Applications en traitement du signal

La derni`ere partie, compos´ee des trois derni`eres sections de l’article, met en ´evidence les applications en traitement du signal, qui se mod´elisent sous la forme du Probl`eme 3.1.1.

3.2.3.1 Probl`emes impliquant des sommes d’enveloppes de Moreau Avant d’´enoncer le probl`eme, rappelons la d´efinition de l’enveloppe de Moreau d’une fonction ϕ∈ Γ0(H) :

D´efinition 3.2.5 Soient ϕ _{∈ Γ}0(H) et γ ∈ ]0, +∞[. L’enveloppe de Moreau de ϕ

d’indice γ, not´ee γϕ, est la convolution infimale ϕ _{k · k}2_/(2γ)
.

Probl`eme 3.2.6 Soient

(i) (_Ki)1≤i≤m des espaces de Hilbert r´eels ;

(ii) Pour tout i_{∈ {1, . . . , m}, L}i ∈ B(H, Ki) non nul, ϕi ∈ Γ0(Ki) et ρi ∈ ]0, +∞[ ;

(iii) f1 ∈ Γ0(H). L’objectif est de minimiser x∈H f1(x) + m X i=1 ρi_ϕ i(Lix). (3.6)

L’ensemble des solutions de ce probl`eme est not´e G.

Proposition 3.2.7 Le Probl`eme 3.2.6 est un cas particulier du Probl`eme 3.1.1, avec f2 = Pm i=1 ρi_ϕ i◦ Li et β = Pm i=1kLik2/ρi
−1 .

Du Th´eor`eme 3.2.3, nous d´eduisons l’algorithme qui num´erise la solution du Probl`eme 3.2.6 ainsi que sa convergence. Ces r´esultats font l’objet du Th´eor`eme 3.3.30.

Pr´esentons quelques applications du Probl`eme 3.2.6 en traitement du signal : • probl`emes d’admissibilit´e d´ecompos´es : ils correspondent au cas m = 1 ; par

exemple lorsque ρ1 = 1, f1 = ιC et ϕ1 = ιQ o`u C ⊂ H et Q ⊂ K1 sont

deux convexes non vides ferm´es, le probl`eme a ´et´e introduit dans [15]. Au passage, nous retrouvons les sch´emas d’extrapolation de signaux classiques de Gerchberg [37] et Papoulis [59] ;

• probl`emes de texture/g´eom´etrie : soit x ∈ H un signal d´ecompos´e sous la forme x = u + v, o`u u caract´erise les composantes g´eom´etriques du signal et v sa texture. Le signal recherch´e, `a partir d’une observation bruit´ee z <sub>∈ H,</sub> est solution du probl`eme variationnel [5, 6, 7, 71, 72] :

minimiser

(u,v)∈H×H ψ(u) + φ(v) +

1

2ρku + v − zk

2_{, (3.7)}

o`u ψ et φ sont dans Γ0(H) et ρ ∈ ]0, +∞[. Ce probl`eme se ram`ene au

Probl`eme 3.2.6, avec m = 1, f1 = ψ, K1 = H, L = Id, ρ1 = ρ et

• probl`emes d’admissibilit´e de signaux soumis `a des contraintes fortes [26] dont l’objectif est de minimiser x∈C 1 2 m X i=1 ωid2Ci(x), (3.8)

avec ωi ∈ ]0, +∞[ : ce probl`eme se ram`ene au Probl`eme 3.2.6, avec f1 = ιC

et pour tout i∈ {1, . . . , m}, Ki =H, Li = Id, ρi = 1/ωi et ϕi = ιCi, o`u C et

(Ci)1≤i≤m sont des convexes non vides ferm´es de H.

3.2.3.2 Probl`emes inverses lin´eaires « r´egularis´es »

On consid`ere le probl`eme inverse o`u le signal observ´e z, dans un espace de Hilbert r´eel <sub>G, est li´e au signal ´etudi´e x par le mod`ele suivant :</sub>

z = T x + w, (3.9)

o`u T <sub>∈ B(H, G) et w ∈ G repr´esente la r´ealisation du bruit superpos´e au signal.</sub> Le probl`eme consid´er´e est alors le suivant (cf. [2, 16, 23, 39, 66, 67] pour des cas particuliers) :

Probl`eme 3.2.8 Soient

(i) _{K un espace de Hilbert r´eel ;}

(ii) T :H → G un op´erateur lin´eaire born´e non nul ;

(iii) L :H → K un op´erateur lin´eaire born´e bijectif tel que L−1 _{= L}∗_;

(iv) f ∈ Γ0(K). L’objectif est de minimiser x∈H f (Lx) + 1 2kT x − zk 2_{. (3.10)}

L’ensemble des solutions de ce probl`eme est not´e G.

Dans la fonctionnelle `a minimiser, _{kT x − zk}2_{/2 symbolise le terme de fid´elit´e du}

mod`ele aux donn´ees, tandis que le terme f (Lx) correspond aux informations a priori sur le signal original x.

