Un cadre conceptuel proposé par Guy Brousseau pour aborder l’enseignement de la

Comment modéliser les situations d’enseignement ? Il est important dès à présent, de repréciser la référence retenue derrière les termes situation, situation-problème… Guy Brousseau explique le travail de l’élève en ces termes (BROUSSEAU, 1996, pp. 48 – 49) :

« Savoir des mathématiques, ce n’est pas simplement apprendre des définitions et des théorèmes, pour reconnaître l’occasion de les utiliser et de les appliquer ; nous savons bien que faire des mathématiques implique que l’on s’occupe des problèmes. […] Une bonne production par l’élève exigerait qu’il agisse, qu’il formule, qu’il trouve, qu’il construise des modèles , des langages, des concepts, des théories, qu’il les échange avec d’autres, qu’il reconnaisse celles qui sont conformes à la culture, qu’il lui emprunte celles qui lui sont utiles, etc. Pour rendre possible une telle activité, le professeur doit donc imaginer et proposer aux élèves des situations qu’ils puissent vivre et dans lesquelles les connaissances vont apparaître comme la solution optimale et découvrable aux problèmes posés. »

Les « problèmes ne sont donc que des éléments d’une organisation didactique plus large – la situation – qui comprend, entre autre : des questions, des méthodes, des heuristiques, des informations. » (PORTUGAIS, 1995, p. 35). Pour faire référence au concept de situation didactique, nous nous permettrons dans un premier temps de faire un retour sur l’analyse que Jean Brun accorde à l’œuvre de Guy BROUSSEAU (BRUN, 1996, pp. 11 et 12). La guidance par le professeur, garantit la désignation des objets étudiés et l’ordonnancement de l’apprentissage des savoirs mais cette genèse fictive oublie du même coup, l’histoire des savoirs et le tâtonnement qui a accompagné sa constitution. Elle traduit aussi la différence entre ce qui serait à attendre d’un enseignement de la statistique (le savoir savant) et ce qu’il en résulte en acte dans la classe (le savoir scolaire). Cette transposition didactique au sens de Yves Chevallard (CHEVALLARD, 1985) traduit la somme des transformations imposées par les programmes scolaires et interprétées ensuite par l’action du maître. L’étude conduite ici, s’est penchée de fait sur les deux, par l’analyse des contenus des

manuels scolaires utilisés et écrits par les professeurs. La recherche en didactique ne peut occulter le regard posé sur les situations didactiques pour lesquelles, Guy BROUSSEAU (1986), nous invite à nous arrêter pour observer deux risques particulier, qui prennent tout leur sens dans le cas de la statistique : celui du glissement cognitif et celui de l’usage abusif de l’analogie. Dans les deux cas, l’enseignement de la statistique se présente comme un apport didactique à la didactique des mathématiques. Le premier, le glissement cognitif, constitue l’écueil par lequel l’élève se trouve engagé par un glissement de situation, à limiter son approche à une simple validation, de façon naïve, d’un moyen heuristique, proposé par le maître. Il y a déplacement d’un moyen d’enseignement qui devient alors objet au centre d’un enseignement. Une partie de notre recherche est en phase avec cette remarque qui fait que du côté des concepteurs de manuels comme de nous-même, observateur, la confusion fut grande entre recherche d’une présence statistique et celle de compétences attendues des élèves, à analyser, lire et opérer uniquement à partir de tableaux, graphiques, diagrammes ! La seconde, l’usage abusif de l’analogie, suggère à l’élève de percevoir les indices du maître plutôt que d’investir le problème. Là aussi, nous constaterons dans la partie 3, qu’un lien très fort s’établit entre support et tâche demandée à l’élève au risque important d’imposer ce lien spontané avant toute demande d’effort de compréhension et de choix réfléchi par l’élève, d’un enchaînement d’actions, propre à la résolution de la situation concernée.

