Pour am´eliorer les bornes existantes pour le degr´e minimum par compl´ementation locale, on utilisera la propri´et´e suivante : dans tout graphe bipartiG= (V1, V2, E), il existe un sous-ensemble non-vide de sommets deV1 qui domine de fa¸con im-paire au plus |V2|
2(1−2−|V1|) sommets (dansV2), donc de mani`ere intuitive tant que
V1 n’est pas trop petit par rapport `a V2 il existe un sous-ensemble non-vide de V1 qui domine au plus la moiti´e des sommets de V2. Cette propri´et´e est une cons´equence directe de la borne appel´ee borne de Plotkin [56] sur les codes lin´eaires :
Lemme 9. Pour tout graphe bipartiG= (V1, V2, E), il existe un sous-ensemble non-videD⊆V1 tel que
|OddG(D)| ≤ 2(1 |V2| −2−|V1|)
D´emonstration. C := {OddG(D) : D ⊆V1} est un code lin´eaire de taille n =
|V2| et de rang k =|V1|, o`u OddG(D) est identifi´e par son vecteur indicateur dans V2. Selon la borne de Plotkin [56], la distance minimale d de C est au plusn/(2(1−2−k)), donc il existe un sous-ensemble non-vide D ⊆V1 tel que
|OddG(D)| ≤ |V2|/(2(1−2−|V1|)).
On peut d´efinir une borne sup´erieure pour le degr´e minimum par compl´ementation locale avec le transversal minimum (plus petit nombre de sommets tel que chaque arˆete en contienne au moins un) de la fa¸con suivante :
Lemme 10. Etant donn´e un graphe´ G d’ordre n et de nombre de couverture par sommetsτ(G)>0,
2δloc(G)≤τ(G) + log2(τ(G)) + 1
D´emonstration. Soit G = (V, E) un graphe d’ordre n, et soit S un ensemble stable de tailleα=n−τ(G), et R⊆S un sous-ensemble de taille k que l’on fixera plus tard. SoitG′ = (R,(V\S)∪R, E′) un graphe biparti tel que pour tout u∈ R, NG′(u) ={u} ∪NG(u). Il y a deux copies de R dans G′, une de chaque part du graphe biparti : il y a un couplage entre chacune des deux copies deR, les autres arˆetes deG′ sont celles deGentreRetV\S. D’apr`es le lemme 9 il existeD⊆R tel que :
|OddG′(D)| ≤ |V2(1| − |S|+|R| −2−|R|) =
τ(G) +k
2(1−2−k)
Le voisinage impair de D dans G′ d´epend de celui de D dans G de la fa¸con suivante : OddG′(D) = ∆u∈DNG′(u) = ∆u∈D({u} ∪NG(u)) = D∆OddG(D), or comme D ⊆ S et S est un stable, D est un stable dans G on a donc
D∆OddG(D) =D∪OddG(D). Ainsi|OddG′(D)|=|D∪OddG(D)|. On a donc,
– Si⌈log2(τ(G) + 1)⌉ ≤n−τ(G), alors on pose k=⌈log2(τ(G) + 1)⌉:
δloc(G) + 1≤τ(G) +⌈log2(τ(G) + 1)⌉
2(1−2−⌈log2(τ(G)+1)⌉) < 1
2(τ(G) + log2(τ(G))) + 1 (3.1) Pour prouver la seconde partie de l’´equation 3.1, soitτ(G) = 2r+y avec
y <2r. On a alors⌈log2(τ(G) + 1)⌉=r+ 1, ainsi
δloc(G) + 1 ≤ 2
r+y+r+ 1 2(1−2−r−1)
De plus, on a par calcul standard que 21r−+2y−+rr−1+1 <2r+y+ log2(2r+y) + 2 quand r >0. Ainsi 2δloc(G) + 2 < τ(G) + log2(τ(G)) + 2. Quand r= 0,
τ(G) = 1,Gest une ´etoile (et potentiellement des sommets isol´es), donc 2δloc(G)≤2 =τ(G) + log2(τ(G)) + 1.
