a une autre question, `a savoir celle de l’existence et de la construction de codes Γ(n, d;s) pour lesquels la taille est maximale, ou dans une moindre mesure, ceux de grande taille.
8.2 Bornes sup´erieures pour µ(n, d)
8.2.1 Bornes sup´erieures li´ees aux anticodes
Nous avons d´efini en 4.3.1 un d-anticode sur Sym(n) comme un sous-ensemble Ω de
Sym(n) tel que la distance entre deux permutations quelconques de Ω est inf´erieure ou ´egale `a d.
Notations 8.2.1 Notons ν(n, d) la taille maximale d’un d-anticode sur Sym(n).
Dans Sym(n), pour tout d∈[2, n], il est possible construire un d-anticode de taille
d! : l’ensemble form´e de toutes les permutations dont le support est contenu dans [d] est en effet un teld-anticode. Donc la taille maximale d’un d-anticode est au moins ´egale `a
d! :
ν(n, d)≥d!
La taille maximale d’un code de permutations et la taille maximale d’un anticode sont li´es par le r´esultat suivant, qui motive notre ´etude de la taille maximale des anticodes.
Lemme 8.2.2 M. Deza et P. Frankl, [32]ν(n, d)µ(n, d+ 1)≤n!
D´emonstration
Supposons que Γ est un code de permutations de distanced+ 1 de tailleµ(n, d+ 1) et que Ω est und-anticode de tailleν(n, d). Formons tous les produits possiblesαβ avec
α∈Γ,β∈Ω. Nous montrons que ce sont des permutations distinctes deux `a deux. En effet siα1, α2 ∈Γ etβ1, β2 ∈Ω (tous distincts) et queα1β1 =α2β2, ou de mani`ere ´equivalenteα−11α2 =β1β2−1 alors, par d´efinition de Ω,β−11β2 est `a distance au plus ´egale `
a dde1 . Il en va donc de mˆeme pourα1α2−1. Or par d´efinition de Γ cela n’est possible que si α1 = α2 et donc β1 = β2. Ceci est en contradiction avec l’hypoth`ese que ces
L’in´egalit´e du lemme 8.2.2 est ´equivalente `a
µ(n, d+ 1)≤ n!
ν(n, d)
Nous allons donc pouvoir majorer la taille maximaleµ(n, d) d’un code de permutations de distance d`a l’aide des minorants de la taille maximale d’un (d−1)−anticode.
Comme, ν(n, d)≥d!, on retrouve l’in´egalit´e 4.5.2.5
µ(n, d+ 1)≤ n!
d!
Rappelons les notations 2.1.2 : soit α ∈ Sym(n) , f ix(α) est le sous-ensemble de [n] form´e des points fix´es par α et supp(α) est son compl´ementaire dans [n], c’est-`a-dire le sous-ensemble de [n] form´es des points effectivement d´erang´es par α. Soient α et
β ∈Sym(n) deux permutations distinctes, elles ne peuvent co¨ıncider sur aucun ´el´ement desupp(α)△supp(β) , o`u△repr´esente la diff´erence sym´etrique. De plus,αetβco¨ıncident (au moins) sur [n]\(supp(α)∪supp(β)), c’est-`a-dire sur f ix(α)∩f ix(β).
Notations 8.2.3 Nous noteronsFn
d l’ensemble des permutationsαdeSym(n)telles que
|supp(α)| ≤tsid= 2tet l’ensemble des permutations β telles que|supp(β)∩([2, n])| ≤t
si d= 2t+ 1.
Sidest pair, Fn
d est form´e des permutations `a distance inf´erieure ou ´egale `a d2 de 1, doncFn
d =Bd
2
(1) o`uBr(1) est la boule de rayon r centr´ee en 1. Sidest impair,Fn d est l’union de la boule de rayon d−21 centr´ee en1 et de l’ensemble des d´erangements de d+12 points qui ne fixent pas le point 1. On v´erifie ais´ement que pour tout d≤n, pour tout
α, β∈ Fn
d,|f ix(α)∩f ix(β)| ≥n−d. L’ensembleFn
d est donc undanticode surSym(n). Un simple calcul permet d’obtenir l’expression de|Fn
d|: |Fdn|= t X i=0 Di n i pour d= 2t t X i=0 Di n i + n−1 t Dt+1 pour d= 2t+ 1
Exemple 8.2.4 Dans Sym(6), l’ensemble F6
4 est constitu´e des transpositions (dont le cardinal du support vaut 2) et de l’identit´e 1. L’ensemble F6
5 est l’union de F6 4 et de l’ensemble des d´erangements de3 points qui ne fixent pas 1.
