La méthode de décomposition de domaine mixte à deux échelles décrite dans le chapitre 3 a été adaptée à la résolution robuste du problème de délaminage de référence posé dans le chapitre 1. Dans la version proposée ici, l’algorithme utilisé pour résoudre le problème non-linéaire posé à chaque piquet de temps de l’analyse est très proche d’un schéma de Newton-Raphson sécant à opérateur de prédiction linéaire initial. Cependant, la résolution du problème linéarisé correspondant aux étapes de prédiction de Newton est réalisée de manière approchée : seules les quan-tités macroscopiques des étapes linéaires de l’algorithme LaTIn vérifient l’équilibre linéarisé global sur la structure.
Une procédure de mise à jour du « problème sécant » par modification des pa-ramètres de direction de recherche est également effectuée lorsqu’un changement de statut est observé au niveau des interfaces cohésives, correspondant à une variation importante de la rigidité d’interface.
CHAPITRE
5
Traitement des
non-linéarités localisées
Les non-linéarités d’interface très localisées du problème sous-structuré provoquent une dégradation du taux de convergence de la stratégie itérative. Des solutions, basées soit sur un enrichissement du problème, soit sur la pratique de calculs supplémentaires dans les zones à forts gradients, sont proposées.
Sommaire
1 Enrichissement de la base macroscopique . . . 107 1.1 Enrichissement polynomial . . . 107 1.2 Base macroscopique discontinue . . . 109 1.3 Base macroscopique complète . . . 110 2 Sous-itérations dans les zones à forts gradients . . . 113 2.1 Conditions aux limites du problème extrait . . . 114 2.2 Problème extrait sous-structuré . . . 115 2.3 Construction du problème macroscopique local . . . 115 2.4 Construction adaptative du sous-problème . . . 117 2.5 Parallélisation . . . 118 2.6 Résultats . . . 120 3 Enseignements et utilisation des concepts développés . . . . 120
Les premiers essais numériques réalisés pendant ces travaux ont montré une baisse significative du taux de convergence du solveur LaTIn lors des calculs de propagation de fissure. Le cas test de type DCB représenté Figure 5.1 est résolu en 10 pas de temps : les deux premiers correspondent à l’initiation du délaminage, les suivants à la propagation des fissures. A partir du troisième pas de temps, le nombre d’itérations LaTIn nécessaires pour obtenir une solution convergée explose (voir sur la figure 5.11 page 121) les colonnes intitulées « procédure classique »). Cette augmentation significative apparaît dans tous les problèmes de délaminage simulés au cours de nos travaux. Son amplitude dépend notamment de la raideur des interfaces cohésives et du pas de temps de l’analyse.
Fig. 5.1: Cas test de type DCB à quatre plis
Plusieurs causes expliquant la chute du taux de convergence ont été identifiées : Nous avons montré dans le chapitre 4 que la représentation macroscopique du comportement des interfaces à l’étape linéaire du solveur LaTIn dépend forte-ment du choix des paramètres de direction de recherche. Une mauvaise repré-sentation de ce comportement, en particulier pour des interfaces cohésives, a pour conséquence une dégradation du taux de convergence. Des solutions ont été proposées pour pallier cette difficulté.
Dans les zones à fort gradient, la représentation des champs statiques et ciné-matiques d’interface dans l’espace macroscopique est insuffisante. En pointe de fissure, les quantités microscopiques peuvent avoir une amplitude de même ordre de grandeur que celle des champs macroscopiques (voir Figure 2.2.3 (b) page 64). Ce phénomène apparaît plus clairement lorsque les interfaces cohé-sives traitées sont « plus raides » que les sous-structures, la concentration de contrainte sur le front de fissure se rapprochant alors d’une singularité. Les quantités microscopiques d’interface ont, dans ce cas de figure, une influence globale sur la solution dans la structure. Cette influence n’est malheureusement pas transmise aux sous-structures lointaines par la résolution du problème
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croscopique.