– Si ⌈log2(τ(G) + 1)⌉ > n−τ(G), alors il est suffisant de prouver que 2δloc(G)≤ncommeτ(G) + log2(τ(G)) + 1≥τ(G) +⌈log2(τ(G) + 1)⌉> n. Pour tout ensembleS⊆V de taille⌊n2⌋+ 1, cutrkG(S)<|S|car|V\S|<
|S|, ainsi selon la propri´et´e 6,
δloc(G)<⌊n2⌋+ 1≤n/2
Dans le lemme 10, la condition τ(G)>0 n’est utilis´ee que pour exclure le graphe stable et pour s’assurer de la bonne d´efinition du logarithme. La borne est atteinte par les graphes ´etoiles : δloc(Sn) = 1 et τ(Sn) = 1. C’est l’unique cas o`u la borne est atteinte pourτ(G)>1, la preuve peut ˆetre modifi´ee pour pouvoir retirer le facteur constant : siτ(G)>1, 2δloc(G)≤τ(G) + log2(τ(G)). La borne sur le degr´e minimum par compl´ementation locale par le nombre de couverture par sommets am`ene une am´elioration de la borne du degr´e minimum par compl´ementation locale pour le cas biparti :
Th´eor`eme 21. Pour tout graphe bipartiGd’ordre n >0,
δloc(G)< n
4 + log2n
D´emonstration. Sin≤2, la propri´et´e est satisfaite. Sinon, commeGest biparti
τ(G)≤ ⌊n
2⌋, donc d’apr`es le lemme 9,
δloc(G)≤12(τ(G)+log2(τ(G))+1)≤n4+1 2log2(n/2)+ 1 2 ≤n4+1 2log2n < n 4+log2n
Contrairement au cas biparti, la borne utilisant le nombre de couverture par sommets n’implique pas d’am´elioration pour la borne du degr´e minimum par compl´ementation locale dans le cas g´en´eral. Cependant, on prouve que le degr´e minimum par compl´ementation locale d’un graphe d’ordrenest au plus 38n+
o(n) en exploitant la structure des noyaux des applications lin´eaires associ´ees aux coupes du graphe :
G
M
V \S
R R
Figure3.4 – Construction de la preuve du lemme 10
Th´eor`eme 22. Pour tout graphe Gd’ordren >0,
δloc(G)<3
8n+ log2n
D´emonstration. Pour tout entier 0 < k < n/2, soit S un sous-ensemble de
⌊n/2⌋+k sommets deG. Soit L:S→V \S l’ applicationD 7→OddG(D)\S
qui est lin´eaire pour la diff´erence sym´etrique, i.e.L(D1∆D2) =L(D1)∆L(D2). On a pour tout D ∈ Ker(L), D ∪ Odd(D) ⊆ S. D’apr`es le th´eor`eme du rang, dim(Ker(L)) ≥ 2k−1. Soit R ⊆ S une base de Ker(L). Soit G′ = (R, S× {1,2,3}, E′) (voir figure 3.5) un graphe biparti tel que pour toutD ∈
R, NG′(D) = D×{1} ∪OddG(D)×{2} ∪(OddG(D)∆D)×{3} : le voisinage de
D dans G′ est l’union disjointe de D, OddG(D) et D∆OddG(D). On a alors
|R| ≥2k−1 et|S× {1,2,3}|= 3(⌊n/2⌋+k), donc d’apr`es le lemme 3.2, il existe un sous-ensembleR0⊆R tel que|OddG′(R0)| ≤j32.1⌊−n/2−22⌋+k+1k
k
.