Notons que si d = 2, ν(n,2) = 2 (deux permutations `a distance 2 l’une de l’autre) et|Fn
2|= 1 (la seule permutation ayant un support de cardinal≤1 ´etant 1). Les tailles maximales d’un d-anticode sur Sym(n) sont reprises dans le tableau 8.2.1.
n et d 3 4 5 6 7 4 6 24 5 6 24 120 6 6 24 120 720 7 7 24 120 720 5040 8 8 29 120 720 5040 9 9 37 120 720 5040 10 10 46 120 720 5040 11 11 56 146 720 5040 12 12 67 177 720 5040 13 13 79 211 720 5040 14 14 92 248 820 5040
Tab. 2 – Minorants pour la taille maximale d’un anticodeν(n, d) en fonction den etd. Les entr´ees obtenues par ν(n, d) ≥ |Fn
d| sont en italique, les autres ´etant obtenues par
ν(n, d) ≥ d!. Les entr´ees soulign´ees sont exactes et ont ´et´e v´erifi´ees `a l’aide de Magma ou par application du th´eor`eme 4.3.3.
Notations 8.2.5 [32] Soient n et λ deux naturels (λ ≤ n). M. Deza et P. Frankl
d´efinissent : T1(n, λ) = (n−λ)/2 X i=0 n i Di sin−λest pair (n−λ−1)/2 X i=0 n i Di+ n−1 (n−λ−1)/2 D(n−λ+1)/2 si n−λest impair
Avec ces notations, on a donc |Fn
d|=T1(n, n−d).
Le comportement asymptotique de ν(n, d) est caract´eris´e par les th´eor`emes suivants. Le premier th´eor`eme, prouv´e en 2008 par D. Ellis [39], avait ´et´e conjectur´e par Frankl et Deza [32] en 1977. La preuve donn´ee par D. Ellis est bas´ee sur les propri´et´es des caract`eres irr´eductibles que nous avons introduits `a la section 5.3.
Th´eor`eme 8.2.6 [39] Pour tout λ∈IN, il existe n0(λ) tel que pour tout n≥n0(λ) :
ν(n, n−λ) = (n−λ)!
Le second r´esultat sur le comportement asymptotique de ν(n, d) est dˆu `a M. Deza et P. Frankl (1977).
Th´eor`eme 8.2.7 [32] Pour d ≥ 3, il existe n0(d) ∈ IN tel que pour tout n ≥ n0(d),
ν(n, d) =|Fn d|
Telle qu’elle apparaˆıt dans [32], la d´emonstration de 8.2.7 assure que Fn
d est –`a isom´etrie pr`es– le plus grand d-anticode sur Sym(n) d`es que la condition suivante est
satisfaite : ⌊d 2⌋−1 X j=0 n j 23d2d!< T1(n, n−d) (3)
Dans cette expression, le membre de gauche est une somme comptant un terme de moins que la somme donnant T1 (voir 8.2.5). Pour une valeur fixe de d, cette in´egalit´e est v´erifi´ee pour de grandes valeurs den.
La d´emonstration originale de ce th´eor`eme proc`ede par l’absurde. On suppose l’exis-tence d’und-anticode Ω surSym(n) de taille sup´erieure `aT1(n, n−d). On montre alors que si nsatisfait l’in´egalit´e (3) alors il existe une permutation γ `a distance inf´erieure `a
d
2 de toutes les permutations de l’anticode. Les permutations de gγ−1Ω ont un support de cardinal inf´erieur `a⌈d
2⌉, on montre alors quegγ−1Ω est contenu dansFn d.
Pour les valeurs paires de d, nous avons r´ealis´e quelques am´enagements dans cette d´emonstration. Notre but est de remplacer l’in´egalit´e (3) par une expression qui est v´erifi´ee pour de plus petites valeurs den.
D´emonstration de 8.2.7
Soit Ω un ensemble de permutations de Sym(n) tel que la distance entre deux per-mutations est inf´erieure `a d et dont la taille est maximale : |Ω| = ν(n, d). Soit α une permutation deSym(n), l’ensemblegα(Ω) satisfait aux mˆemes conditions que Ω. On peut donc supposer que1∈Ω. De l`a suit que|supp(β)| ≤dpour toutβ ∈Ω.