Proposition 3.2.9 Le Probl`eme 3.2.8 est un cas particulier du Probl`eme 3.1.1, avec f1 = f ◦ L, f2 : x7→ kT x − zk2/2 et β = 1/kT k2.

Proposition 3.2.10

(ii) Le Probl`eme 3.2.8 admet au plus une solution si l’une des conditions est v´erifi´ee :

(a) f est strictement convexe. (b) T est injectif.

(iii) Le Probl`eme 3.2.8 admet exactement une solution si T est born´e inf´erieurement, i.e.,

(∃κ ∈ ]0, +∞[)(∀x ∈ H) kT xk ≥ κkxk. (3.11)

(iv) Soient x ∈ H et γ ∈ ]0, +∞[. Alors les conditions suivantes sont ´equivalentes : (a) x est solution du Probl`eme 3.2.8.

(b) x = (L∗_{◦ prox}

γf ◦L)(x + γT∗(z− T x)).

(c) (_{∀y ∈ H) hT y − T x | z − T xi + f(Lx) ≤ f(Ly).}

L`a encore, le Probl`eme 3.2.8 donne lieu `a de nombreuses applications cons´equentes en traitement du signal :

• approche statistique [68, 69] : K = H, L = Id et w est la r´ealisation d’un bruit Gaussien, mod`eles discrets ´etudi´es par le maximum a posteriori (MAP), avec une densit´e proportionnelle `a exp(_{−f) ;}

• m´ethodes entropiques, variation totale, information de Fisher [3, 19, 32, 40, 45] : K = H = H1_{(Ω), o`u Ω est un domaine ouvert de R}m_{, L = Id et f est}

une fonctionnelle int´egrale de la forme f : x_{7→ γ}

Z

Ω

ϕ(ω, x(ω),_{∇x(ω))dω, o`u} γ _{∈ ]0, +∞[ ;} (3.12)

• probl`emes de moindres carr´es : f = 0, plus g´en´eralement, en choisissant K = H, L = Id et f = ιC o`u C est un convexe non vide ferm´e de H, l’objectif est

de minimiser x∈C 1 2kT x − zk 2_{; (3.13)}

l’algorithme du Th´eor`eme 3.2.3 se particularise `a l’it´eration classique de Land- weber ;

• r´egularisation parcimonieuse : l’id´ee est de d´ecomposer le signal selon une base hilbertienne et de transformer les coefficients de la d´ecomposition pour construire des approximations parcimonieuses ou des estimateurs [18, 20, 30, 31, 33, 49]. Le probl`eme suivant mod´elise, de mani`ere plus g´en´erale, une telle situation :

Probl`eme 3.2.11 Soient

(ii) (ek)k∈N une base hilbertienne deH ;

(iii) (φk)k∈N des fonctions de Γ0(R) telles que (∀k ∈ N) φk ≥ φk(0) = 0.

L’objectif est de minimiser x∈H 1 2kT x − zk 2₊X k∈N φk(hx | eki). (3.14)

Ce probl`eme est un cas particulier du Probl`eme 3.2.8, avec _{K = l}2_{(N), L :}

x_{7→ (hx | e}ki)k∈N et f : (ξk)k∈N 7→P_k∈Nφk(ξk). La Proposition 3.3.53 donne

des r´esultats d’existence, d’unicit´e et de caract´erisation de toute solution, le Corollaire 3.3.54, sa r´esolution num´erique.

3.2.3.3 Probl`emes de d´ebruitage

Les probl`emes de d´ebruitage reviennent au Probl`eme 3.2.8 avec _{G = H et T =} Id :

Probl`eme 3.2.12 Soient

(i) _{K un espace de Hilbert r´eel ;}

(ii) L_{∈ B(H, K) bijectif tel que L}−1 _{= L}∗_;

(iii) f _{∈ Γ}0(K). L’objectif est de minimiser x∈H f (Lx) + 1 2kx − zk 2_{. (3.15)}

Proposition 3.2.13 Le Probl`eme 3.2.12 poss`ede exactement une solution z⊕_{qui est}

caract´eris´ee par l’une des conditions ´equivalentes suivantes : (i) z⊕ _{= prox}

f ◦Lz = (L∗◦ proxf◦L)z.

(ii) (∀y ∈ H) hy − z⊕ _{| z − z}⊕_{i + f(Lz}⊕_{)≤ f(Ly).}

La d´ecomposition de Moreau fournit alors le signal r´esiduel z⊖_{= z− z}⊕_.

Un cas particulier int´eressant consiste `a d´ecomposer f , si possible, en la somme de deux fonctions f = ϕ + ψ, o`u ϕ ∈ Γ0(K) a un op´erateur proximal relativement

facile `a impl´ementer et ψ _{∈ Γ}0(K) diff´erentiable de gradient lipschitz sur K. Par

exemple, si ϕ = ιC, o`u C est un convexe non vide ferm´e de K, nous obtenons

une solution num´erique du probl`eme de d´ebruitage, associ´e `a ψ◦ L, sur l’ensemble d’admissibilit´e L−1_{(C). Ainsi, le bruit superpos´e `a un signal est supprim´e `a partir}

de la connaissance d’informations a priori.