Soit F := ∆D∈R0D. Comme R est une base de R0 6= ∅, F 6= ∅. De plus OddG′(R0) = ∆D∈R0NG′(D) = ∆D∈R0(D × {1} ∪OddG(D)× {2} ∪
(OddG(D)∆D)× {3}) = F × {1} ∪OddG(F)× {2} ∪(F∆OddG(F))× {3}. Ainsi|OddG′(R0)|=|F|+|OddG(F)|+|F∆Odd(F)|= 2|F∪OddG(F)|. On a
donc, |F∪OddG(F)| ≤ 1 2 3 2. ⌊n/2⌋+k 1−21−2k
On choisik=⌊4 log2(n)/3⌋pour garantir|F∪OddG(F)| ≤ 3
8n+ log2(n)+O(1). Plus pr´ecis´ement, on a
|F∪OddG(F)|≤38. n+ 2⌊4 log2(n)/3⌋
1−2×2−2⌊4 log2(n)/3⌋≤38.n+ 8 log2(n)/3
1−8.n−8/3
qui est strictement plus petit que38n+log2n+1 quandn >60. Pour 2< n≤61, on peut v´erifier que la borne de l’´equation 3.2 est en fait strictement plus petite que 38n+ log2(n) + 1. Ainsi pour tout n >2, minD6=∅|D∪OddG(D)|< 38n+ log2n+ 1, doncδloc(G)<38n+ log2n. Finalement on peut v´erifier ais´ement que
δloc(G)<3
8n+ log2nest aussi vrai pourn≤2.
G M G∪M R S1 S2 S3
Figure3.5 – Construction de la preuve du th´eor`eme 22
Choisir k = ⌊log2(n)/2⌋ dans la preuve du th´eor`eme 22 donne une borne asymptotiquement meilleure :
δloc(G)≤3/8n+ 3/4 log2(n) +O(1) .
3.3 Complexit´e param´etr´ee
Le probl`eme de d´ecision associ´e au degr´e minimum par compl´ementation locale est N P-complet et dur `a approximer : il n’existe pas d’algorithme de
k-approximation en temps polynomial pour ce probl`eme pour toute constante
k sous l’hypoth`ese P 6=N P [43]. Dans cette section on va donc consid´erer la complexit´e param´etr´ee de ce probl`eme ainsi que sa restriction aux graphes bi-partis. La d´efinition du probl`eme param´etr´e est la suivante :
Degr´e minimum par compl´ementation locale
Entr´ee : un grapheG, un entierk. param`etre :k.
question :δloc(G)≤k?
Degr´e minimum par compl´ementation locale biparti
Entr´ee : un graphe bipartiG, un entierk. param`etre :k.
question :δloc(G)≤k?
Ici on va monter l’´equivalence de ce probl`eme mˆeme restreint au cas biparti avec le probl`eme classique Ensemble pair dont l’appartenance `aW[2] `a ´et´e montr´ee dans [33] mais qui n’est difficile ni pourW[1] ni pour W[2].
Ensemble pair
Entr´ee : un graphe bipartiG= (R, B, E), un entierk. param`etre :k.
question : Existe-t-il un sous-ensemble de sommets D ⊆ R non vide, tel que
|D| ≤ k et EvenG(D) = B, i.e. chaque sommet de B a un nombre pair de voisins dansD?
La d´emonstration de cette ´equivalence se fait en deux temps, d’abord on
prouve queEnsemble pairest plus difficile queDegr´e minimum par compl´ementation locale, et ensuite queDegr´e minimum par compl´ementation locale
bi-partiest plus difficile queEnsemble pair,Degr´e minimum par compl´ementation locale biparti´etant la restriction aux graphes bipartis deDegr´e minimum par compl´ementation localece dernier est plus difficile on obtient donc bien une boucle d’´equivalence.
Th´eor`eme 23. Ensemble pair est plus difficile que Degr´e minimum par compl´ementation localeparF P T-r´eduction.