Soit β0 un ´el´ement de P tel que |supp(β0)| est maximal. Pour tout β ∈ Ω, l’in´egalit´e suivante est respect´ee :|supp(β)\supp(β0)| ≤ d2. En effet, supposons l’existence d’un ´el´ement β ∈ Ω tel que |supp(β)\supp(β0)| > d2. La maximalit´e de |supp(β0)| entraˆıne
|supp(β0)\supp(β)|> d2 car
|supp(β)|=|supp(β0)∩supp(β)|+|supp(β)\supp(β0)| |supp(β0)|=|supp(β0)∩supp(β)|+|supp(β0)\supp(β)|
Or ceci contredit la d´efinition de l’ensemble Ω. En effet, si dddn(β0, β) ≤ d alors
|supp(β0)△supp(β)| ≤d. Or nous obtenons :
|supp(β0)△supp(β)|=|supp(β0)\supp(β)|+|supp(β)\supp(β0)|> d
Choisissons `a pr´esent un ´el´ement β1 ∈ Ω tel que |supp(β)\supp(β0)| = ⌊d
2⌋. Nous proc´ederons de mˆeme, une fois avoir choisi l’´el´ement βi, on choisit βi+1 ∈Ω satisfaisant
|supp(βi+1)\ ∪ij=0supp(βj)|=⌊d
2⌋.
Supposons que pouri <3d2 + 1, on ne trouve pas de permutation β∈Ω satisfaisant cette condition. Cela signifie que pour toutβ∈Ω,|supp(β)∩([n]\∪ij=0supp(βj))|<⌊d2⌋.
Proc´edons `a un premier comptage du nombre maximal de permutationsβ qui com-posent Ω. Commei <3det|supp(βj)| ≤d, l’union ∪ij=0supp(βj) a au plus 3d2´el´ements. Le support d’une permutationβ ∈Ω a donc au plus d2−1 points en dehors de l’union. Le nombre de supports distincts des ´el´ements de Ω est donc inf´erieur `a 23d2
⌊d 2⌋−1 X j=0 n j . Or chacun de ces supports compte au plusdpoints et correspond donc `a au plusd! permu-tations. Donc|Ω| ≤23d2P⌊d
2⌋−1
j=0 nj
d!. D`es lors, si cette somme a une valeur inf´erieure `a
T1(n, n−d), nous obtenons une contradiction.
On peut cependant ˆetre plus pr´ecis : pour tout i <3d2+ 1, l’union∪ij=0supp(βj) a au plusd+id2 ´el´ements. Supposons que cette union r´ealise effectivement ce cardinal maximal, ce qui suppose n≥d+id2. Les permutations β ∈Ω qui ont un support de cardinalk ( avec bien sˆurk≤d) ont l points hors de l’union∪ij=0supp(βj) (avecl≤ d2 −1) etk−l
points dans l’union. Il y a Dk permutations distinctes dont le support a k points. S’il existe une valeur de itelle que pour toutβ ∈Ω, |supp(β)∩([n]\ ∪i
j=0supp(βj)|<⌊d2⌋, alors le nombre de permutations de Ω vaut au plus
d X k=0 M in(k,d 2−1) X l=0 n−(d+id2) l d+id2 k−l Dk
Si cette somme est inf´erieure `aT1(n, n−d) pour touti∈[3d2+ 1], il y a une contradiction avec l’hypoth`ese |Ω| ≥T1(n, n−d).
On suppose donc que les permutations β0, β1, . . . , β3d
2+1 existent. Nous allons mon-trer qu’elles d´efinissent une permutationγ qui est `a distance inf´erieure `a d2 de toutes les permutations de Ω.
Soit |supp(β0)| = d2 +s,0 ≤ s ≤ d2. Si pour un certain i, avec 1 ≤ i ≤ 3d2 + 1,
|supp(βi)| < d2 +s, alors comme |supp(βi)\supp(β0)| ≥ d2 et |supp(β0)\supp(βi)| > d2, ceci implique|supp(β0)△supp(βi)|>2d2 =d, ce qui est en contradiction avec la d´efinition de Ω.
D`es lors, pour tout i ∈ [3d2 + 1], |supp(βi)| = d2 +s. Alors |supp(βi)△supp(β0)| = 2d2 =d, ce qui implique que les deux permutations co¨ıncident en toutes les positions de
supp(βi)∩supp(β0).
