2.4 Complexit´e Approximation
2.4.1 Approche
aEnsemble impair et donc sont difficiles pourW[1]et appartiennent `aW[2].
2.4 Complexit´e Approximation
2.4.1 Approche
Dans la section pr´ec´edente, nous avons vu que l’approche par param´etrisation en utilisant une param´etrisation classique, par la taille de l’ensemble recherch´e, ne permet pas de r´esoudre les probl`emes de domination impaire en temps poly-nomial en fixant un param`etre. Dans cette section, on va donc prendre une ap-proche diff´erente par approximation,i.e.si l’on peut pas r´esoudre ces probl`emes en temps polynomial, on peut en revanche peut ˆetre avoir une approximation de la solution convenable en temps polynomial.
D´efinitions des classes et des r´eductions
Tout d’abord pour l’approche par approximation, il faut consid´erer la version d’optimisation des probl`emes et non plus existence. En effet, il s’agit ici d’essayer de trouver une solution la plus proche possible de la solution optimale. De
fa¸con formel, les probl`emes d’optimisation combinatoires sont d´efinis de la fa¸con suivante :
D´efinition 13. Un probl`eme d’optimisation combinatoire Aest un quintuplet
(I, S, f, m, g)avec :
– I l’ensemble des instances du probl`eme ; – S = S
x∈I
Sx l’ensemble des solutions r´ealisables du probl`eme pour chaque instance x∈I;
– f :I→S tel que ´etant donn´ex∈I une instance du probl`eme,f(x)∈Sx
est une solution r´ealisable dex;
– m : I×S → R+ ´etant donn´es x ∈ I et y = f(x) ∈ Sx, m(x, y) est la mesure de y;
– g est le but du probl`eme :min oumax. ´
Etant une donn´ee instance x ∈I de A, une solution r´ealisable optimale de x
not´eeoptx respecte la propri´et´e suivante :
m(x, optx) =g{m(x, t)|t∈Sx}
D´efinition 14. Etant donn´e´ A = (I, S, f, m, g) un probl`eme d’optimisation,
ǫ > 0 un r´eel et soit ρ = 1 +ǫ, un algorithme Alg est appel´e algorithme de
ρ-approximation du probl`eme A si pour toute instance x ∈ I il renvoie une solution r´ealisabley=Alg(x)∈S avec pour mesurem(x, y)tel que :
|m(x, y)−m(x, optx)| ≤ǫ·m(x, optx)
D´efinition 15. Etant donn´e´ ρ∈R,ρ >1,AP X(ρ)est sous-classe de N P O
(pendant de NP pour les probl`emes d’optimisations) contenant les probl`emes admettant un algorithmeρ-approximation.
AP X est l’union des AP X(ρ)pour toutρ∈R, ρ >1
On d´efini maintenant les r´eductions `a l’int´erieur de cette classe de la fa¸con suivante :
D´efinition 16. Etant donn´es´ A= (IA, SA, fA, mA, gA)etB = (IB, SB, fB, mB, gB)
deux probl`emes d’optimisations. Une paire de fonctionsh:IA→IB etk:SB→
SA si et seulement si :
– hetk sont calculables en temps polynomiale – ∀x∈IA,h(x)∈IB
IA IB
fA fB
SA SB
h
k
Figure 2.6 – Sch´ema d’uneL-r´eduction
– ∀x∈IA,fA(x)est une solution de x implique k(fB(h(x))) est une solu-tion de x(voir figure 2.6)
– il existe une constante positive αtel que∀x∈IA :
opth(x)≤α·optx
– il existe une constante positive β tel que ∀x∈IA et y′ ∈SB solution de
h(x):
|mA(x, optx)−mA(x, k(y′))| ≤β|mB(h(x), opth(x))−mB(y′)| Propri´et´e 3. AP X est clos parL-r´eduction.
La principale cons´equence de cette propri´et´e qui nous int´eressera concerne les d´emonstrations de compl´etude pourAP X. En effet, comme AP X est clos par
L-r´eduction alors ´etant deux probl`emesAetB deAP X,A´etant complet pour
AP X alors montrer uneL-r´eduction deB `aArevient `a montrer la compl´etude deB pourAP X.
