4.3 U NICITÉ DES PROBLÈMES DE RADIATION ET DE DIFFRACTION
4.3.3 Analyticité dans la variable spectrale
Dans cette sous-section, nous allons montrer la proposition suivante :
Proposition 4.9 Si φ est solution du problème (Prad)homogène, alors pour tout±x ≥ a, F±φ(x, λ),
en tant que fonction de λ ∈ Λc, se prolonge par continuité en une fonction analytique (par rapport à λ)
dansQ := {ξ ∈ C, ℜe(ξ) > −k2
∞,ℑm(ξ) < 0}.
La figure 4.10 représente le spectre et l’ensembleQ.
FIGURE4.10 – Représentation du spectre (en rouge, spectre ponctuel : les croix, spectre continu : le trait continu) et
deQ (en jaune).
Pour démontrer ce résultat, nous allons utiliser le résultat de la proposition 4.8. Puis, combinant les résultats des propositions 4.7 et 4.9, nous allons être en mesure de démontrer le résultat prin- cipal de cette section : le théorème 4.4.
Démonstration. (proposition 4.9). Nous utilisons pour cela la décomposition de la solution φ = φ1+ φ2. Pour φ1, nous avons vu à la proposition 4.3 queF±φ1se prolonge par continuité en une
fonction analytique dansC \ iR+, donc en particulier dansQ.
Maintenant, qu’en est-il deF±φ2? Nous savons queF±φ2 = F±u e−
√
λ|x|. Ainsi, les propriétés
le cas debu+λ =F+u(λ). Bien entendu, la même procédure peut être appliquée pourbu−λ =F−u(λ). Nous savons que u est solution de (4.18), ce que nous pouvons réécrire :
√ λbu+λ +F+(F−)−1√λF−(F+)−1bu+λ =F+ [ ∂φ1 ∂x ] Σ . (4.30) Remarquer queF+ [ ∂φ1 ∂x ] Σ=bv + λ − F +(F−)−1bv− λ où bv± λ := ∫ O± ∂γλ± ∂x (0, x ′) Φ± λ(z′) [ k2(x′, z′)− k2⋆(x′, z′)]φ(x′, z′) dx′dz′.
Nous pouvons intervertir les signes dérivée et intégrale puisque nous intégrons sur un compact. Dans la proposition 4.3, on montre quebvλ±se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ. Nous voulons démontrer que bu+λ a la même propriété. En regardant l’équation (4.30), nous voyons que les termes suivants interviennent :F+(F−)−1bvλ−et/ouF+(F−)−1√λF−(F+)−1bu+λ. Dans les deux cas, apparaissent les opérateursF−(F+)−1etF+(F−)−1. Nous allons avoir besoin
d’un résultat permettant de transférer des propriétés d’analyticité entreF−etF+. Ce résultat est
le suivant :
Lemme 4.6 Pour tout w∈ L1(R+), pour tout λ∈ Λ
c,
F+w(λ) = σ
λF−w(λ) + eFw(λ),
où σλet eFw(λ) se prolongent par continuité en des fonctions analytiques (par rapport à λ) dans Q.
Nous reportons la preuve de ce lemme après la démonstration de la proposition 4.9. Notons que dans les hypothèses de ce lemme, la fonction w appartient à L1(R+), nous allons voir que c’est la
raison pour laquelle nous avions besoin de démontrer la proposition 4.8 à la sous-section précé- dente.
Traitons pour commencer le terme F+(F−)−1bv−
λ. Remarquer que (F−)−1bvλ− = ∂φ−1/∂x|Σ ∈
L1(R+)(cf. proposition 4.3, premier point). Ainsi, en utilisant le lemme 4.6, on obtient :
F+(F−)−1bv−
λ = σλvλ−+ eF
∂φ−1 ∂x |Σ.
Grâce aux propriétés de σλ et de eF, nous déduisons que F+(F−)−1bv−λ se prolonge par continuité
en une fonction analytique dansQ.
Regardons maintenant le termeF+(F−)−1√λF−(F+)−1bu+λ. Nous suivons la même procédure. Nous avons : (F−)−1√λF−(F+)−1bu+
λ = ∂φ−2/∂x|Σ ∈ L1(R+)grâce à la proposition 4.8. Donc en
utilisant le lemme 4.6, nous obtenons :
F+(F−)−1√λF−(F+)−1bu+ λ = σλ √ λF−(F+)−1bu+λ + eF ∂φ − 2 ∂x |Σ.
De même, (F+)−1bu+λ = φ|Σ ∈ L1(R+). Ainsi, en utilisant le lemme 4.6,
F−(F+)−1bu+ λ = 1 σλ bu + λ − 1 σλ e Fφ|Σ.