Il s’ensuit que pour touti∈[2,3d2+1],supp(βi)∩supp(β0) =supp(β1)∩supp(β0). En effet, si ce n’est pas le cas, alors|supp(βi)∩supp(β0)|< s, donc|supp(βi)△supp(β1)| ≥
2(d2 + 1)> d, ce qui est une contradiction. D`es lors chacune des permutationsβ0, . . . , β3d
2+1agit de la mˆeme mani`ere sursupp(β1)∩
supp(β0). Cet ensemble est donc invariant sous l’action de βi, i∈[1,3d2+ 1]. Soit γ la permutation qui co¨ıncide avecβ0 sur l’ensemblesupp(β1)∩supp(β0) et avec l’identit´e1
sur le reste des points [n]\(supp(β1)∩supp(β0)). Posons Ωγ =dγ−1Ω ={βγ−1 :β ∈Ω}
Pour 0 ≤i≤j≤3d2 + 1, |supp(βiγ−1)|= d2 et pouri6=j,supp(βi)∩supp(βj) =∅. Comme|supp(γ)| ≤s≤ d2, pour toutβ ∈Ω, |supp(βγ−1)| ≤3d2.
Supposons alors que pour γ ∈Ωγ on ait |supp(γ)|> d2. Comme deux permutations distinctes appartenant `a Ωγ co¨ıncident en au moins n−d positions, donc pour i ∈
[1,3d2 + 1],|supp(β)△supp(βiγ−1)| ≤2d2, ce qui entraˆıne quesupp(β) a une intersection non vide avec chacun des ensembles mutuellement disjointssupp(βiγ−1), ce qui contredit le fait que |supp(β)| ≤3d2. Donc pour tout β ∈Ωγ,|supp(β)| ≤ d2, ce qui est ´equivalent `
a stipuler que Ωγ ⊆ Fn
d, ce qui ach`eve la d´emonstration.
L’am´enagement que nous avons ´etabli dans cette d´emonstration permet par exemple d’affirmer que ν(n,4) = T1(n, n−4) si n ≥ 1523. Si on se base sur l’in´egalit´e (3), on n’obtient l’´egalit´eν(n,4) =T1(n, n−4) que si n≥3.252+ 2≈1016.
La construction explicite des d-anticodes maximaux pour de petites valeurs den et
da donn´eν(n, d) =|Fdn|d`es que |Fdn|> d!. Ceci nous pousse `a conjecturer que l’´egalit´e
ν(n, d) =|Fn
d|reste valide pour de plus petites valeurs den.
Conjecture 8.2.8 Il existe c∈INtel que pour tout d≥c, pour toutn≥d, si T1(n, n−
d)> d! alorsν(n, d) =T1(n, n−d)
Th´eor`eme 8.2.9 [32] µ(n, d)≤ max{(d−1)!,Tn!1(n,n−d+1)}
Ce th´eor`eme est obtenu `a l’aide du lemme 8.2.2 et des anticodes que nous avons pr´esent´es. Un tableau reprenant les majorants pour la taille d’un PA obtenus par appli-cation de 8.2.9 en fonction de net de dest repris dans le tableau r´ecapitulatif 8 `a la fin de ce chapitre.
Les codes de permutations maximaux dont la taille atteint la borne sup´erieure du th´eor`eme 8.2.9 sont identifi´es par les termes suivants, d´efinis par M. Deza et P. Frankl, dans [32].
D´efinition 8.2.10 Un code de permutationsΓ(n, d;s) est dit parfaitsis= T1(n,nn−!d+1).
On dit qu’un code de permutations Γ(n, d, s) est strict (sharp) si s = (n−nλ!−1)! =
n! (d−1)!.
Les permutations d’un tableau strict poss`edent des propri´et´es de transitivit´e, nous y reviendrons `a la section 11.4.1.
Jusqu’ici, aucun code parfait n’a ´et´e exhib´e. Notons qu’une condition n´ecessaire pour qu’un code Γ(n, d) soit parfait est queT1(n, n−d+ 1) soit un diviseur den!. Pourn= 11 etd= 5,T1(11,7) = 56 divise 11!, la condition n´ecessaire pour qu’il existe un code parfait Γ(11,5) est satisfaite. Il est donc envisageable de recouvrir Sym(11) par 11!56 copies de
F411, c’est-`a-dire des boules de rayon 2 de Sym(11). Cependant, toute boule de rayon 2 pour la distance de Hamming co¨ıncide avec une boule de mˆeme centre de rayon 1 pour la distance de Cayley. On peut alors appliquer le th´eor`eme de Rothaus et Thompson [71] :
Th´eor`eme 8.2.11 Si1 +n(n2−1) est divisible par un nombre premier sup´erieur `a√
n+ 2
alors l’ensemble des permutations de Sym(n) n’est pas l’union disjointe de boules de rayon 1 pour la distance de Cayley.
Pourn= 11, 1+n(n2−1) = 56 est divisible par 7>√
11+2. On en d´eduit qu’il n’existe pas de code parfait Γ(11,5).