L’apprentissage de la statistique, requestionne l’enseignant à propos des distinctions portant sur les notions de situations didactiques, situations non didactiques et situations a-didactiques. Dans notre réflexion, il relance deux remarques à leur égard : que veut dire donner sens à une situation proposée aux élèves et quelle peut être l’intention pédagogique attendue en retour ? Très souvent la statistique est perçue comme moyen d’octroyer du sens aux élèves en donnant la possibilité de les immerger dans un cadre de problèmes qui leur est familier. Or, comme le rappelle Gérard Vergnaud (VERGNAUD, 1996, p. 287) :

« Ce sont les situations qui donnent du sens aux concepts mathématiques, mais le sens n’est pas dans les situations elles-mêmes. Il n’est pas non plus dans les mots et les symboles mathématiques. Pourtant on dit qu’une représentation symbolique, qu’un mot ou qu’un énoncé mathématique, ont du sens ou plusieurs sens, ou pas de sens pour tels ou tels individus ; on dit aussi qu’une situation a du sens ou n’en a pas. Alors qu’est-ce que le sens ? Le sens est une relation du sujet aux situations et aux signifiants. Plus précisément, ce sont les schèmes évoqués chez le sujet individuel par une situation ou un signifiant qui constituent le sens de cette situation ou de ce signifiant pour cet individu. »

Le cadre familier n’est pas une garantie pour l’élève de tisser des liens entre données de départ, finalité recherchée, enjeu personnel, évocation d’enchaînement d’actions de traitement de ces données, supports de présentation employés, etc. Pour ce qui est de l’intention pédagogique, il ressort de l’analyse des manuels, une confusion quasi-permanente entre tâches et activités à l’encontre de l’élève mais aussi du maître. Les apports n’expriment pas de logique apparente à l’intérieur des situations proposées aux élèves comme dans leur planification au fil des pages. Ils traduisent davantage une volonté de faire acquérir des habitudes d’utilisation de registres de représentation au sens de Duval (DUVAL, 1995), que de réelles intentions pédagogiques en vue d’un enseignement de base, structuré, de la statistique. Nous pouvons également relaté les conclusions apportées par Guy Brousseau, revenant sur des travaux conduits entre 1971 et 1973 puis suspendus (travaux qui ont d’ailleurs inspirés l’étude présentée ici au collège Jean Dasté, cf. annexe n°5.4), lors de l’école d’été de didactique des mathématiques (BROUSSEAU, 2003) :

« Une situation est fondamentale du premier type si elle vise à fournir un modèle qui, par le jeu de ses variables et de leurs limitations, peut convenir à n’importe quelle situation où cette notion intervient. […] Une situation est fondamentale du deuxième type si elle vise à servir de référence, à représenter symboliquement au besoin, ce qui est essentiel dans les objets et dans leurs relations, de façon à pouvoir y rattacher des situations effectives par “le sens”, par des “représentations” ou par des transformations diverses. […] Une situation est fondamentale du troisième type si elle peut engendrer un processus qui aboutit à la connaissance de la notion par le jeu des questions qu’elle conduit à se poser, et des réponses qu’elle appelle. »

De ces trois niveaux d’attente, que nous résumerons de manière trop brève par la prise en compte d’un modèle que l’on peut reproduire, de repères, d’expériences, permettant de conforter un modèle et la troisième, d’ambitionner la recherche de la connaissance de la notion envisagée. Selon nous, toute situation statistique observée relève du niveau de la troisième catégorie. Ce qui les place dans un degré de difficulté particulier pour les élèves et les enseignants de l’école primaire.