On en déduit que l’équation (4.30) se réécrit : comme ∂φ/∂x = ∂φ−1/∂x + ∂φ−2/∂xsur Σ, 2√λbu+λ =√λ eFφ|Σ − eF
∂φ
∂x|Σ + bv
+
Le second membre de cette équation se prolonge par continuité en une fonction analytique dans
Q (en utilisant les propriétés de σλ et de eF). Nous en déduisons qu’il en est de même pour bu+λ.
Ceci achève la preuve.
Démonstration. (lemme 4.6).
Le premier point consiste à montrer que pour λ∈ Λc, la fonction propre généralisée Φ+λ peut être
vue comme une perturbation de la fonction propre généralisée Φ−λ :
Φ+λ(z) = σλΦ−λ(z) + eΦλ(z), (4.31)
où σλ est une fonction qui se prolonge par continuité en une fonction analytique dans Q et où
eΦλ(z)est une onde entrante : elle se prolonge de ΛcdansQ en une fonction analytique vis-à-vis de
λet en une fonction exponentiellement décroissante par rapport à z quand z→ +∞ : de la forme
dλe−iβ∞z, où l’on rappelle que β∞=
√
λ + k2
∞.
Pour démontrer ce premier point, nous allons utiliser la décomposition des fonctions propres généralisées (1.12), vue au chapitre 1. Les fonctions Θ±λ et Ψ±λ sont définies par (1.9)-(1.10). On en déduit l’équation (4.31) avec
σλ :=
Θ+λ(0)
Θ−λ(0) et eΦλ := Φ
+
λ(z)− σλΦ−λ(z).
Montrons maintenant les propriétés de σλ. Nous allons montrer qu’il existe deux constantes C1 >
0, C2 > 0telles que pour tout λ∈ Q ∪ Λc,
C1 <|Θ±λ(0)| < C2. (4.32)
Pour tout λ∈ Λc, l’équation (4.32) vient du fait que nous excluons la possibilité d’avoir Θ±λ(0) = 0.
En effet, nous avons supposé que nous ne nous situons ni sur une fréquence de coupure du demi- guide de gauche ni sur une du demi-guide de droite.
DansQ, Θ±λ(0)est une fonction analytique qui ne s’annule pas. En effet, dans le cas contraire, la décomposition (1.12) nous permettrait de montrer que Φ±λ est proportionnelle à Θ±λ. Mais Θ±λ est exponentiellement décroissant par rapport à z pour tout λ∈ Q. Ainsi, λ serait une valeur propre de A±, ce qui n’est possible que pour λ∈ Λ±p, qui n’intersecte pasQ.
Ainsi, nous déduisons de l’équation (4.32) que σλ se prolonge par continuité en une fonction
analytique dansQ.
Traitons maintenant eΦλ(z). On a : eΦλ(z) est analytique pour tout λ ∈ Q. De plus, pour z ≥
max(h−, h+), la définition de eΦλ(z)se simplifie :
eΦλ(z) = Θ+λ(0) 2iβ∞ ( Ψ−λ(0) Θ−λ(0)− Ψ+λ(0) Θ+λ(0) ) e−iβ∞z,
ce qui permet de montrer que eΦλ(z)est une onde entrante.
La deuxième étape consiste à définir eF : e
Fw(λ) :=
∫
R+
w(z) eΦλ(z) dz, ∀λ ∈ Λc.
Comme w ∈ L1(R+), en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, nous véri-
fions que eFw se prolonge par continuité dans Q. Puis, pour λ ∈ Q, comme eΦλ(z)est une onde
entrante (exponentiellement décroissante par rapport à z), nous déduisons que eFw est analytique dansQ. Ceci achève la preuve du lemme.
Remarquer que c’est grâce au caractère L1de w que l’on a continuité de eFw(λ) sur Λc∪ Q.
Nous sommes maintenant en mesure de donner la preuve du résultat principal de cette section : le théorème 4.4.
Démonstration. (théorème 4.4). Soit±x ≥ a. En utilisant le résultat de la section 4.3.1, nous avons : F±φ(x, λ) = 0,∀λ ∈ Λ±∩R−. Puis, en utilisant celui de la section 4.3.3, nous avons :F±φ(x, λ), en
tant que fonction de λ∈ Λc, se prolonge par continuité en une fonction analytique dansQ. Ainsi,
en utilisant le principe de réflexion de Schwarz pour les fonctions analytiques (cf. [Con78, section IX.1]), comme F±φ(x, λ)est réelle sur Λc ∩ R− (puisque qu’elle est nulle), nous déduisons que
F±φ(x, λ)se prolonge dans{ζ ∈ C, ℜe(ζ) > −k2
∞} \ R+et que ce prolongement est analytique
par rapport à λ. Puis, en appliquant le principe des zéros isolés, nous déduisons queF±φ(x, λ)
est égal à 0 dans tout le domaine{ζ ∈ C, ℜe(ζ) > −k2∞} \ R+. Enfin, par continuité, nous avons :
F±φ(x, λ)s’annule pour tout λ∈ Λ c.