On peut encore raffiner la complexit´e d’approximation en cherchant non plus `a avoir une approximation de ratio fixe mais `a d´efinir un sch´ema qui pour un ratioǫ donn´e donne une (1 +ǫ)-approximation. Si un tel sch´ema s’ex´ecute en temps polynomial en la taille de l’entr´ee pourǫ∈]0,1[ on parle alors deP T AS
et mˆeme si l’on n’a pas la solution exacte on peut s’en rapprocher tout en permettant une ex´ecution r´eelle.
D´efinition 17. Un sch´ema d’approximation pour le probl`emeAest une famille de(1 +ǫ)-approximations not´eeAlgǫ pour toutǫ∈]0,1[.
Si ce sch´ema d’approximation pour le probl`eme A s’ex´ecute en temps polyno-mial en|x|pour toutǫ∈]0,1[il est ditP T AS(Polynomial-Time Approximation Scheme).
Par extensionP T AS est la classe de probl`eme admettant unP T AS.
De fa¸con similaire `a la complexit´e classique ou pour la complexit´e param´etr´ee la questionP T AS=AP X reste ouverte.
Propri´et´e 4. Etant donn´e´ Aun probl`eme d’optimisation tel queAest complet pourAP X alorsA n’admet pas deP T AS sous l’hypoth`ese P 6=N P.
Il s’agit donc pour un probl`emeAdonn´e :
– soit d’exhiber unP T ASpour montrer son appartenance `a la classeP T AS. – soit de monter qu’il existe une L-r´eduction deA `a un probl`eme complet pour AP X donc qu’il n’existe pas de P T AS pour A sous l’hypoth`ese
P 6=N P.
D´efinitions des probl`emes de domination impaire
Dans le cadre de la complexit´e d’approximation, le probl`eme de trouver le plus grand ensemble WOD devient donc un probl`eme de maximisation dont les solutions admissibles sont les ensembles WOD et dont la mesure est la taille de ces ensembles. Comme dans le cas des stables il n’existe aucun ensemble WOD on doit ajouter cette possibilit´e, ce qui nous donne la d´efinition suivante :
Ensemble Max WOD
Entr´ee : un grapheG= (V, E)
Solution admissible : un ensemble de sommets D ∈ V tel qu’il existe un en-sembleX ∈V \D avecOdd(X) =D,D=∅si il n’en existe aucun
Mesure :|D|
Objectif : maximisation
On a donc par d´efinitionκ(G) comme mesure de la solution r´ealisable optimale. Pour le cas o`u il n’y a pas de solutions admissibles et donc κ(G) = 0, le ratio n’est pas d´efini, on le consid`erera `a 1.
De la mˆeme fa¸con on a pour les ensembles non-WOD le probl`eme de mini-misation suivant :
Ensemble Min non-WOD
Entr´ee : un grapheG= (V, E)
Solution admissible : Ensemble de sommetsD ∈V tel qu’il n’existe pas d’en-sembleX ∈V \D avecOdd(X) =D
Mesure :|D|
On remarque que de fa¸con similaire aux ensembles WOD,κ′(G) est la mesure de la solution r´ealisable optimale, mais qu’en revanche dans ce cas il existe toujours une solution r´ealisable.
Pour le probl`eme de l’accessibilit´e quantique on a par le th´eor`eme du clonage que soit un ´etat est accessible soit son compl´ementaire est non-accessible dans le cas contraire on acc`ederait `a deux copies d’un ´etat quantique. On consid`erera donc ici tout ensemble de sommets comme solution r´ealisable mais la mesure d´ependra de l’accessibilit´e de l’ensemble : si il n’est pas accessible (i.e. il est WOD) alors ce sera sa taille, sinon (il est non-WOD) ce sera la taille de son compl´ementaire. Ce qui nous donne la d´efinition suivante :
Max non-Accessible Set
Entr´ee : un grapheG= (V, E)
Solution admissible : un ensemble de sommetsD∈V
Mesure : soitDom={X∈V|Odd(X) =D}
(
|D|siDomest non-vide
|V| − |D|siDom est l’ensemble vide Objectif : maximisation
Comme pour les pr´ec´edents probl`emes on aκQ(G) comme mesure de la r´ealisation de la solution r´ealisable optimale.
2.4.2 Plus grand ensemble WOD
Ici on s’int´eressera `a la complexit´e d’approximation du probl`emeEnsemble Max WODet on d´emontrera qu’il est complet pourAP X et donc n’admet pas deP T AS siP 6=N P.
