En 1955, Room d´efinit un objet combinatoire, qui portera son nom : un carr´e de Room (voir [38]). Bien avant que soit initi´ee l’´etude des tableaux de permutations `a proprement parler, une construction associait `a tout tableau ´equidistant un carr´e de Room g´en´eralis´e (voir [11]). Cette correspondance est ´elargie aux tableaux de permutations dans l’article de Colbourn, Kløve et Ling [28].
D´efinition 6.2.5 Soit un ensemble de s ´el´ements, appel´es symboles, et identifi´es, pour
la facuilit´e `a [s]. Un GRSPT(n, λ;s) (Generalized Room Square Packing) de taille net d’indice λest un tableau `a n lignes et ncolonnes tel que :
– chaque cellule contient un sous-ensemble — peut-ˆetre vide — de [s]
– chaque symbole de [s] apparaˆıt exactement une fois dans chaque ligne et une fois dans chaque colonne
– toute paire de symboles distincts de [s]apparaˆıt dans au plus λcellules du tableau.
Proposition 6.2.6 [28] Il existe un GRSPT(n, λ;s)si et seulement s’il existe un tableau
de permutations IΓ(n, d;s) de taille s, avec λ=n−d.
D´emonstration
Soit IΓ = (γ1, . . . , γs) un IΓ(n, d;s). Nous lui associons le GRSPT(IΓ) avec pour en-semble de symboles Y = [s] construit de la mani`ere suivante : si l’entr´ee (k, j) du PA IΓ esti, c’est-`a-direγk(j) =i, on place le symbolekdans la cellule de lai`eme ligne etj`eme colonne du tableau T.
Puisqueγkest une permutation de [n], le symbolekapparaˆıt exactement une fois dans chaque ligneiet dans chaque colonnejdeT(IΓ). Deux permutations de IΓ co¨ıncident en au plus λimages, les symboles les repr´esentant dans T(IΓ) apparaissent ensemble dans au plusλcellules du tableau T(IΓ).
R´eciproquement, on associe canoniquement `a un GRSP T(n, λ;s) le PA IΓ(T) = (γ1, . . . , γs) o`u chaque permutation γk est donn´ee parγk(j) =i(i, j ∈[n]) si le symbole
k∈[s] est contenu dans la cellule de la i`eme ligne et j`eme colonne du GRSP.
Comme deux symboles distincts apparaissent ensemble dans au plus n−d cellules, les deux permutations associ´ees `a ces symboles dans le PA ont au plus n−d entr´ees identiques. Donc la distance entre deux desspermutations du PA IΓ(T) est au moins d. Notons que ces correspondances canoniques entre PA et GRSP sont r´eciproques. Si on note T(IΓ) le tableau canoniquement associ´e `a IΓ et IΓ(T) le PA associ´e `a T, nous pouvons ´ecrire, en acceptant un l´eger abus de notation :
T(IΓ(T)) =T IΓ(T(IΓ)) = IΓ
Exemple 6.2.7 1 2 3 4 γ1 1 2 3 4 γ2 2 3 1 4 γ3 3 1 4 2 γ4 3 4 2 1 γ5 4 2 1 3 1 2 3 4 1 1 3 2,5 4 2 2 1,5 4 3 3 3,4 2 1 5 4 5 4 3 1,2
Un tableau de permutations IΓ(4,3; 5) Le GRSP T(4,1; 5) =T(IΓ) correspondant.
Etant donn´e la correspondance canonique entre GRSP et tableau de permutations, nous pouvons d`es lors d´efinir l’action d’une isom´etrietsur un GRSP : l’image du GRSP canoniquement associ´e au PA IΓ est le GRSP canoniquement associ´e `at(IΓ).
Proposition 6.2.8 SoitIΓun tableau de permutationsIΓ(n, d;s). Sitest une isom´etrie
positive de forme canonique t =gαdβ, le GRSP T(t(IΓ)) est obtenu `a partir du GRSP
T(IΓ) en permutant les lignes de T(IΓ) selon α et les colonnes de T(IΓ) selon β.
Si t =s, le GRSP canoniquement associ´e `a sIΓ est le transpos´e (au sens matriciel) du GRSP associ´e `a IΓ.
En effet, soitγk ∈IΓ, siγk(j) =i(i, j∈[n]), c’est-`a-dire que le symbolekest `a lai`eme ligne et j`eme colonne du GRSP T(IΓ), alorst(γk)(β−1)(j) =α(i). Pour toute isom´etrie n´egativet=gαdβs, le GRSP canoniquement associ´e `atIΓ est obtenu en transposantT(IΓ) puis en permutant les lignes et colonnes du transpos´e de T(IΓ) suivant α et β respecti-vement.
Exemple 6.2.9 Reprenons le tableau IΓ de l’exemple 6.2.7. Le GRSP correspondant `a
g(1,2,3)IΓ est obtenu en appliquant la permutation (1,2,3)aux lignes du GRSP associ´e `a
IΓ. Le GRSP associ´e `a d(2,3,4)(IΓ) est l’image du GRSP associ´e `a IΓ en permutant les colonnes selon (2,4,3). En transposant le GRSPT(IΓ), on obtient le GRSP T(sIΓ).
