Bilan des luminaires

Uma vez que 0 < Ωde < 1, dΩ_dzde é sempre negativo, a densidade de energia HDE aumenta

a medida que o redshift z → −1. Da equação de Friedmann (A.7) e da equação (A.23), o parâmetro Hubble para este modelo é

H2_(z) H2 0 = Ωr(1 + z) 4_{+ Ω} b(1 + z)3+ Ωc(1 + z)3 1 − Ωde(z) . (A.24)

O parâmetro C tem um papel importante quando queremos determinar a evolução cósmica da energia escura holográfica padrão. De fato, C = 1, ωde = −1 assim a HDE se comportará

como uma constante cosmológica Λ; para C > 1, ωde> −1, então a HDE tenderá a um cenário

de quintessência. Finalmente, C < 1, ωde < −1, a HDE pode cruzar a barreira phantom. Isto

significa que C é o parâmetro chave no contexto da energia escura holográfica padrão.

A.2

Vínculos Observacionais e Resultados

A fim de restringir os parâmetros livres e comparar os modelos em consideração, realizamos uma análise estatística Bayesiana utilizando dados cosmológicas recentes. Utilizaremos toda teoria e os dados que foram apresentados na seção4.2, adicionando um novo conjunto de dados de supernova do tipo Ia (JLA) advindo da referência [135]. A distribuição a priori dos parâmetros dos modelos são mostrados na Tabela A.1. Os resultados da análise conjunta para os parâmetros cosmológicos são apresentados nas TabelasA.2,A.3e nas Figuras

A.1,A.2eA.3. As TabelasA.4eA.5apresentam os resultados da análise estatística considerada neste trabalho.

Os principais resultados da análise conjunta Pantheon + BAO + CC + CMB priors para os modelos considerados estão resumidos na Tabela A.2, que inclui a média e o correspondente erro em 1σ dos parâmetros de cada modelo. As Figuras A.1, A.2 e

A.3 apresentam as distribuições posteriores e os níveis de confiança em 68%, 95% e 99% para os modelos estudados. A partir da Tabela A.2, os valores obtidos para o parâmetro de Hubble adimensional estão de acordo com os últimos resultados da missão Planck [62]. Note que para ΛCDM, Modelos 1 e 2, os valores de Ωb são pouco afetados pelos dados

considerados. Uma pequena variação no valor do Ωb ocorre no Modelo ωCDM e Modelo 3,

mas em 1σ o valor está de acordo com o modelo ΛCDM. Para os Modelos 1 e 2, obtemos Ωc = 0.275 ± 0.047 e 0.263 ± 0.038, que são ligeiramente maiores que os obtidos pelo

modelo ΛCDM, respectivamente. E para o Modelo 3, obtemos Ωc = 0.230 ± 0.038 que é

um pouco menor quando comparado ao ΛCDM. Para o parâmetro não-extensivo nos Modelos 1e 2, obtemos δ = 2.13+0.20_−0.32 e δ = 1.047 ± 0.044, respectivamente. O valor obtido de δ no Modelo 1, recupera o ΛCDM em um 1σ de confiança, além disso, esse resultado está em acordo com a referência [263]. E para o Modelo 2, obtemos que não há desvio significativo do modelo de energia escura holográfica padrão (Modelo 3) com B = 2.99 ± 0.58 e δ = 1.047 ± 0.044 e, além disso, os resultados obtidos neste trabalho estão de acordo com as referências [248,253]. Os resultados para o parâmetro C da energia escura holográfica padrão estão de acordo com os obtidos recentemente [245,261].

Por fim, calculamos o parâmetro de estado da equação e o parâmetro de densidade de energia escura calculado em z = 0 para todos os modelos. Para o Modelo 1, obtemos ω = −1.039, esse valor cruza ligeiramente a barreira fantasma; no Modelo 2, obtemos ω = −0.973, evidenciando um comportamento de quintessência; e Modelo 3, temos ω = −0.807, um comportamento semelhante à quintessência também. Quanto ao parâmetro densidade, obtemos para o Modelo 1, Ωde = 0.689, Modelo 2, Ωde = 0.694 e no Modelo 3, Ωde = 0.717, então

podemos concluir que a densidade de energia escura do Modelo 3 é ligeiramente maior quando comparada com os outros modelos.