D´emonstration. Etant donn´e (´ G, k) une instance deDegr´e minimum par compl´ementation locale, soit (G′, k′) une instance deEnsemble pair(voir figure 3.6) avec :
G′= (A1∪A2,∪A3, A4∪A5, E1∪E2∪E3),k′= 2k+2
E1={(a1,u, a4,u),∀u∈V(G)},
E2={(ai,u, a5,u),∀i∈ {2,3},∀u∈V(G)}
E3={(a2,u, ai,v),∀i∈ {4,5},∀{u, v} ∈E(G)}
G′ est donc constitu´e de cinq copiesAis deV(G) et il y a un couplage entre
A1 et A4, et entreA3 etA5. De plus, le sous-graphe induit parA2∪A4 est le double biparti deG(i.e. un graphe biparti constitu´e de deux copies deGdont les arˆetes correspondent `a celles deG), tandis queA2∪A5est le double biparti de G augment´e d’un couplage. On a bien G′ biparti chacun des Ai ´etant un stable.
– Si (G, k) est une instance positive deDegr´e minimum par compl´ementation localeil existe un sous ensemble de sommets D⊆V(G) tel queD6=∅
et |D∪OddG(D)| ≤k+ 1. SoitD′ ={a1,u| u∈OddG(D)} ∪ {a2,u|u∈
D} ∪ {a3,u | u∈ OddG(D)∆D}, D′ est donc compos´e de la copie deD
dans A2, de la copie de OddG(D) dans A1 et de celle de D∆OddG(D) dansA3. Rappelons queOddG′(D′) =∅, etD′6=∅commeD6=∅. De plus
|D′|=|OddG(D)|+|D|+|D∆OddG(D)|= 2|D∪OddG(D)| ≤2k+ 2 =k′. DoncD′ fait de (G′, k′) une instance positive deEnsemble pair. – Si (G′, k′) est une instance positive de Ensemble pair il existe D ⊆
A1∪A2∪A3 tel que |D| ≤ k′ et OddG′(D) = ∅. Pour i ∈ [1,3], soit
Di = {u ∈ V(G) | ai,u ∈ D}. Rappelons que D1 = OddG(D2) et
D3 = OddG(D2)∆D2. D 6= ∅ implique que D2 6= ∅, de plus |D2 ∪
OddG(D2)|= 1
2(|D2|+|OddG(D2)|+|OddG(D2)∆D2|) = 1
2|D| ≤ 1 2k′ =
k+1, donc D2 fait de (G, k) une instance positive de Degr´e minimum par compl´ementation locale.
Corollaire 9. Degr´e minimum par compl´ementation localeappartient `
aW[2].
L’appartenance `a W[2] de Degr´e minimum par compl´ementation lo-cale car non seulement Ensemble pair mais aussi tous les probl`emes de domination avec des notions de parit´e appartiennent `a W[2] [11]. On affine cette appartenance `aW[2] en prouvant l’´equivalence deDegr´e minimum par compl´ementation localeetDegr´e minimum par compl´ementation lo-cale biparti`aEnsemble pair. Ces probl`emes constituent une sous-classe de
W[2] particuli`ere car l’absence de r´esultat de difficult´e pour Ensemble pair
est un probl`eme qui reste ouvert depuis longtemps en complexit´e param´etr´e [26]. Cet ´etat de fait contraste avec la classe des probl`emes ´equivalents `a En-semble impairqui appartiennent aussi `a W[2] mais qui en plus sont difficiles pourW[1] [11], cette classe contenant d’autres probl`emes li´es aux ´etats-graphes commePlus grand ensemble WODetSeuil quantique[11].
G M M M G∪M A1 A2 A3 A4 A5
Figure 3.6 – R´eduction de Ensemble pair `a Degr´e minimum par compl´ementation locale
Th´eor`eme 24. Degr´e minimum par compl´ementation locale biparti
est plus difficile que Ensemble pairpar uneF P T-r´eduction.
D´emonstration. Si (G = (R, B, E), k) est une instance positive de Ensemble pair, alors il existe D ⊆ R tel que 0 < |D| ≤ k et OddG(D) = ∅, donc 0<|D∪OddG(D)| ≤k ce qui implique que (G, k) est aussi une instance posi-tive deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti.
