4.1 P OSITION DES PROBLÈMES DE RADIATION ET DE DIFFRACTION
4.1.2 Cadre fonctionnel
Maintenant que les conditions de rayonnement ont été énoncées, voyons dans quel espace fonc- tionnel nous allons chercher les solutions des problèmes de radiation et de diffraction. Tout d’abord, remarquons qu’a priori, φ(x, .) /∈ L2(R+). En effet, dans le cas d’un milieu homogène
(k0 = k∞), nous savons que le champ diffracté décroît comme 1/
√
r, où r =√x2+ z2. Ainsi, pour
pouvoir appliquer la transformation de Fourier généralisée, nous avons besoin d’étendre la trans- formation de Fourier généralisée à un espace plus gros que L2(R+). Cette extension est décrite
en annexe de ce chapitre : section 4.4. On montre que la transformation de Fourier généralisée
F±s’étend à un isomorphisme entre un espace de distributions physiques, notéS′
A±(R+), et un
espace de distributions spectrales, noté bSA′ ±(Λ±), tous les deux similaires à l’espace de Schwartz
S′(R). Pour la construction de ces espaces de distributions, une condition s’impose : on ne doit
pas se situer sur une fréquence de coupure du guide d’ondes. Nous supposerons donc que l’on n’est ni sur une fréquence de coupure du demi-guide de gauche ni sur une fréquence de coupure du demi-guide de droite. Ceci impose :
k20− k2∞̸= ( n + 1 2 )2 π2 (h±)2, pour tout n∈ N. (4.2)
Nous supposerons que pour ±x ≥ 0, φ(x, .) est dans l’espace de distributions SA′±(R+), pour
pouvoir lui appliquer la transformation de Fourier généralisée. Mais ceci ne nous suffira pas ! Nous allons chercher maintenant à être un peu plus précis sur l’espace fonctionnel dans lequel nous allons chercher φ(x, .). Notre point de départ est le suivant : nous savons que la quantité suivante : ℑm (∫ R+ ∂φ ∂|x|(x, z) φ(x, z) dz )
correspond au flux d’énergie longitudinal sortant à travers la section{x} × R+. Nous allons im- poser à notre solution de vérifier que le flux d’énergie à travers n’importe quelle section verticale soit fini. Mais en fait nous allons avoir besoin d’une hypothèse un peu plus forte (pour des raisons techniques qui apparaîtront dans la suite) : nous allons imposer
∀x ∈ R, ∫ R+ ∂φ ∂|x|(x, z) φ(x, z) dz < +∞.
Bien entendu, cette dernière hypothèse implique que les flux d’énergie à travers n’importe quelle section verticale sont finis. Supposons, pour un instant (ce sera pleinement justifié par la suite), que l’on ait une formule de Parseval. On obtient alors en utilisant la condition de rayonnement (R±): commeF±φ(±a, λ) = bα±λ et (∂/∂|x|)F±φ(±a, λ) = −√λbα±λ,
∫ R+ ∂φ ∂|x|(±a, z) φ(±a, z) dz = ∫ Λ± ∂F±φ
∂|x| (±a, λ) F±φ(±a, λ) dmes
±(λ) =∫
Λ±
−√λ|bα±λ| dmes±(λ).
Il apparaît alors naturel de chercher bα±λ dans l’espace suivant : b V±:= { buλ: Λ±→ C, |λ|1/4buλ ∈ L2(Λ±; dmes±) } .
Faisons quelques remarques sur cet espace bV±. C’est un espace de Hilbert équipé du produit scalaire suivant (bu, bv)Vb± := ∫ Λ± √ |λ| buλbvλdmes±(λ).
Par ailleurs, cet espace est inclus dans l’espace de distributions spectrales bSA′±(Λ±). Il est donc
licite d’appliquer la transformation de Fourier généralisée inverse à n’importe quel élément de b
V±. Nous définissons alors V± := (F±)−1Vb±. L’espace V± est alors également un espace de Hilbert avec comme produit scalaire :
(u, v)V± := (F±u,F±v)Vb±.
Tout ceci nous amène à chercherbα±dans l’espace bV±. En d’autres termes, cela revient à imposer :
φ(x, .)∈ V±pour tout±x ≥ a. Nous allons en fait imposer cette condition dans tout le domaine (et pas uniquement en dehors de la perturbation) : nous allons imposer à la solution φ de vérifier la condition suivante : φ(x, .)∈ V±pour tout±x ≥ 0.
Remarque 4.4 : Noter que si buλ ∈ bV±, alorsbuλ est une fonction de λ. Ainsi, la décomposition modale
(4.1) est pleinement justifiée (voir la section annexe 4.4).
Voici maintenant une propriété qui nous donne davantage de renseignement sur les éléments de
V±.
Proposition 4.1 Nous avons les injections continues suivantes :
H1/2(R+)⊂ V±⊂ Hloc1/2(R+).
Plus précisément, si u∈ V±, alors il existe ua∈ C0(R+)avec lim
z→+∞ua(z) = 0et ub ∈ H1/2(R+)tels
Démonstration. Nour reproduisons ici une démonstration présente dans [Til01]. On utilise la théo-
rie de l’interpolation des opérateurs autoadjoints positifs. Cette théorie est développée dans le livre de Lions et Magenes [LM68]. Le point de départ est un opérateur autoadjoint positif, que l’on va noter M , sur un espace de Hilbert E, qui vérifie, pour δ > 0
(M u, u)E ≥ δ∥u∥2E, ∀u ∈ D(M).