Em seguida, implementamos a amostra JLA SNe Ia em nossa análise. Os principais resultados da análise conjunta JLA + BAO + CC + CMB priors para os modelos considerados são compilados na TabelaA.3. As FigurasA.1,A.2eA.3mostram as distribuições posteriores e os níveis de confiança em 1σ, 2σ e 3σ para os modelos estudados. A partir da TabelaA.3, os valores para h não diferem daqueles obtidos na análise anterior e ainda estão de acordo com os últimos resultados da missão Planck [62]. Note que para os Modelos 1, 2 e ΛCDM, o parâmetro Ωbé pouco afetado pelos dados considerados. O mesmo comportamento ocorre para

o parâmetro de densidade de matéria escura Ωc. Com relação ao parâmetro não-extensivo para

os Modelos 1 e 2, obtemos δ = 2.06+0.20

−0.32 e δ = 1.030 ± 0.044, respectivamente. Novamente,

o valor obtido para δ no caso do Modelo 1 recupera, em 1σ de confiança, o ΛCDM. E para o Modelo 2, o resultado obtido não se desvia da energia escura holográfica padrão com B = 2.99 ± 0.57e δ = 1.030 ± 0.04 e, além disso, os resultados obtidos usando JLA + BAO + CC +

CMB priors estão de acordo com os relacionados na referência [248,253]. O valor obtido para o parâmetro de energia escura holográfica padrão C está de acordo com os resultados obtidos recentemente [245,261].

Finalmente, calculamos o parâmetro da equação de estado e o parâmetro de densidade de energia escura para todos os modelos. Para o Modelo 1, obtemos ω = −1.017, esse valor cruza levemente a barreira phantom; no Modelo 2 obtemos ω = −0.943, este modelo tem um comportamento de quintessência; e no Modelo 3, temos ω = −0.837, um comportamento semelhante à quintessência também. E com relação ao parâmetro de densidade de energia escura, obtemos Ωde = 0.696, Ωde = 0.701e Ωde = 0.720, para os Modelos 1, 2 e

3, respectivamente, de modo que o Modelo 3 continua a ter uma densidade de energia escura levemente maior do que os outros modelos.

A título de comparação de modelos, calculamos o fator Bayes considerando o ΛCDM como modelo de referência. Para obter os valores dos fatores de Bayes para cada modelo, consideramos o logaritmo da evidência obtida do MultiNest e fazemos a seguinte operação ln B = ln Bmodel − ln BΛCDM. Um valor negativo (positivo) para o fator de Bayes

significa que o modelo concorrente é desfavorecido (suportado) em relação ao modelo ΛCDM. Nas Tabelas A.4 e A.5 mostramos os valores obtidos para o logaritmo da evidência, o logaritmo do fator de Bayes e a interpretação do fator Bayes, com base na escala de Jeffreys. Notamos que, considerando os dados adotados neste trabalho, o modelo ωCDM tem forte evidência desfavorável para ambas as amostras de SNe Ia. Observamos que, adotando os dados combinados Pantheon + BAO + CC + CMB, encontramos evidência fraca que desfavorecem os Modelos 1, 2 e 3. Podemos destacar o Modelo 2, já que entre esses modelos é o que possui o maior valor do fator de Bayes, ln B = −1.066 ± 0.519, mas é penalizado por ter mais um parâmetro. Agora, considerando o conjunto JLA + BAO + CC + CMB, obtemos evidência fraca que desfavorecem os Modelos 1, 2 e 3.

Para deixarmos a análise estatística completa, consideramos também dois conjuntos de ferramentas baseadas na teoria da informação, o critério de informação de Akaike (AIC) [264] e no critério de informação Bayesiano (BIC) [265] (veja as referências [197,266] para uma discussão mais ampla). Esses critérios são definidos por AIC = χ2

min + 2k, BIC =

χ2

min+ k ln N, em que χ2min = −2 ln Lmax com Lmax, o valor máximo da probabilidade dado

pela análise conjunta, k é o número de parâmetros livres e N número de dados. O “modelo preferido” para esses critérios é aquele com menor valor de AIC ou BIC. Essa análise penaliza

Tabela A.1: A Tabela mostra a distribuição a priori sobre os parâmetros livres de cada modelo estudado. Note que U(a, b) significa uma distribuição uniforme.

