B. Cal uls Numériques 115
B.2. Cal ul de la haleur spé i que
B.2. Cal ul de la haleur spé i que
Pourdéterminerlaformuleopérationnelledela haleurspé i quepourun système de bosons et d'éle trons en intera tion, nous partons de l'énergie interne U exprimée ommelamoyennede l'hamiltoniendu BFMdans l'espa e de FourierH =H
0 +H int . Nous avons : U(T)=<H > = 2 N X k k < + k k >+ B N X q <S z q + 1 2 >+ + v <TF ( X i S + i i# i" +S i + i" + i# ) >= = 2 N X k k n F k + B n B 2 N X q;!m (q;! m )K(q;! m )
Pourobtenirlamoyenne<H int
>,letermed'intera tiondansl'espa eréelaété,avant tout,développéen diagrammesde Feynmanetsatransformée de Fourieraensuiteété ee tuée. Lerésultat sous formede diagrammeest montré dans la gure B.1.
Le al ul des ontributions inétiques de U est immédiat ar la solutiondes équa-tionsintégralesduBFMnouspermetd'évaluerlesnombresd'o upationfermioniques et bosoniques. En e qui on erne le terme d'é hange, notre onnaissan e de la
self-énergie et de lafon tion de Green K étant limitée à un nombre de fréquen es ni, il faut trouver une façon approximée de al uler la somme sur !
m
de 1 à +1.
Même si nous savons déjà que la ontribution des termes à fréquen e élevée ne sera pas très importante ar leproduit (q;!
m
)K(q;! m
numérique, nous in ite àne pas prendre de risques en négligeant une partie que nous ne savons pas estimera priori. Noussuivons don la mêmestratégieque elle utilisée dans le al ul des self-énergies et nous approximons le produit (q;!
m )K(q;! m ) par 0 (q;! m )K 0 (q;! m ) en dehorsde lafenêtre m 2[ M f ;M f
℄. D'i i nous avons :
<H int > = 2 N X q 8 < : M f X ! m = M f (q;! m )K(q;! m ) b 0 (q;! m )K 0 (q;! m ) + v 2 N X k 1 X m= 1 1 n F (" q k ) n F (" k ) i! m " q k " k b i! m E 0 )
En al ulantanalytiquementla somme sur m, nous obtenons nalement :
<H int > = 2 N X q 8 < : M f X !m= M f (q;! m )K(q;! m ) b 0 (q;! m )K 0 (q;! m ) + v 2 N X k bz(q;k) 2[E 0 +w(q;k)℄ oth E 0 2 + oth w 2
oùnous avons :
z(q;k) = 1 n F (" q k ) n F (" k ) w(q;k) = " q k " k :
Pour ertaines valeurs deq etk,laquantité E 0
+w(q;k)tendvers zéroetil fautdon gérer es asdefaçonàélimineranalytiquement ettesingularitégrâ eaunumérateur. En eet, en al ulant lalimite, nous obtenons :
lim E 0 +w(q;k)!0 z E 0 +w 2 e (E 0 +w) 1 1 e w e E 0 +e (E 0 +w) = 2z 2 e w e E 0
oùzetwsontlesvaleursdezetw al uléespourlesketqpourlesquelsE 0
+w(q;k)! 0.
C V
(T)=
dU(T) dT
doit don être ee tué sur une interpolationpolynomiale de l'énergie.
B.2.1. Cal ul de C V
pour un gaz de bosons et fermions sans
intera tion
Par omparaison ave le as pré édant, nous al ulons aussi la haleur spé i que d'un gazde bosonsde oeur duretde fermions libressans intera tiond'é hangeentre eux.
Pour les fermionsnous avons :
E F kin = 2 N X k k 1 e " k +1 " k = k =0:5 0:5 os(k) où " k
est la relation de dispersion pour des éle trons sur un réseau 1D, normalisée à la valeur de la bandeéle tronique .Pour lesbosons de oeur dur nous avons :
E B kin = 1 N X q B 1 e E0 1
Le potentiel himique est hoisi de telle manièreque
n tot =2n F +2n B = 2 N X k 1 e " k +1 + 2 e E 0 1
soit elui imposé. La haleur spé i que est naturellement:
C V (T)= dU(T) = d E F kin (T)+E B kin (T) :
L'hamiltonien àétudier est : H = 2J S + 1 S 2 +S + 2 S 1 +E 0 (S z 1 +S z 2 )
oùlesopérateurs sontlesopérateursde spin S dé nisdansleparagraphe2.2.Pour les ve teurs d'états nous utilisonsla notation:
j+>= j"> j >= j#>:
Les ve teurs et valeurs propres, al ulables en diagonalisant la matri e asso iée à H dans la base jfg>jfg>,sont lessuivants :
jx> = j >j >=j > jz > = j++> ju> = 1 p 2 (j+ > j +>) jv > = 1 p 2 (j+ > j +>) x = E 0 z = E 0 u = J v = J:
pouvons al uler: A B 12 (!) = 2 Z X nm e E m e E n 1nm + 2mn Æ(! E m +E n ) = 2 Z e J +e J e E 0 e E 0 2Z Æ(!+J E 0 )+ e J +e J e E 0 e E 0 2Z Æ(! J E 0 ) où Z = P 4 n=1 e En = e E0 +e J +e J +e E0
. La formule de normalisation A.21 est respe tée ar (dansle al ul pré édent nous avons imposé que lesite 1et 2soient diérents): Z +1 1 d! 2 A B 12 (!)=0:
Nous al ulons aussi lafon tion spe trale A 11 (!) : A B 11 (!) = 2 Z X nm e E m e E n 1nm + 1mn Æ(! E m +E n )= = 2 2Z f[sinh( J) sinh( E 0 )℄Æ(!+J E 0 )+ [sinh( J)+sinh( E 0 )℄Æ(! E 0 J)g d'où : Z +1 1 d! 2 A B 11 (!)= sinh( E 0 ) 2 osh ( E 0 )+2 osh( J) :
Nous remarquons que, aussi dans e as, la ondition A.21est satisfaite ar :
<S z 1 >= 1 Z 4 X n=1 e En <njS z i jn >= sinh( E 0 ) 2 osh ( E 0 )+2 osh( J) :
On peut aussi véri erque :
A B 22 = A B 11 A B 21 = A B 12
Enutilisantl'ensemble de fon tionsorthogonales n e ikm 2 N o oùN =2etk 2f1;2g
e A kl = X mn A B mn e i(mk+nl ) d'où : e A 11 = 2A B 11 2A B 12 = 2 Z e E0 e J Æ(!+J E 0 )+ e J e E0 Æ(! J E 0 ) e A 22 = 2A B 11 +2A B 12 = 2 Z e E0 e J Æ(! J E 0 )+ e J e E0 Æ(!+J E 0 ) e A 12 = e A 21 =0
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