Si (G, k) est une instance positive deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti, en revanche il peut y avoir deux raisons pour lesquelles (G, k) ne soit pas une instance positive deEnsemble pair:
– L’ensembleD tel que 0<|D∪OddG(D)| ≤kpeut ne pas ˆetre inclus dans
R.
– Pour r´esoudreEnsemble pair, on veutOddG(D) =∅.
Concernant le premier point, un gadget biparti ayant un degr´e minimum par compl´ementation locale dek+1 est attach´e `a chaque sommet deBpour garantir qu’aucun sommet deBne peut apparaitre dansDen respectant|D∪Odd(D)| ≤
k. Ce gadget est un graphe de PaleyPq dont les sommets sont{0, . . . , q−1}pour
si ∃x, i−j = x2modq. Le degr´e minimum par compl´ementation locale d’un graphe de Paley est au moins la racine carr´ee de son ordre. Cependant pour conserver la bipartition du graphe on va utiliser son double biparti. En effet, il est prouv´e dans [42] que le degr´e minimum par compl´ementation locale d’un double biparti est le mˆeme que celui du graphe original (δloc(G⊕2)≥δloc(G)).
Pour le deuxi`eme point, chaque sommet deBest dupliqu´ekfois de telle fa¸con `
a ce que pour toutD ⊆R si un sommet v ∈ B est dans le voisinage impaire deD alors ses k copies sont aussi dans le voisinage impair ce qui contredit la condition|D∪Odd(D)| ≤k.
Ceci nous donne la construction suivante, soitqun nombre premier tel que
q≥k2+ 1 etq= 1 mod 4 d’apr`es la version modulaire du postulat de Bertrand [21] un telqest inf´erieur `a 2k2+ 1, soit (G′, k) une instance deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti (voir figure 3.7) tel que :
G′= (R∪P′, P,EG∪EPaley), avec P =∪b∈B,i∈[0,k]Pb,i P′=∪b∈B,i∈[0,k]Pb,i′ Pb,i={pb,i,r,∀r∈[0, q−1]} P′ b,i={p′ b,i,r,∀r∈[0, q−1]}
EPaley=∪b∈B,i∈[0,k]EPaley(b,i) EPaley(b,i) ={(pb,i,r, p′
b,i,r′),∀r, r′∈[0,q−1]s.t.∃ℓ∈[0, q−1], ℓ2=r−r′ modq}
– Si (G, k) est une instance positive deEnsemble pairavecD⊆E tel que
OddG(D)=∅, alors OddG′(D) = ∅ donc (G′, k) est une instance positive deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti.
– Si (G′, k) est une instance positive deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti avec D tel que |D ∪OddG′(D)| ≤ k. pour tout b ∈
B, i ∈ [0, k], soit D′
b,i = D ∩(Pb,i ∪P′
b,i), dans le sous-graphe induit par Pb,i ∪Pb,i′ , |D′ ∪OddG′[Pb,i∪P′
b,i](D)| ≤ k, ainsi D′n,i = ∅ comme
δloc(Paleyk2+1) > k. Donc D ⊆ R. de plus s’il existe pb,i,0 ∈ OddG′(D) alors ∀j ∈ [0, k], pb,j,0 ∈ OddG′(D), alors |D∪OddG′(D)| > k+1, donc par contradiction OddG′(D)=∅. Ainsi (G, k) est une instance positive de
Ensemble pair.
Corollaire 10. Degr´e minimum par compl´ementation localeet Degr´e minimum par compl´ementation locale biparti sont F P T-´equivalent `a
G R P1 P2 P|B| P1′ P′ 2 P′ |B| .. .
Graphe de Paley biparti
Figure3.7 – R´eduction deDegr´e minimum par compl´ementation locale biparti`aEnsemble pair
La difficult´e pourW[1] deEnsemble pairreste un probl`eme ouvert depuis longtemps en complexit´e param´etr´ee, la F P T-´equivalence avec Degr´e mini-mum par compl´ementation locale peut donner de nouvelles perspectives concernant la complexit´e param´etr´e de ce probl`eme.