Le dernier enrichissement testé consiste à utiliser tous les degrés de liberté d’in-terface comme base macroscopique. Cette pratique est aisée, ces fonctions étant orthogonales au sens du produit scalaire de L2(Γ) sur une interface Γ ∈ Γ.
Cette idée a été mise en pratique pour résoudre le problème linéaire corres-pondant au cas test 2 sur la figure 5.2 (page 105). En utilisant la séparation des directions de recherche macroscopiques et microscopiques décrite dans le chapitre 4, la convergence est atteinte en une itération. En effet, à l’étape linéaire de la stratégie, l’équilibre des sous-structures est vérifié ainsi que l’équilibre des champs statiques d’interface (par résolution du problème macroscopique enrichi). Le choix des directions de recherche macroscopiques optimales permet alors d’assurer la véri-fication du comportement complet des interfaces parfaites et cohésives pré-fissurées. Le problème sous-structuré est donc résolu exactement (si le coefficient de péna-lisation des paramètres de direction de recherche macroscopique est suffisamment
Enrichissement de la base macroscopique 111
5
6
Déformée et contrainte dans les sous-structures (en haut), endommagement et premier vecteur de
la base macroscopique discontinue sur les interfaces (en bas)
Pas de temps
4
Fig. 5.6: Inadaptation de la base macroscopique linéaire discontinue pour les pro-blèmes de délaminage
élevé) à la fin de la première étape linéaire du solveur. La courbe de convergence LaTIn obtenue est donnée sur la figure 5.4 (intitulée « macro complet »). On notera que, sans la pratique du raccord macroscopique entre sous-structures au sens du comportement d’interface, à l’étape linéaire du solveur itératif, le gain apporté par cet enrichissement est également nul.
Un cas moins dégénéré d’utilisation de cet enrichissement et de ne le pratiquer que sur les sous-structures situées dans une zone située autour de la pointe de fissure. Un gain significatif est observé sur le taux de convergence obtenu par rapport aux calculs sans enrichissement de la base macroscopique. Les résultats de cet enrichis-sement local sont fournis directement pour des calculs non-linéaires avec interfaces cohésives. La figure 5.7 donne les courbes de convergence LaTIn obtenues dans un premier temps par utilisation d’une base linéaire classique (courbe intitulée « macro linéaire »), et dans un second temps par enrichissement microscopique sur les quatre sous-structures entourant la pointe de fissure du cas test 3 de la figure 5.2 (courbe intitulée « macro complet localisé »).
monoéchelle –1 0 –2 Erreur (log) Iterations –3 –4 –5 –6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 Erreur (log) Iterations 0 –1 –2 –3 –4 10 20 30 40 50 60 macro effort macro linéaire macro cubique
macro complet macro complet
localisé macro linéaire
Fig. 5.7: Enrichissement local de la base macroscopique pour la propagation de fissure sur un cas test 2D
Nos lacunes à transmettre les effets à grande longueur de variation des concentra-tions de contrainte liées au front de fissure par le problème macroscopique peuvent être comblées en résolvant de manière exacte, à chaque étape linéaire de l’algorithme LaTIn, le problème linéarisé de la zone dans laquelle cette concentration a un ef-fet dominant. L’extensibilité numérique globale de la méthode est restaurée par ce procédé.
L’enrichissement proposé a été étendu au 3D et donne des résultats similaires. Cependant, il ne nous donne pas satisfaction car il alourdit la construction et la résolution du problème macroscopique. En effet, assembler l’opérateur homogénéisé
Sous-itérations dans les zones à forts gradients 113
d’une sous-structure enrichie revient à calculer explicitement le complément de Schur primal de cette sous-structure, et donc à effectuer une quantité considérable de réso-lutions de systèmes locaux. En outre, dans le cadre d’une résolution en parallèle, les opérateurs homogénéisés enrichis sont stockés sur les quelques processeurs traitant les sous-structures situées près du front de fissure. Un problème de répartition de charge (en mémoire et en temps CPU) se pose alors.
Une technique envisageable serait de résoudre de manière itérative le problème linéarisé de la zone située autour du front de délaminage, à chaque étape linéaire du solveur itératif, par la méthode de décomposition de domaine mixte à deux échelles. Dans la section 2, nous préférons à cette méthode la résolution itérative du problème non-linéaire de cette zone, à chaque itération de l’algorithme LaTIn global. Cette stratégie alternative permet également de recouvrer l’extensibilité en transmettant l’information à grande longueur d’onde issue des quantités microscopiques en pointe de fissure. En outre, les résolutions non-linéaires locales forcent la propagation du front de délaminage et limitent le nombre de calculs d’équilibre global nécessaires à la convergence.
2 Sous-itérations dans les zones à forts gradients
Interfaces assurant des conditions de raccord mixtes avec la solution globale Interface possédant l’incrément d’endommagement local maximum
Extraction d’un sous-problème local Itérations LaTIn locales Itérations LaTIn globales
Fig. 5.8: Résolution d’un problème non-linéaire local par la stratégie micro/macro à chaque itération LaTIn globale
à deux échelles le problème non-linéaire localisé sur un bloc autour du front de délaminage, à chaque itération du solveur global (voir Figure 5.8). Schématiquement, les calculs non-linéaires dans cette zone permettent de traduire les effets locaux dûs à la fissuration en contributions macroscopiques sur les interfaces des sous-domaines voisins. Une fois ces contributions obtenues, un calcul standard permet de les propager à l’ensemble de la structure. La partie du domaine Ω correspondant à ce bloc sera notée Ωsub, et sa frontière ∂Ωsub. La structure extraite sera notée Esub. La procédure utilisée est décrite par l’algorithme 2. Le point délicat de cette mé-thode est le raccord entre le problème global et le problème extrait, qui conditionne la convergence des algorithmes LaTIn locaux et globaux. Nous nous concentrons dans un premier temps sur l’étude de ce raccord. Ce choix effectué, la résolution
du problème local sur Esub par la stratégie micro/macro pose assez peu de
diffi-culté. Seules les différences avec l’algorithme global décrit dans le chapitre 3 seront détaillées.
Remarque 2.1 Cette démarche possède de fortes similitudes avec les techniques de relocalisations non-linéaires développées dans [Cresta et al., 2007; Pebrel et al., 2008]. Dans ces travaux, les auteurs résolvent des problèmes non-linéaires indépen-dants pour chaque sous-structure, après une prédiction linéaire globale de Newton résolue par une méthode de décomposition de domaine duale ou mixte. Le but de cette démarche est d’effectuer le nombre minimum de calculs d’équilibre globaux né-cessaires à la propagation de l’information dans la structure.
Techniquement cependant, les problématiques sont différentes. Ici, les relocali-sations sont effectuées sur un ensemble de sous-structures afin d’activer les non-linéarités d’interface. En outre, elles sont effectuées à partir d’une solution
admis-sible de Ad correspondant uniquement à un équilibre global macroscopique.