Pour nous, l’espace E est L2(R+)et l’opérateur M est A±+ (k±
0)2+ δ. Le domaine de M , D(M ),
est alors égal au domaine de A±. La théorie nous dit alors que le domaine de M1/2est le domaine
de la forme sesquilinéaire associée à l’opérateur M , i.e. pour notre opérateur H01(R+). Par ailleurs, le domaine de l’opérateur à n’importe quelle puissance α∈ [0, 1] peut-être défini comme suit :
D(Mα) = {
u∈ E, ∥(I + Mα/2)u∥2E < +∞
}
.
Dans notre cas, en utilisant la proposition 4.11 (voir l’annexe 4.4), on a alors :
D(M1/4) = { u∈ L2(R+),∥(I + M1/4)u∥L2(R+)< +∞ } = { u∈ L2(R+),∥ ( 1 + γ1/4 ) F±u(λ)∥L2(Λ±;dmes±)< +∞ } , où γ = λ + (k±0)2+ δ.
Par ailleurs, comme D(M )⊂ H2(R+)et E = L2(R+), on a alors D(M1/4)⊂ H1/2(R+). Rappelons nous que la norme sur V±est définie par :
∥u∥2 V± =∥|λ| 1/4F±u(λ)∥ L2(Λ±;dmes±). Or, ∃C > 0 telle que ∀λ ∈ Λ±, |λ|1/4≤ C(λ + (k± 0)2+ δ)1/4. (4.3)
Donc,∥u∥2V±≤ C∥u∥D(M1/4). Par conséquent D(M1/4)est inclus dans V±.
On recherche maintenant une inclusion dans l’autre sens. Pour cela, on cherche une inégalité du type (4.3) mais dans l’autre sens, ce qui n’est pas possible directement à cause de λ = 0. On utilise alors une fonction de troncature bχ valant 1 au voisinage de 0 et 0 en dehors d’un voisinage de 0 (cf. figure 4.3). On écrit alors, pour u∈ V±,
FIGURE4.3 – Fonction de troncaturebχ.
F±u(λ) =bua
λ+bubλ, oùbuaλ := bχ(λ)F±u(λ)etbubλ:= (1− bχ(λ))F±u(λ).
Par le théorème de Riemann-Lebesgue (proposition 4.15, voir l’annexe 4.4), comme buaλ est une fonction intégrable (on peut le voir en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz,|λ|−1/2étant inté- grable en 0), (F±)−1(bua)est une fonction continue et qui tend vers 0 à l’infini.
Par ailleurs, sur le support de bubλ, comme on a enlevé un voisinage de 0, il existe une constante
C > 0telle que pour tout λ∈ supp(bub
λ), (λ+(k±0)2+δ)1/4 ≤ C|λ|1/4.Donc, (F±)−1(bub)∈ D(M1/4).
Remarque 4.5 : Si nous décomposons φ(x, z) de la même manière que dans la propriété 4.1 : φ = φa+ φb, alors on a φb(x, .)∈ H1/2(R+),pour tout x∈ R, et φa correspond à la contributions des modes
autour de λ = 0, i.e. les modes qui se propagent dans une direction proche de la verticale.
Dans les conditions de rayonnement modale (R−)et (R+), nous imposons un comportement sortant dans
la direction longitudinale. Mais nous n’imposons rien dans la direction transverse. Il est naturel d’imposer également un certain comportement dans la direction transverse, c’est le cas avec la condition φ(x, .)∈ V± pour tout±x ≥ 0.
Finalement, remarquons que l’égalité de Parseval utilisée ci-dessus est pleinement justifiée. La condition de rayonnement modale nous assure que ∂F±φ/∂x∈ (bV±)′, où ( bV±)′ est l’espace dual de bV±(i.e. l’ensemble de toutes les formes continues et antilinéaires sur bV±), défini par
( bV±)′:= {
buλ : Λ±→ C, |λ|−1/4buλ ∈ L2(Λ±; dmes±)
}
.
Cet espace ( bV±)′ est inclus dans l’espace des distributions spectrales bSA′±(Λ±). Nous pouvons
donc appliquer la transformation de Fourier généralisée inverse : ∂φ/∂x ∈ (V±)′, où (V±)′ := (F±)−1( bV±)′ et l’égalité de Parseval utilisée est simplement l’effet de (F±)−1 sur le produit de dualité entre ( bV±)′ et bV±:
⟨bu, bv⟩( bV±)′, bV± =⟨(F±)−1bu, (F±)−1bv⟩(V±)′,V± pour toutbu ∈ (bV±)′etbv ∈ bV±.
Nous équipons les espaces ( bV±)′et (V±)′des normes suivantes :
∥u∥(V±)′ =∥F±u∥( bV±)′ =∥λ−1/4F±u∥L2(Λ±;dmes±), ∀u ∈ (V±)′.
Nous somme désormais en mesure de définir les espaces fonctionnels dans lesquels nous allons chercher la solution.
Définition 4.2 SoitO± := R±× R+ le domaine correspondant au demi-guide de gauche ou de droite pour la jonction abrupte. Nous définissons
H± := {φ∈ H1
loc(O±), φ(x, .)∈ V±pour tout ± x ≥ 0
}
, H := {φ∈ Hloc1 (O), φ|O−∈ H−et φ|O+ ∈ H+
}
.
Remarque 4.6 : Nous allons rechercher la solution dans H. Remarquer que cet espace dépend de la position de Σ = {0} × R+, l’interface entre les deux demi-guides d’ondes. Ce n’est pas complètement
satisfaisant, puisque cette position a un caractère non intrinsèque à notre problème posé dans la jonction épaisse. Cependant, nous conjecturons que V− = V+. En effet, un résultat similaire a été démontré, dans un cas plus simple, dans la thèse d’Axel Tillequin [Til01].