Th´eor`eme 19. Le probl`eme Ensemble Max WODest complet pourAP X.
La preuve de la difficult´e consiste en une r´eduction depuis Max 3-Sat B
dont la difficult´e pour APX est prouv´ee dans [55], pour toutB ∈N∗,
Max 3-SatB
Entr´ee : une formule 3-CNFψo`u chaque litt´eral apparait au plusB fois. Solution admissible : une affectation des variables deψ.
Mesure : le nombre de clauses satisfaites. Objectif : maximisation
Lemme 7. Pour toutB≥0Ensemble Max WODest plus difficile que Max 3-SatB parL-r´eduction.
D´emonstration. Soitψune instance deMax 3-SatB avecnclauses, soitf tel quef(ψ) =G′ (voire figure 2.7) soit une instance de Ensemble Max WOD
C={a, a|aest une variable deψ}
F={fa,j|aest une variable deψ, j∈[1,4B+ 1]}
Di={di,a, di,b, di,c, di,ab, di,ac, di,bc, di,abc|a, b, csont les litt´eraux de laieme` clause deψ}
D= S
i∈[1,n]
Di
E1={adi,a, adi,ab, adi,ac, adi,abc|i∈[1, n]}∪ {bdi,b, bdi,ab, bdi,bc, bdi,abc|i∈[1, n]}∪ {cdi,c, cdi,ac, cdi,bc, cdi,abc|i∈[1, n]}
E2={afa,j, afa,j|j∈[1,4B+ 1], Fi,j⊆F}
di,a di,b di,c di,ab di,ac di,bc di,abc
a a bb b c c
F
Figure2.7 – Partie du graphe de la r´eduction deMax 3-Sat B `aEnsemble Max WODcorrespondant `a la clausea∨b∨c
• Soit g une fonction telle que, ´etant donn´e D ⊆ V(G′) un ensemble de sommets deG′,g(D) est une affectation deψtel que la variableasi le sommet
a∈D (mˆeme sia∈D) et est faux autrement. La fonctiong est calculable en temps polynomial et commeG′ est polynomial en|ψ|,f est calculable en temps polynomial.
plusB clauses, alors|F| ≤3n×4B+ 1, donc la taille de G′ est lin´eaire dans la taille deψ. SoitM axSAT(ψ) la valeur maximum du nombre de clauses vrai dans la solution optimale de Max 3-Sat B surψ, comme|G′|=α|ψ| et que
M axSAT(ψ)≥ |ψ2|, on aκ(G′)≤2αM axSAT(ψ). ´
Etant donn´eC′ ⊆C, et (a∨b∨c) lai`eme clause deψ, C′∩ {a, b, c} 6=∅si et seulement si|Odd(C′)∩Di|= 4 comme (voir figure 2.8) :
– si|C′|= 1, soita∈C′alorsdi,a, di,ab, di,ac, di,abc∈Odd(C′) etdi,b, di,c, di,bc∈
Even(C′) et sym´etriquement pourb etc.
– si|C′|= 2, soita, b∈C′alorsdi,a, di,b, di,ac, di,bc∈Odd(C′) etdi,c, di,ab, di,abc∈
Even(C′) et sym´etriquement pourb, ceta, c.
– si|C′|= 3, soita, b, c∈C′ alorsdi,a, di,b, di,c, di,abc∈Odd(C′) et
di,ab, di,ac, di,bc ∈Even(C′).
Ceci correspond au fait que chaque ´el´ement d’un ensemble apparait dans la moiti´e des parties de celui-ci (ici il n’y pas pas l’ensemble vide).
Figure 2.8 – 4 di dont toujours dominer quelque soit le nombre de sommets dans le dominant
Pour toute variableadeψ, il existeFa={fa,j|j∈[1,4B+ 1]}un ensemble stable de taille 4B+ 1 connect´e uniquement `a a et a. Soit C′ ⊆ C, comme
|Odd(C′)∩Di| ≤4 et que la variableaapparait dans au plus B clauses de ψ, sia, a ∈C′, |Odd(C′\a)|>|Odd(C′)| il n’y a donc aucune paire a, a dans la solution optimale deMax WOD Set.
de paire a, a dans Xopt, alors F ⊆ Odd(Xopt) et le nombre de Di domin´es par Xopt est M axSAT(ψ). Soit l le nombre de clauses satisfaites par g(X),
M axSAT(ψ)−l=kimplique queg(X) satisfaitkclauses de moins queg(Xopt). DoncX domine de fa¸con impairek Dide moins queXoptou contient une paire
a, a, donc X domine de fa¸con impaire 4k sommets de moins que Xopt. On a doncM axSAT(ψ)−l≤β(κ(G′)− |Odd(X)|).