Parâmetro Modelo Priori

h Todos U (0.5584, 0.9064) Ωb Todos U (0.005, 0.1) Ωc Todos U (0.001, 0.99) ω ωCDM U (−2.0, 0.0) δ Modelo 1 U (1.0, 3.0) Modelo 2 U (0.0, 1.2) B Modelo 2 U (2.0, 4.0) C Modelo 3 U (0.4, 1.2)

os modelos que possuem um maior número de parâmetros livres. Para comparar dois modelos concorrentes, calculamos a diferença ∆AIC = AICi− AICje ∆BIC = BICi− BICj, onde

o subíndice i denota o modelo com o maior AIC e o subíndice j aquele com o menor. Quanto maior o valor de |∆AIC|, maior o nível de suporte contra o modelo com valor mais alto de

AIC. Utilizamos a interpretação do ∆AIC e ∆BIC relatado na referência [267].

Então, as TabelasA.4eA.5, apresentam os resultados estatísticos de nossa análise. Vamos adotar o ΛCDM como modelo de referência. Considerando os resultados para os dois conjuntos de dados, obtemos que o ωCDM tem ∆AIC > 10, indicando que essencialmente não é suportado pelos dados. Para o Modelo 1, obtemos 0 < ∆AIC > 2, indicando que substancialmente não é suportado pelo conjunto Pantheon + BAO + CC + CMB. Por outro lado, quando consideramos os JLA + BAO + CC + CMB, obtemos ∆AIC > 2, o Modelo 1 é consideravelmente menos suportado pelos dados. Para ambos os conjuntos de dados, obtemos que o Modelo 2 tem suporte consideravelmente menor pelos dados. Para o Modelo 3, obtemos ∆AIC = 2.109, isto é, suporte consideravelmente menor pelo Pantheon + BAO + CC + CMB. Quando consideramos JLA + BAO + CC + CMB, obtemos que o Modelo 3 não é substancialmente suportado pelos dados. Analisando BIC, obtemos que o ω e o Modelo 2 têm uma evidência muito forte contra, considerando ambos os dados. O Modelo 1 tem fortes evidências contra, ao considerar os dois conjuntos de dados. Finalmente, o Modelo 3 tem forte evidência contra, considerando o primeiro conjunto de dados, ao contrário de quando assumimos o segundo conjunto de dados encontramos evidências fracas contra o Modelo 3.

Parâmetro ΛCDM ωCDM Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 h 0.687 ± 0.019 0.688 ± 0.019 0.689 ± 0.019 0.687 ± 0.019 0.687 ± 0.019 Ωb 0.0447 ± 0.0069 0.034 ± 0.013 0.041+0.012−0.015 0.043 ± 0.012 0.052 ± 0.012 Ωc 0.254 ± 0.023 0.235 ± 0.041 0.270 ± 0.047 0.263 ± 0.038 0.230 ± 0.038 ω - −0.933+0.093 −0.072 - - - δ - - 2.13+0.20−0.32 1.047 ± 0.044 - B - - - 2.99 ± 0.58 - C - - - - 0.84+0.12−0.14 ω(z = 0) −1.0 - −1.039 −0.973 −0.807 Ωde(z = 0) 0.701 0.731 0.689 0.694 0.717 146

Parâmetro ΛCDM ωCDM Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 h 0.688 ± 0.019 0.686 ± 0.021 0.688 ± 0.020 0.684 ± 0.020 0.684 ± 0.020 Ωb 0.0450 ± 0.0079 0.039 ± 0.013 0.044+0.012−0.014 0.046 ± 0.012 0.054 ± 0.012 Ωc 0.253+0.028−0.032 0.219+0.038−0.044 0.259 ± 0.044 0.253 ± 0.038 0.225+0.036−0.040 ω - −0.896+0.099 −0.079 - - - δ - - 2.06+0.19−0.32 1.030 ± 0.046 - B - - - 2.99 ± 0.57 - C - - - - 0.89+0.13−0.15 α 0.1413 ± 0.0065 0.1412 ± 0.0065 0.1412 ± 0.0065 0.1411 ± 0.0065 0.1410 ± 0.0066 β 3.105 ± 0.079 3.102 ± 0.079 3.106 ± 0.081 3.102 ± 0.080 3.102 ± 0.080 MB −19.085 ± 0.059 −19.085 ± 0.061 −19.087 ± 0.060 −19.091 ± 0.061 −19.095 ± 0.061 ∆M −0.070 ± 0.023 −0.071 ± 0.023 −0.070 ± 0.023 −0.071 ± 0.023 −0.071 ± 0.023 ω(z = 0) −1.0 - −1.017 −0.943 −0.837 Ωde(z = 0) 0.702 0.742 0.696 0.701 0.720 147

