Figure 2.10 – Evolution des différents temps caractéristiques en fonction de la température de la fonte, pour une bulle de 1 mm de rayon, lorsque la seule réaction se déroulant dans la fonte est l’oxydo-réduction du sulfate : — : τB hydrodynamique ; —⋅— : τconv convection ;
—+— : τDO2 diffusion de l’O2 ; —×— : τO2 transfert interfacial de l’O2 ; —○— : τDRO2
diffusion de l’O2 avec réaction du sulfate.
par les valeurs des constantes d’équilibre, puisque celle du fer est de l’ordre de 10, tandis que celle du sulfate est de l’ordre de 100 : la réaction du sulfate est plus marquée dans le sens de la consommation de l’oxygène, ce qui ralentira d’autant plus l’établissement du profil de concentration.
2.4 Bilan.
Dans la section précédente, il a été montré que le temps caractéristique hydrodynamique était très court par rapport aux autres phénomènes. Une bulle lâchée dans du verre liquide atteint donc quasiment instantanément sa vitesse terminale d’ascension en regard des autres phénomènes. C’est pourquoi nous considérerons dans la suite de ce manuscrit le cas de bulles évoluant à vitesse constante dans les simulations tenant compte de la convection. L’étude des temps caractéristiques a également pu nous donner des informations sur la rapidité des différents phénomènes influençant le transfert de matière, à atteindre leur régime stationnaire. L’établissement du phénomène de convection étant beaucoup plus rapide que ceux de la diffusion et de la réaction, nous allons donc dans un premier temps étudier le couplage diffusion + réaction.
Chapitre 3
Etude locale autour de l’interface
d’une bulle (Approche 1D).
Conformément à la démarche générale décrite dans le chapitre précédent, l’étude se concentre désormais sur le couplage des phénomènes de diffusion et de réaction. En se plaçant près de l’interface, les effets de courbure de celui-ci deviennent négligeables, rendant possible l’utilisation de l’approche 1D sur laquelle est basée ce chapitre. Dans un premier temps, le code de simulation numérique utilisé sera décrit, puis une étude théorique du couplage diffusion-réaction à l’aide d’une réaction réversible simple sera détaillée. Elle permettra de valider le code et de mettre en place des outils qui pourront être utilisés par la suite pour les réactions plus complexes de la fonte verrière, à savoir l’oxydoréduction du fer et du sulfate. Dans le but d’évaluer un des termes intervenant dans l’expression du terme source ΦjS, un
modèle de comportement du transfert de matière interfacial sera ensuite établi, dans le cas d’une bulle d’oxygène plongée dans une fonte où seule la réaction du fer a lieu. En parallèle de ces études numériques, des campagnes expérimentales d’évaluation des coefficients de diffusion de l’oxygène, également fondées sur une approche 1D, ont été menées. La mise en place du protocole expérimental, les différentes expériences menées et leur exploitation seront alors présentées.
3.1 Présentation du code de simulation numérique JA-
DIM.
Nos simulations numériques ont été réalisées avec le code JADIM, développé au sein de l’IMFT. Ce code est particulièrement bien adapté pour l’étude fine de l’hydrodynamique autour de bulles. Il permet de résoudre directement les équations de Navier-Stokes complètes couplées au transport des espèces en solution dans le liquide.
Les équations qui régissent l’hydrodynamique sont résolues en variables primitives sous la formulation vitesse-pression pour un système de coordonnées curvilignes orthogonales. La discrétisation spatiale se base sur un maillage décalé (cf. figure 3.1). Ceci signifie que les scalaires, tels que la pression ou les concentrations, sont calculés au centre de la maille tandis que les vecteurs le sont sur les faces de la maille considérée. Les équations sont intégrées dans l’espace avec une méthode de type volumes finis (précision au second ordre). L’avancement en temps est réalisé à l’aide d’un algorithme de Runge-Kutta/Crank-Nicolson, précis à l’ordre deux, alors que l’équation de continuité qui assure l’incompressibilité est satisfaite à la fin de chaque pas de temps par la résolution d’une équation de Poisson pour le potentiel auxiliaire. Le code JADIM est décrit plus en détails dans [50] et [45].
CHAPITRE 3. ETUDE LOCALE AUTOUR DE L’INTERFACE D’UNE BULLE (APPROCHE 1D).
Figure 3.1 – Description du principe d’un maillage décalé : les scalaires sont calculés au centre des mailles et les vecteurs sur les faces.
Les équations régissant l’écoulement ont été couplées aux équations de transport d’espèce par les travaux successifs de Haroun ([36], [35]) et Sarrot [58]. Une équation de transport d’espèce est résolue pour chacune des Ns espèces chimiques χj considérées. La présence des
Nr réactions chimiques se déroulant dans la phase continue est modélisée par le terme source
Φj. Nous effectuons des simulations numériques directes, résolvant le système d’équations
suivant dans chaque maille du domaine de calcul : ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎩ ∇.Uf = 0 ρ(∂t∂Uf + ∇. (UfUf) ) = −∇p + ∇.(µ (∇Uf + ∇Uft) ) + ρg ∂ ∂t[χj] + ∇. ([χj]Uf) = ∇. (Dj∇[χj]) + Φj (3.1)
avec Uf la vitesse du fluide, p la pression du fluide, ρ la masse volumique du fluide, g l’accélération de la pesanteur,[χj] la concentration molaire en espèce χj, et Dj le coefficient
de diffusion de l’espèce chimique χj. Cette formulation de l’équation de transport des espèces
est possible dans le cadre de forte dilution, comme cela a été précisé dans la section 1.2.3. Ceci étant notre cas, les phénomènes d’interdiffusion entre les différentes espèces sont donc négligés. La résolution des équations (3.1) sera complétée par les conditions aux limites.
La formulation des réactions a été choisie de manière à ce que chaque espèce χj y
intervienne. Cela permet d’avoir une formulation indépendante du nombre d’espèces et du nombre de réactions chimiques. Comme vu dans l’introduction du chapitre 2, le terme source Φj s’exprime en fonction des avancements de réaction vi :
Φj = d[χj] dt = Nr ∑ i=1 (δij− γij) vi avec : vi = k+i Ns ∏ j=1 [χj]gij − k−i Ns ∏ j=1 [χj]dij
Les valeurs de γij et δij sont fixées par les coefficients stœchiométriques des réactifs et
des produits de la réaction ri pour l’espèce χj. Par exemple, si nous considérons un cas avec
2 réactions et 4 espèces, elles seront écrites de la manière suivante : ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎩ γ11 χ1 + γ12 χ2 + γ13 χ3 + γ14 χ4 k1+ ⇄ k−1 δ11 χ1 + δ12 χ2 + δ13 χ3 + δ14 χ4 (réaction n°1) γ21 χ1 + γ22 χ2 + γ23 χ3 + γ24 χ4 k2+ ⇄ k−2 δ21 χ1 + δ22 χ2 + δ23 χ3 + δ24 χ4 (réaction n°2),