1 2 3 4 1 3,4 2 1 5 2 1 3 2,5 4 3 2 1,5 4 3 4 5 4 3 1,2 1 2 3 4 1 1 2,5 4 3 2 2 4 3 1,5 3 3,4 1 5 2 4 5 3 1,2 4 1 2 3 4 1 1 2 3,4 5 2 3 1,5 2 4 3 2,5 4 1 3 4 4 3 5 1,2
Le GRSPT(g(1,2,3)IΓ) Le GRSPT(d(2,3,4)IΓ) Le GRSP T(sIΓ)
Rappelons la relation d’´equivalence entre tableaux de permutations (voir section 4.1) : deux tableaux sont ´equivalents si les ensembles des permutations qui composent ces deux tableaux sont ´egaux. Cette ´equivalence entre tableaux de permutations s’´etend aux GRSP : deux GRSP T1(n, λ;s), T2(n, λ;s) correspondent `a un mˆeme code s’il existe une permutation des s symboles qui transforme T1 en T2. A un code de permutations Γ(n, d;s), nous ferons correspondre canoniquement le GRSP associ´e au tableau bien or-donn´e correspondant.
6.2.3 (n, λ)-packing doublement r´esoluble
Dans [28], Colbourn, Kløve et Ling adaptent au cadre des codes de permutations la construction r´ealis´ee par Deza et Vanstone pour les codes de permutations ´equidistants [33].
D´efinition 6.2.10 Un (n, λ)-packing d’ordre sest un couple (Y,B) tel que :
– Y est un ensemble des ´el´ements
– B est une collection de bsous-ensembles de Y, appel´es blocs, tels que toute paire d’´el´ements distincts de Y apparaˆıt dans au plusλ blocs
– chaque ´el´ement de Y est contenu dans exactement nblocs
Une classe de r´esolution est un ensemble de blocs disjoints de B dont l’union est
Y. Une r´esolution d’un (n, λ)-packing (Y,B) est une partition de B en n classes de r´esolutions R = {R1, R2, . . . , Rn}. Un (n, λ)-packing (Y,B) est r´esoluble s’il admet au moins une r´esolution.
Soient R et S deux r´esolutions de (Y,B), on dit que R et S sont orthogonales si l’intersection de chaque classe de r´esolution deR avec chacune des classes de r´esolution de S compte au plus un bloc.
Un (n, λ)-packing est doublement r´esoluble s’il a deux r´esolutions orthogonales. Un
(n, λ)-packing doublement r´esoluble d’ordre s est not´eDR(n, λ;s).
Th´eor`eme 6.2.11 [28] Il existe un GRSP T(n, λ;s) si et seulement si il existe un
DR(n, λ;s)
D´emonstration
Partant d’un T(n, λ;s), on construit le (n, λ)-packing (Y,B) d’ordre s en prenant pour ensembleY l’ensemble de tous les symboles apparaissant dans le GRSP et pour blocs les ensembles de symboles de chaque cellule du T. Les deux r´esolutions orthogonales sont obtenues en prenant pour classes de r´esolution les blocs de chaque ligne duTd’une part et les bloc de chaque colonne d’autre part.
De mˆeme, s’il existe un (n, λ)-packing doublement r´esoluble, on construit le GRSP
T(n, λ;s) en formant les lignes et les colonnes du T avec les n classes de r´esolution des
deux r´esolutions orthogonales.
Etant donn´e un tableau de permutations IΓ(n, d;s), nous lui associons leDR(n, λ;s) qui correspond au GRSP T(IΓ). Les classes de r´esolutions sont des ensembles, on re-marque que le (n, λ)-packing DR associ´e `a t(IΓ) ne diff`ere pas de celui associ´e `a IΓ si t
est une isom´etrie positive. Sitest n´egative, leDRassoci´e `at(IΓ) est obtenu en permutant les deux r´esolutions orthogonales.
Deux tableaux de permutations IΓ1,IΓ2 correspondant au mˆeme code Γ(n, d) sont ´equivalents et les deux (n, λ)-packing doublement r´esolubles associ´es `a IΓ1 et IΓ2 sont ´egaux `a une permutation des symboles pr`es.
Exemple 6.2.12 Le GRSP T(4,1,5) de l’exemple 6.2.7 est associ´e au (4,1)−packing d’ordre 5 (Y,B) o`uY = [5]et
B=
{1},{1},{2},{2},{3},{3},{3},{4},{4},{4},{5},{5},{2,5},{1,5},{3,4},{1,2}
Les deux r´esolutions orthogonales sont obtenues en prenant les lignes (r´esolution R) et les colonnes (r´esolution S) du GRSP.
R=n {1},{3},{4},{2,5} , {2},{3},{4},{1,5} , {1},{2},{5},{3,4} {3}{4},{5},{1,2} o S =n {1},{2},{5},{3,4} , {2},{3},{4},{1,5} , {1},{3},{4},{2,5} , {3},{4},{5},{1,2} o