χ2_min 1051.892 1060.731 1051.878 1051.919 1052.001

AIC 1057.892 1068.730 1059.878 1061.919 1060.001

∆AIC - 10.839 1.985 4.027 2.109

Interpretação - Essencialmente Substancialmente Consideravelmente menor Consideravelmente menor

BIC 1072.854 1088.680 1079.827 1086.856 1079.950

∆BIC - 15.826 6.973 14.001 7.096

Interpretação - Muito forte Forte Muito Forte Forte

ln E −533.445 ± 0.007 −539.749 ± 0.012 −534.697 ± 0.010 −534.511 ± 0.519 −534.560 ± 0.006

ln B - −6.304 ± 0.007 −1.252 ± 0.012 −1.066 ± 0.010 −1.115 ± 0.006

Interpretação - Forte (desfavorável) Fraco (desfavorável) Fraco (desfavorável) Fraco (desfavorável)

χ2_min 696.881 704.959 696.992 697.020 697.403

AIC 710.881 720.959 712.992 715.02 711.403

∆AIC - 10.077 2.110 4.139 0.522

Interpretação - Essencialmente Consideravelmente menor Consideravelmente menor Substancialmente

BIC 743.451 758.181 750.214 756.895 743.973

∆BIC - 14.730 6.763 13.444 0.522

Interpretação - Muito forte Forte Muito forte Fraco

ln E −366.736 ± 0.006 −372.571 ± 0.008 −367.959 ± 0.032 −368.931 ± 0.014 −367.831 ± 0.013

ln B - −5.835 ± 0.006 −1.223 ± 0.008 −2.194 ± 0.032 −1.095 ± 0.013

Interpretação - Forte (desfavorável) Fraco (desfavorável) Fraco (desfavorável) Fraco (desfavorável)

Figura A.1: Regiões de confiança e PDFs para os parâmetros do Modelo 1 considerando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors (vermelho) e JLA sample + BAO + CC+ CMB priors (azul). 1.6 2.0 2.4 2.8 δ 0.00 0.05 0.10 Ωb 0.16 0.24 0.32 0.40 Ωc 0.64 0.68 0.72 0.76 h 1.6 2.0 2.4 2.8 δ 0.00 0.05 0.10 Ωb 0.16 0.24 0.32 0.40 Ωc Pantheon+BAO+CC+CMB priors JLA+BAO+CC+CMB priors

Figura A.2: Regiões de confiança e PDFs para os parâmetros do Modelo 2 considerando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors (vermelho) e JLA sample + BAO + CC+ CMB priors (azul). 0.88 0.96 1.04 1.12 1.20 δ 0.02 0.04 0.06 0.08 Ωb 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 Ωc 1.6 2.4 3.2 4.0 B 0.64 0.68 0.72 0.76 h 0.88 0.96 1.04 1.12 1.20 δ 0.02 0.04 0.06 0.08 Ωb 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 Ωc 1.6 2.4 3.2 4.0 B Pantheon+BAO+CC+CMB priors JLA+BAO+CC+CMB priors

Figura A.3: Regiões de confiança e PDFs para os parâmetros do Modelo 3 considerando Pantheon sample + BAO + CC + CMB priors (vermelho) e JLA sample + BAO + CC+ CMB priors (azul). 0.6 0.8 1.0 1.2 C 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Ωb 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 Ωc 0.64 0.68 0.72 0.76 h 0.6 0.8 1.0 1.2 C 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Ωb 0.12 0.18 0.24 0.30 0.36 Ωc Pantheon+BAO+CC+CMB priors JLA+BAO+CC+CMB priors