Ainsi, nous avons démontré que pour tout|x| ≥ a, pour tout z ∈ R+, φ(x, z) = 0. Par principe
de prolongement unique (voir par exemple [CK98, lemme 8.5] où le cadre fonctionnel n’est pas le même qu’ici mais le résultat reste valide dans notre configuration), nous déduisons que φ = 0. Remarque 4.9 : Dans la démonstration (ci-dessus) du théorème 4.4, nous avons utilisé le fait que les zéros réels d’une fonction analytique dansQ et continue sur Q forment un sous-ensemble fermé de R de mesure nulle. Noter qu’ils peuvent contenir un point d’accumulation. Penser par exemple à cos(1/λ), qui a un point d’accumulation de zéros en 0. C’est une situation un peu différente de ce dont on a l’habitude avec les fonctions analytiques : les zéros d’une fonction analytique non nulle dans un ouvert n’ont pas de point d’accumulation. La différence réside dans le fait que les zéros sont soit sur le bord ou soit à l’intérieur du domaine d’analyticité.
G
ÉNÉRALISATIONS POSSIBLES DE LA DÉMARCHENous avons montré le caractère bien posé du problème de diffraction et de radiation dans la jonction entre deux guides d’ondes ouverts, dans le cas particulier où les guides d’ondes sont bidimensionnels. Pour simplifier les équations, nous avons imposé une condition de Dirichlet en z = 0 (sur Γ). Mais, moyennant aménagements (notamment en construisant précisément la transformation de Fourier généralisée adaptée et son extension aux espaces de distributions), il nous semble que l’on peut généraliser l’approche pour des problèmes 2D ou 3D plus généraux, du type div(µ∇).
Par contre, il semble que l’approche ne se généralise pas directement pour des problèmes vecto- riels. Si au lieu de l’équation de Helmholtz, nous avons les équations de Maxwell, par exemple, l’équivalent de l’équation (4.18) ne relève plus du théorème de Lax–Milgram.
Nous avons vu, à la remarque remarque 4.6, que nous conjecturons que V− = V+. Cela vient du fait que k∞− = k∞+. Dans le cas où k∞− ̸= k∞+, nous sommes confronté à un dioptre et nous pensons que V− ̸= V+ et que V−∩ V+ = H1/2( R+) (voir la thèse d’Axel Tillequin [Til01] où cela est
démontré dans un cas plus simple où la transformation de Fourier généralisée n’est en fait que la symétrisée de la tranformation de Fourier standard, autrement appelée transformation de Fourier cosinus). Par ailleurs, dans le cas où k∞− ̸= k+
∞, nous devons modifier la sous-section 4.3.2 car
nous ne pouvons plus utiliser une transformation de Fourier standard dans la direction x, nous devons utiliser une transformation de Fourier généralisée également dans la direction x. Enfin, le cas k0− ̸= k0+ne pose pas de difficulté supplémentaire par rapport à ce qui a été fait ici, cela ne change strictement rien à la démonstration.
À titre de remarque, voyons ce qui se passe dans le cas de guides fermés. Comme nous l’avons déjà vu en introduction de la thèse, nous pouvons développer le même genre de conditions de rayonnement modales, la différence essentielle réside dans le fait que le spectre de l’opérateur transverse est exclusivement discret. Cela implique une différence essentielle par rapport aux guides ouverts. Nous n’avons plus la propriété d’analyticité (de la sous-section 4.3.3) et donc même si le problème relève toujours de l’alternative de Fredholm, l’unicité n’est pas assurée. Par contre, les composantes propagatives de la solution du problème homogène sont toujours nulles, par le même genre d’arguments sur les flux d’énergie (sous-section 4.3.1). Mais il peut rester des composantes évanescentes. Cela est du au fait qu’il peut y avoir des modes piégés par la structure (voir par exemple [ELV94]). Dans le cas d’un guide d’ondes ouvert, de tels modes piégés sont impossibles.
Enfin, notons que toute cette étude théorique pourrait donner naissance à une méthode numé- rique. Cette méthode numérique a été développée, pour la jonction abrupte notamment, dans la thèse d’Axel Tillequin [Til01]. Mais il s’avère qu’elle n’est pas très efficace numériquement, puis- qu’elle repose sur la transformation de Fourier généralisée et que le calcul des intégrales a semblé difficile. Nous avons donc décidé d’utiliser d’autres méthodes pour calculer numériquement la solution, c’est l’objet du chapitre suivant.