1.4. Un cadre conceptuel proposé par Gérard Vergnaud pour aborder l’apprentissage de la statistique

Notre analyse se fonde sur la suite donnée aux travaux de Piaget¹⁹ et de Vygotski²⁰, portant sur l’assimilation / accommodation comme mode d’adaptation, s’insérant de la sorte dans une perspective constructiviste des apprentissages de l’élève. Pour la conceptualisation des savoirs par ces derniers, nous nous appuierons sur les travaux de Gérard Vergnaud et en particulier sur la théorie des champs conceptuels. Il l’expose ainsi (VERGNAUD, 1994, p.71) :

« L’étalement sur une longue période de temps des processus de conceptualisation dans un domaine donné a conduit les chercheurs à se donner des objets d’étude d’une taille suffisante pour qu’il soit possible d’analyser les filiations et les ruptures entre les compétences progressivement développées par les élèves, ainsi qu’entre les conceptions associées à ces compétences, que ces conceptions soient explicites ou seulement implicites. Il faut ainsi étudier un ensemble diversifié de situations, de schèmes et de représentations symboliques langagières et non langagières pour saisir les méandres des processus de conceptualisation. […] On appelle champ conceptuel un ensemble de situations dont le traitement implique des schèmes, concepts et théorèmes, en étroite connexion, ainsi que les représentations langagières et symboliques susceptibles d’être utilisées pour les représenter. » Cette théorie se fonde sur le postulat suivant que, c’est au travers de situations et de problèmes à résoudre, qu’un concept acquiert du sens pour l’enfant. Son apprentissage prend appui sur cette dernière notion qui selon Gérard Vergnaud est la résultante d’un triplet d’éléments (VERGNAUD, 1996, p. 212) :

« a) l’ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence), b) l’ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationnalité des schèmes (le signifié), c) l’ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les procédures de traitement (le signifiant). »

Nous retiendrons également la restriction ici, de l’espace large et complet accordé au terme situation par Brousseau, selon les deux points relevés par Gérard Vergnaud (ibid. p. 218) :

183

19 (1896-1980)

« Les processus cognitifs et les réponses du sujet sont fonction des situations auxquelles ils sont confrontés. […] nous en retiendrons deux idées principales : 1) celle de variété : il existe une grande variété de situations dans un champ conceptuel donné, et les variables de situation sont un moyen de générer de manière systématique l’ensemble des classes possibles, 2) celle d’histoire : les connaissances des élèves sont façonnées par les situations qu’ils ont rencontrées et maîtrisées progressivement, notamment par les premières situations susceptibles de donner du sens aux concepts et procédures que l’on veut leur enseigner. »

Le point n°1 constitue la base de l’analyse des manuels scolaires ; le point n°2, donne tout son intérêt à évaluer, dès l’école élémentaire, où en sont les élèves dans l’appréhension du concept de statistique. La théorie des champs conceptuels prend également appui sur le concept de schème défini ainsi par l’auteur (VERGNAUD, 1994, p. 180) :

« C’est une totalité dynamique fonctionnelle, c’est-à-dire quelque chose qui fonctionne comme une unité ; en second lieu […] c’est une organisation invariante de la conduite pour une classe de situations données (l’algorithme est un cas particulier du schème) ; et en troisième lieu […], un schème est composé de quatre catégories d’éléments : des buts et intentions et anticipations, des règles d’action, des invariants opératoires et des possibilités d’inférences en situation. »

Étudier le champ conceptuel qui englobe l’apprentissage de la statistique revient en partie, à approcher de manière pragmatique toutes les situations qui s’y réfèrent (en l’occurrence pour nous celles rassemblées à l’intérieur des manuels scolaires) et de réfléchir à l’ensemble des objets présents : domaines de référence étudiés, tâches réclamées aux élèves, formes symboliques utilisées, variables en jeu… pour en dégager des invariants d’analyse et d’actions indiquées aux élèves, sur ces problèmes qui leur sont présentés. Quel sens est envoyé à l’élève ? En un mot, quels repères, supports pour expliciter les étapes, actions, enchaînements d’actions, buts, inférences etc. lui sont proposés comme histoire personnelle d’appropriation de cet apprentissage statistique ? C’est cette approche multiple des différents éléments qui structura les trois dernières études des manuels scolaires. De cet abord, comme nous le signalions lors de notre intervention aux journées de la statistique de la SFDS à Clamart en 2006 (COUTANSON, 2006):

