Bilan

La configuration à double marche de hauteur 1 µ𝑚 offre un piégeage huit fois supérieur à celui obtenu avec une structure mesa-inversée à simple marche de hauteur 6 µ𝑚. Puisque les conditions aux limites sur les faces latérales de la plaque sont de fait repoussées à l’infini, la validité du modèle se limite par principe au cas où l’onde parvient à s’atténuer avant qu’elle n’arrive sur les bords de la membrane.

L’ensemble des graphes présentés indique que les pertes dans les supports dépendent essentiellement de la dimension latérale de la membrane, Les pertes attendues sont d’autant plus faibles que 𝐿 augmente. Il faut remarquer qu’une profondeur de cavité de piégeage importante se traduit par un comportement de l’onde à l’interface partie mince/partie épaisse qu’on ne peut pas modéliser puisque les conditions aux limites sur la surface verticale à l’interface de deux régions d’épaisseurs différentes ne sont pas prises en compte. Ceci milite dont en faveur de l’utilisation de marches multiples, mais de hauteur limitée. Nous avons pu démontrer que ceci permet d’améliorer significativement le piégeage sans augmentation de L, ce qui favoriserait l’apparition d’une flexion importante sous l’effet de la tension de polarisation, avec un seuil de pull-in très bas limitant le 𝑘2_.

Les premières analyses des structures à double marche indiquent que l’éloignement entre les flancs de deux marches successives ne doit pas être très grand.

La verticalité de notre structure semble plus avantageuse que les Si-BARs de Georgia Tech [Pourkamali et al., 2005] pour réaliser la structure de piégeage de l’énergie. En effet, l’élément résonnant des Si-BAR est une plaque perpendiculaire au plan du wafer, et il paraît assez improbable de structurer précisément une telle plaque dans un plan vertical sur toute sa génératrice lorsque les hauteurs des marches à réaliser se réduisent au micromètre, voire moins lorsque la fréquence s’élève à plusieurs centaines de 𝑀𝐻𝑧.

3.6 Conclusion 133

3.6 Conclusion

ans ce chapitre, nous avons d’abord élaboré une méthode simple permettant une description bidimensionnelle des modes de quasi extension‒compression d’épaisseur pour une plaque en Si (100). Appliquant au silicium un corpus théorique initialement proposé par Tiersten [Stevens et Tiersten, 1986] pour les plaques piézoélectriques dans la lignée des travaux de R. D. Mindlin, ce modèle s’appuie sur un calcul analytique de la courbure des courbes de dispersion établies sous la forme fréquence angulaire / fonction du nombre d’onde dans la direction du guidage coïncidant avec un des axes du repère cubique dans le plan de la plaque. Ces développements montrent que le confinement des vibrations relevant du mode fondamental d’extension-compression d’épaisseur nécessite de pratiquer un amincissement localisé de la région centrale de la plaque (structure dite mesa‒inverse), en raison de la valeur négative de la constante de dispersion de ce mode dans le silicium (100). Cela nous a permis de mettre en évidence l’effet négatif d’une électrode localisée sur le piégeage d’énergie de l’ensemble des résonances du mode fondamental d’épaisseur. C’est pourquoi nous privilégions une réalisation avec plan de masse général pour exciter cette famille de modes dans un wafer de silicium isolant. La même conclusion s’appliquerait également à l’exploitation éventuelle des résonances du partiel deux.

À contrario, ce modèle 2D montre que le dépôt d’une électrode localisée favorise le piégeage d’énergie des résonances du partiel 3, dont la possibilité d’exploitation restera cependant à prouver en raison de la décroissance quadratique du coefficient de couplage électromécanique n fonction du rang de partiel d’épaisseur. Ce modèle 2D est en accord avec les travaux antérieurs de M. Ivan [Ivan, 2012] ; nous l’avons ensuite étendu au cas 3D, pour déterminer approximativement la distribution d’amplitude des modes de quasi extension-compression d’épaisseur dans toutes les directions. À dimensions latérales et amincissement imposés, on parvient alors à déterminer une dimension optimale de la zone amincie en vue d’optimiser le facteur de qualité du résonateur dans le cas de la configuration simple mesa inversée. Enfin, nous avons proposé une étude originale des possibilités d’amélioration du piégeage offertes par une structure dite double mesa-inversée présentant deux sauts d’épaisseur consécutifs (marches) dans la région de confinement de l’énergie. L’analyse paramétrique montre que les meilleurs résultats sont attendus lorsque l’extension de la région d’épaisseur intermédiaire au- delà de la zone centrale (la plus mince) reste limitée.

Les résultats des modèles présentés seront consolidés et affinés dans le chapitres suivant par des simulations numériques 3D effectuées dans le cadre du mode électromécanique inclus dans le module MEMS du logiciel par éléments finis COMSOL Multiphysics®.

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Chapitre 4

Modélisation numérique 3D du résonateur

C-BAR

4.1 Introduction

ne première modélisation analytique du C-BAR a été effectuée en amont de la phase de fabrication. Pour atteindre l’objectif de cette thèse, à savoir la réalisation d’un résonateur électromécanique de type C-BAR, il est nécessaire de définir une structure résonnante accordée pour fournir une bonne réponse sur le mode d’extension-compression d’épaisseur. Il s’agit avant tout de fixer les caractéristiques de performance garantissant un fonctionnement optimal du résonateur. La modélisation analytique doit donc être appuyée par des simulations numériques 3D par éléments finis qui permettent de définir les paramètres géométriques du C-BAR.

La finalité de ces simulations consiste à extraire la réponse fréquentielle du C-BAR, dont l’élément vibrant est une membrane carrée siège d’ondes élastiques présentant une polarisation essentiellement hors plan du substrat dont le côté est fixé à 5000 et 7000 µ𝑚 et dont le matériau structurel est constitué de silicium monocristallin non-contraint. Afin de garder l’aspect de propagation d’onde dans le volume (TE-modes), nous proposerons un résonateur de dimensions latérales relativement supérieures à celles de son épaisseur en évitant ainsi d’être dans une configuration de type « poutre » en mode longitudinal, qui avait été explorée avec un certain succès au début des années 2000 par le groupe Finlandais de Mattila [Mattila, Kiihamäki et al., 2002]

Cependant, l’épaisseur du résonateur doit être déterminée soigneusement pour répondre aux exigences de l’excitation électrostatique. En effet, dans le cas où la dimension latérale est trop importante devant l’épaisseur et compte tenu des faibles épaisseurs de gaps visées, la membrane vibrante supportant l’électrode mobile supérieure se trouve susceptible d’entrer en contact avec l’élément de base. Cette situation conduirait à l’échec du résonateur lors de l’application de tensions de polarisation élevées. Ce phénomène est très connu dans MEMS, où les électrodes se mettent inévitablement au contact l’une de l’autre, en anglais « pull-in ». Ce point sera traité plus en profondeur dans la section (𝑐𝑓. 4.2.4.2). Il est donc nécessaire de trouver un compromis entre la dimension de l’épaisseur fixant le mode de vibration de la membrane et la fréquence de résonance du C-BAR et les dimensions transversales du résonateur (côté de la membrane) fixant la limite du pull-in.