La simulation d’une propagation de fissure nécessite, pour chaque pas de temps de l’analyse, le calcul d’un nombre important d’états d’équilibre inter-médiaires. Plus précisément, la propagation du front de fissure d’un premier état à un second nécessite un calcul pratiquement convergé des concentrations de contrainte dans le premier état. Lors du traitement d’interfaces cohésives très rigides, plusieurs itérations LaTIn sont ainsi nécessaires à l’avancée de la fissure d’un seul front de points d’intégration. Ceci explique les courbes de convergence chahutées observées lors de calcul de délaminage (voir Figure 5.7 page 112), les remontées du résidu correspondant à des changements de statuts locaux sur les interfaces cohésives situées près de la pointe de fissure.
Fig. 5.2: Convergence d’un cas test à vingt sous-structures en 2D soumis à divers cas de chargement
Les deux derniers phénomènes sont illustrés par les résultats donnés sur la figure 5.2. La structure étudiée en 2D est composée de 20 sous-structures. La déformée de la structure, les efforts macroscopiques et microscopiques d’interface sont donnés pour trois cas de charge et de comportement d’interface différents. Les courbes de
convergence de l’algorithme LaTIn obtenues sont comparées sur un même graphique. Dans le cas test 1, toutes les interfaces sont parfaites, et le chargement est choisi de façon à ce que la solution soit parfaitement représentée par la base macroscopique linéaire. Dans le cas test 2, toujours linéaire, une pré-fissure est définie, et le char-gement active une singularité de contrainte en pointe de fissure. La baisse du taux de convergence obtenu dans ce cas est flagrante et uniquement due à la mauvaise séparation d’échelle évoquée. Dans le dernier cas, les interfaces horizontales ont un comportement cohésif. Le chargement est appliqué en quasi-statique sur dix pas de temps. La courbe de convergence tracée est celle d’un calcul LaTIn à un piquet de temps correspondant à la propagation de la fissure. Les deux effets décrits précé-demment se cumulent et dégradent très fortement le taux de convergence.
Dans un premier temps, une solution au seul problème de mauvaise séparation d’échelle a été recherchée. Deux façons de rétablir l’extensibilité numérique ont ainsi été envisagées :
Une première famille de solutions consiste à effectuer un certain nombre de calculs représentatifs, dont les solutions peuvent être réutilisées par la suite au cours de l’analyse. Ces solutions peuvent permettre un enrichissement de la base macroscopique couplé éventuellement à une approximation pertinente de la solution microscopique dans les zones à fort gradient. Cette démarche de calcul de fonctions handbook est celle employée par [Strouboulis et al., 2001] dans le cadre de la GFEM.
La deuxième famille de solutions pour rétablir l’extensibilité de la méthode lors du traitement de non-linéarités localisées consiste à enrichir la base ma-croscopique par des fonctions choisies a priori. Le but de cette démarche est de trouver une base permettant une bonne représentation des quantités à grande longueur de variation pour un nombre faible de degrés de liberté macrosco-piques. Cette approche est conceptuellement semblable à celle proposée par [Moës et al., 1999] dans le cadre de la XFEM pour enrichir la base éléments finis, qui correspondant ici à la discrétisation microscopique.
Nous nous sommes ici dirigés vers la seconde famille de stratégies évoquées. Le choix d’une base macroscopique enrichie localement a permis d’obtenir la séparation d’échelle souhaitée dans les simulations de fissuration proposées par [Guidault et al., 2008], sur lesquelles nous reviendrons. Dans notre cas, un espace macroscopique per-tinent à faible nombre de degrés de liberté n’a pas été trouvé. Un enrichissement permettant la transmission de toute l’information microscopique du front de dé-laminage est alors pratiqué. Son obtention fait l’objet de la section 1. Cependant, l’utilisation de la base « macroscopique » enrichie alourdit fortement les calculs. Une stratégie alternative moins coûteuse, bâtie sur ces idées et assurant également l’ex-tensibilité, est proposée dans la section 2. Cette méthode permet, comme nous le verrons, de résoudre également la dernière difficulté soulevée, liée à la quantité de calculs d’équilibre global nécessaires à la propagation du front de fissure au cours du processus itératif.
Enrichissement de la base macroscopique 107
1 Enrichissement de la base macroscopique
Les différents enrichissements testés, en 2D, sont représentés sur la figure 5.3. Les résultats obtenus pour chacun de ces enrichissements sont détaillés dans les sections suivantes.