(I⋆, G; AF/F ) → 1
dont les suites horizontales sont exactes. Notons eV : E(I⋆, G; oV) → E(I⋆, G; AF/F ) le compos´e des deux derni`eres fl`eches verticales.
Lemme. On a l’´egalit´e |P0| = |E(I⋆, G; AF/F )/Im(eV)|.
Preuve. Comme on l’a dit ci-dessus, on peut utiliser le complexe (3) pour calculer la cohomologie ab´elienne de I⋆\G. Il s’en d´eduit une suite exacte de cohomologie
H1(AF/F ; ¯Ssc) → H1,0(AF/F ; Ssc 1−θ→ (1−θ)(S))→ Hι 0
ab(AF/F ; I⋆\G) → H2(AF/F ; ¯Ssc). On se rappelle que ¯Ssc ≃ ¯SH¯ est un sous-tore elliptique de ¯H et que H est une donn´ee en-doscopique elliptique de ¯G⋆,SC. Il en r´esulte que ¯Ssc est elliptique, donc H2(AF/F ; ¯Ssc) = 0 d’apr`es les isomorphismes de Tate-Nakayama ( [K3] 3.4.2.1). Avec les notations des paragraphes pr´ec´edents, la suite exacte ci-dessus se r´ecrit
Q1 q1
→ Q→ Hι ab0(AF/F ; I⋆\G) → 0 On voit facilement que l’homomorphisme naturel
(4) Hab0(AF; G) → Hab0(AF/F ; I⋆\G)
est le compos´e de l’homomorphisme naturel du groupe de d´epart dans Q2 et de ι ◦ q2. Notons Q′ le quotient de Q par le sous-groupe engendr´e par q1(Q1) et q2(Q2). On obtient que ι se quotiente en un isomorphisme entre Q′ et le conoyau de (4), c’est-`a-dire E(I⋆, G; AF/F ). Montrons que
(5) cet isomorphisme envoie l’image dans Q′ de q3(Q3) sur Im(eV). Du diagramme
Ssc → S/Z(G)θ
k ↓ 1 − θ ¯
de complexes de tores se d´eduit un homomorphisme H0 ab(AF; G♯) → H0 ab(AF; I⋆\G). Il se restreint en un homomorphisme (6) Hab0 (oV; G♯) → Hab0 (oV; I⋆\G). On obtient un diagramme H0 ab(oV; G♯) → H0 ab(oV; I⋆\G) ↓ ↓ H0 ab(AF; G♯) → H0 ab(AF; I⋆\G) ↓ ↓ H1,0(AF; Ssc 1−θ → (1 − θ)(S)) → H0 ab(AF; I⋆\G) ↓ ↓ H1,0(AF/F ; Ssc 1−θ → (1 − θ)(S)) → H0 ab(AF/F ; I⋆\G) ↓ ↓ Q′ →ι E(I⋆, G; AF/F )
Il est clair que ce diagramme est commutatif. Par d´efinition, l’image de q3(Q3) dans Q′ est l’image de la suite verticale de gauche tandis que Im(eV) est l’image de celle de droite. Pour prouver (5), il suffit donc de prouver que l’homomorphisme (6) est surjectif. On peut aussi bien fixer v 6∈ V et d´emontrer que l’analogue local de (6) est surjectif. Comme on l’a dit, on peut remplacer le tore S et ses divers avatars Ssc etc... par un tore T⋆ et ses avatars T⋆,sc etc... comme au d´ebut du paragraphe et on peut supposer que ce tore est non ramifi´e en v. L’analogue local de (6) se factorise en
(7) Hab0 (ov; G♯) = H1,0(ov; T⋆,sc → T⋆/Z(G)0) → H1,0(ov; T⋆,sc 1−θ → (1 − θ)(T⋆)) → H1,0(ov; ¯T⋆,sc → T⋆,sc 1−θ → (1 − θ)(T⋆)) = Hab0(ov; I⋆\G).
La deuxi`eme fl`eche est surjective car son conoyau s’envoie injectivement dans H2(ov; ¯T⋆,sc) qui est nul ([KS] lemme C.1.A). L’homomorphisme entre complexes de tores donnant naissance `a la premi`ere fl`eche se compl`ete en une suite exacte de complexes de tores
1 ↓ 1 → Tθ ⋆/Z(G)θ ↓ ↓ T⋆,sc → T⋆/Z(G)0 ↓ ↓ 1 − θ T⋆,sc 1−θ → (1 − θ)(T⋆)) ↓ ↓ 1 1
Le conoyau de la premi`ere fl`eche de (7) s’envoie donc injectivement dans H1(ov; Tθ
⋆/Z(G)θ) qui est nul car Tθ
⋆/Z(G)θ est connexe ([KS] lemme C.1.A). Cette fl`eche est donc surjec-tive. La surjectivit´e des deux fl`eches de (7) entraˆıne l’assertion cherch´ee. Cela prouve (5).
Cette assertion prouve que le nombre d’´el´ements de E(I⋆, G; AF/F )/Im(eV) est ´egal `a celui du quotient de Q par le sous-groupe engendr´e par les qj(Qj) pour j = 1, 2, 3. Ce sous-groupe n’est autre que Q0. Mais le lemme 6.6 dit que P0 et Q/Q0 sont des groupes (finis) duaux. D’o`u l’´egalit´e
|P0| = |Q/Q0|. Le lemme en r´esulte.