Preuve du th´eor`eme 19.Pour tout B ≥3 Max 3-Sat B est difficile pour
AP X et il existe une L-r´eduction deMax 3-Sat B `a Max WOD Set, donc
Max WOD Set est au difficile pour AP X. La compl´etude est obtenue la m´ethode des probabilit´es conditionnelles [57] sur la borne lin´eaire deκ(G) donn´e par le lemme 4 qui donne une (1 +1
4)-approximation polynomiale deκ.
Corollaire 7. Il existe unǫ >0 tel qu’il n’existe pas de(1 +ǫ)-approximation de Max WOD Seten temps polynomial sous conditionP 6=N P i.e. il n’existe pas deP T AS pour Max WOD Setsous condition P 6=N P.
2.4.3 Plus petit ensemble non-WOD
Ici on s’int´eressera `a la complexit´e d’approximation du probl`emeEnsemble Min non-WODet on d´emontrera qu’il est complet pourAP Xet donc n’admet pas deP T AS siP 6=N P.
Th´eor`eme 20. Le probl`eme Ensemble Min non-WOD est complet pour
AP X.
La preuve de la difficult´e r´eside dans une r´eduction depuisEnsemble Max WODprouv´e difficile pourAP X dans le th´eor`eme 19.
Lemme 8. Ensemble Min non-WODest plus difficile que Ensemble Max WODparL-r´eduction.
D´emonstration. Etant donn´e un graphe´ G = (V, E) instance de Ensemble Max WODde taillen, soitf tel quef(G) =G′est une instance deEnsemble Min non-WODtel que G′ = (V ∪d, E1∪E2) (voir figure 2.9) o`u :
E1={uv|u∈V, v∈V, uv /∈E}
E2={ud|u∈V}
Soit une fonctiongtelle que, ´etant donn´eX⊆V(G′) un ensemble non-WOD deG′,g(X) est un ensemble WOD deGd´efinie parg(X) ={u|u /∈X, u6=d}. CommeX est un ensemble non-WOD il existeD⊆X tel que|D|= 1 mod 2 et
Odd(D)⊆X, doncX ⊆Even(D), et ainsi on aX ⊆Odd(D) dansG′. Comme
dest isol´e dansG′,X ⊆Odd(D) dansGdoncg(X) est un ensemble WOD dans
Get|g(X)|=n− |X|.gest calculable en temps polynomial et commeG′ est de taille polynomial enn(de taillen+ 1), f est calculable en temps polynomial.
Avec le lemme 6,κ′(G′) +κ(G′) =n+ 1, doncG′estGauquel on ajoute un sommet isol´e et qu’un sommet isol´e ne change pas la valeur deκil ne domine ni n’est domin´e par personne), donc κ′(G′) = n+ 1−κ(G). Avec le lemme 4,
κ(G)≥n
4, doncκ(G′)≤ακ(G).
En ajoutant|g(X)|=n− |X|`aκ′(G′) =n+ 1−κ(G) on obtient que pour toute solutionX deEnsemble Min non-WOD,|κ(G)− |g(X)|| ≤α|κ′(G′)− |X||.
G d
Figure 2.9 – R´eduction de Ensemble Min non-WOD `a Ensemble Max WOD
Preuve du th´eor`eme 20.Ensemble Max WOD est difficile pourAP X et il existe uneL-r´eduction deEnsemble Max WODversEnsemble Min non-WOD, donc Ensemble Min non-WOD est aussi difficile pour AP X. Pour la compl´etude on utilise comme pourEnsemble Max WODla m´ethode des probabilit´es conditionnelles [57] sur le corollaire 1 ce qui donne une (1 + 18 )-approximation polynomiale deκ′.
Corollaire 8. Il existe unǫ >0 tel qu’il n’existe pas de(1 +ǫ)-approximation polynomiale de Ensemble Min non-WOD sous condition P 6= N P i.e. il n’existe pas de P T AS pour Ensemble Min non-WOD sous condition P 6=
N P.