« Il ressort que nous n’avons pu identifier des éléments tangibles correspondants à l’objectif de faire construire ou de communiquer des éléments de savoir statistique précis. Cependant nous avons relevé que des outils de la statistique

sous la forme de notions-en-acte pour reprendre la perspective de la théorie des champs conceptuels de Vergnaud (1991) étaient intégrés à des activités numériques et situations

problèmes, activités de mesures et enfin à des situations

relevant du cadre de la géométrie. Toutefois il n’y a pas explicitement une organisation des situations proposées qui induise, sans une part active explicite de l’enseignant conscient des savoirs statistiques en jeu, un sens à leur dimension statistique et qui engagerait les élèves dans un apprentissage de notions et de techniques pertinentes pour le développement de la pensée statistique. »

De même que l’aspect non explicite de cet enseignement était repéré dans la logique des situations offertes par les manuels, nous avons dû nous-mêmes reconnaître nos propres limites dans nos représentations symboliques de la statistique en ouvrant les supports de données à d’autres registres de représentation que les classiques tableaux, graphiques, diagrammes.

1.5. Un cadre conceptuel proposé par Yves CHEVALLARD pour institutionnaliser l’enseignement de la statistique

Dans la première partie de cette étude, il nous a fallu faire le lien entre fait statistique avéré sur le plan sociétal et obligation de le prendre en charge sur le plan scolaire en tant que fait statistique scolaire incontournable. C’est par l’intermédiaire de Yves Chevallard

(CHEVALLARD, 1992, p. 73), qu’il nous faut tenir compte de : « L’illusion

représentationaliste [qui], pour le dire rapidement, nous pousse à regarder les théories ou modèles d’un système donné comme des représentations, ou des images, du système que l’on prétend par là théoriser ou modéliser. La métaphore culturelle de l’image constitue un véritable obstacle épistémologique ». Mais il précise immédiatement (p. 74) : « de tels critères de jugement - complétude et fidélité au réel étudié - sont en droit totalement illégitimes » et (p. 75), « Contrairement à ce que beaucoup pensent, j’affirme ici que toute activité scientifique (y compris en mathématiques) se constitue (en son langage) et se décrit (dans son métalangage) par l’usage de métaphores. » C’est ainsi que Yves Chevallard définit une anthropologie de la connaissance ou anthropologie cognitive qu’il appelle didactique de la connaissance ou encore didactique cognitive. Il rappelle que « Toute institution est à un certain degré, institution didactique. Ou, pour le dire autrement : toute éducation institutionnelle comporte une part plus ou moins grande d’instruction institutionnelle ». A la suite, Yves Chevallard insiste sur le fait que « si vous voulez “faire” de la didactique cognitive, vous serez régulièrement amenés à sortir de votre domaine pour aborder les

problèmes d’anthropologie cognitive […] ». Il affirme également qu’il nous faudra aussi s’intéresser « à la réciproque de cette dernière assertion : car on ne peut pas davantage travailler en anthropologie cognitive sans affronter presque constamment des problèmes de didactique cognitive. » Si l’on prend référence sur ses travaux, la place que tient (et devrait tenir) actuellement la statistique au cycle III de l’école primaire, est le lien continué entre une Institution (l’école primaire), un objet de connaissance (qui devient objet d’enseignement), et le moment considéré. Comme nous avons pu le rappeler dans la première partie de cette étude, donner légitimité à un contenu et à une forme d’enseignement de la statistique, oblige donc à approfondir les liens qui existent entre objets d’enseignement, personnes, institutions (famille, société, école, noosphère), et les rapports qui les unissent et leur permettent d’évoluer ensemble et de perdurer. Ce travail d’explicitation d’un contenu statistique pour l’école primaire, devra nécessairement explorer ces liens pour formuler ce que nous avons appelé l’ébauche d’un Savoir Minimum Statistique. Autre ouverture à cette étude que nous aimerions continuer en se mettant à l’écoute des attentes des enseignants du secondaire et des projections de ceux du primaire.

1.6. Un cadre conceptuel proposé par Raymond Duval pour analyser