Ce chapitre vient mettre en valeur l’op´erateur proximal, v´eritable moteur de cette th`ese, ´etablissant, par ses puissantes propri´et´es, des int´eractions entre les diff´erents chapitres, sous divers angles d’´etude :
• d’un point de vue th´eorique, c’est une technique de calcul donnant, pour certaines fonctions utiles en traitement du signal, une expression explicite. Lorsque X = R, en particulier, nous obtenons des r´esultats exacts explicites ou num´eriques simples ;
Fig. 2.2 – D´ecomposition suivant les basses fr´equences x⊕
γ, en haut, et les hautes
Fig. 2.3 – D´ecomposition suivant les basses fr´equences x⊕
γ, en haut, et les hautes
Fig. 2.4 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ : ξ 7→ |ξ|3/2 et γ = 7 et
sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M = 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.5 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ : ξ 7→ |ξ|3/2 et γ = 2 et
sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M = 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.6 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel de la
distribution triangulaire d´efinie par (2.61), avec −ω = ω = 7 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M = 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.7 – x⊕
γ,en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel de
la distribution triangulaire d´efinie par (2.61) avec −ω = ω = 30 et γ = 7 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.8 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel de
la distribution chi d´efinie par (2.19), avec κ = 7 et γ = 1 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.9 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel de la
distribution gamma d´efinie par (2.18), avec κ = 7, ω = 1 et γ = 1 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.10 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel
de la distribution gamma d´efinie par (2.18), avec κ = 7, ω = 10 et γ = 1 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.11 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel
de la distribution de Huber d´efinie par (2.60), avec ω = 7, τ = 1 et γ = 1 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
Fig. 2.12 – x⊕
γ, en haut, x⊖γ, en bas, v´erifient (2.92) pour φ la fonction potentiel de
la distribution de Huber d´efinie par (2.60), avec ω = 7, τ = 10 et γ = 1 et sont d´ecompos´es en ondelettes M-bandes (M= 4 bandes, 2 niveaux de r´esolution) selon le banc de filtre d’Alkin et Caglar [1].
• d’un point de vue applicatif, c’est en quelque sorte un filtre permettant d’ana- lyser les signaux et tout particuli`erement les images.
2.5
Bibliographie
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Chapitre 3
D´ecomposition, Restauration et
Reconstruction de Signaux par la
M´ethode Proximale
Explicite-Implicite
Ce chapitre pr´esente les travaux de recherche qui ont abouti `a la publication rapport´ee `a la Section 3.3. Apr`es un r´esum´e de cette derni`ere, nous en exposons les r´esultats majeurs, pour finir par l’article publi´e en anglais.
3.1
Pr´esentation globale
L’id´ee premi`ere est d’apporter une ´etude synth´etique de diff´erents types de probl`emes variationnels inverses en traitement du signal, qui sont `a premi`ere vue dis- soci´es. Pour les unifier, nous nous proposons de r´esoudre, comme suit, le probl`eme de minimisation, sur un espace de Hilbert r´eel H, de deux fonctions convexes poss´edant certaines propri´et´es de r´egularit´e :
Probl`eme 3.1.1 Soient f1 :H → ]−∞, +∞] et f2 :H → R deux fonctions propres,
convexes, semi-continues inf´erieurement telles que f2 soit diff´erentiable sur tout H,
de gradient 1/β-lipschitz, pour un certain β ∈ ]0, +∞[. L’objectif est de minimiser
x∈H f1(x) + f2(x). (3.1)
On note G l’ensemble des solutions de ce probl`eme.
Parmi les applications directes au Probl`eme 3.1.1, nous pouvons relever les probl`emes soumis `a des contraintes de moindre carr´e [35, 48, 63], les probl`emes
de r´egularisation parcimonieuse [10, 30, 31, 36], ou de r´egularisation de Fourier [46, 50], les probl`emes de d´ecomposition en composantes de texture ou de g´eom´etrie [5, 6, 7, 57, 71], les probl`emes d’admissibilit´e soumis `a des contraintes fortes [26], les probl`emes de synth`ese de signaux par projections altern´ees [26, 38], les probl`emes de distance aux moindres carr´es [22], les probl`emes d’admissibilit´e d´ecompos´es [13, 15], les probl`emes de variation totale [19, 62], quelques probl`emes d’estimation par maxi- mum a posteriori [68, 69].
Pour r´esoudre le Probl`eme 3.1.1, nous utilisons un algorithme de type explicite-implicite dont la convergence est ´etablie `a l’aide de r´ecentes m´ethodes de d´ecomposition bas´ees sur des op´erateurs monotones [25]. Cette technique a l’avan- tage d’´etendre et d’apporter une analyse simplifi´ee de diverses m´ethodes it´eratives d´ej`a existantes. Une nouveaut´e de notre travail est d’utiliser la notion d’op´erateur proximal, expos´ee et approfondie au Chapitre 2.
L’article de revue, rapport´e `a la Section 3.3, pr´esente trois majeures parties : la premi`ere (Section 3.3.2) est consacr´ee aux op´erateurs proximaux, la seconde (Sec- tion 3.3.3) `a l’analyse th´eorique et algorithmique du Probl`eme 3.1.1, la derni`ere (Section 3.3.4 `a Section 3.3.6) aux applications en traitement du signal.