Avec répétitions

Un facteur contrôléA se présente sous I modalités, chacune d’entre elles étant notée A_i. Un facteur contrôlé B se présente sous J modalités, chacune d’entre elles étant notée B_j. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j) nous effectuons K > 2 mesures d’une réponse Y qui est une variable continue. Nous notons n =I×J×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j + (αβ)_i,j +_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k= 1. . . K, avec les contraintes supplémentaires

I

X

i=1

α_i = 0,

J

X

j=1

β_j = 0,

I

X

i=1

(αβ)i,j = 0, ∀j ∈ {1, . . . , J} et

J

X

j=1

(αβ)i,j = 0, ∀i∈ {1, . . . , I},

où Y_i,j,k est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j) lors du k−ème essai. Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀(i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et _i,j,k ⊥⊥_l,m,n si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l6I, 16j, m6J et 16k, n6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un autre cours.

Nous regroupons les valeurs que peut prendre la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j) lors desK répétitions dans le tableau suivant :

FacteurB

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur A est définie par : SC_A=J K

I

X

i=1

(Yi,•,• −Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due au facteur B est définie par : SC_B =IK

J

X

j=1

(Y•,j,•−Y•,•,•)².

Nous rappelons que la variation théorique due à l’interaction des facteurs A et B est définie par : La variation résiduelle théorique est quant à elle définie par :

SC_R = Enfin la variation totale théorique est égale à :

SC_{T OT} = Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA :

SCT OT =SCA+SCB+SCAB+SCR.

La liste y des données expérimentalesy_1,1,1, . . . , y_1,1,K, . . . , y_1,2,1, . . . , y_1,2,K, . . . , y_I,J,K per-met de construire une réalisation du tableau précédent :

FacteurB

3.1 Modèles à effets fixes

La variation due au facteurA observée sur la liste de données y est définie par : sc_A =J K

I

X

i=1

(yi,•,•−y•,•,•)².

La variation due au facteurB observée sur la liste de données y est définie par : sc_B =IK

J

X

j=1

(y•,j,•−y•,•,•)².

La variation due à l’interaction des facteursAet B observée sur la liste de données yest définie par :

La variation résiduelle observée sur la liste de donnéesy est quant à elle définie par : sc_R=

Enfin la variation totale observée sur la liste de données y est égale à : scT OT =

La relation fondamentale de l’ANOVA reste valable lorsqu’elle est évaluée sur la liste de donnéesy :

sc_{T OT} =sc_A+sc_B+sc_AB +sc_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

FacteurB sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Interaction sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H0⁰⁰⁰ ouH⁰⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H⁰0 :α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0

contre

H⁰1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I−1 et IJ(K −1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_A est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH0⁰ est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰0 : β₁ =β₂ =· · ·=β_J = 0 contre

H⁰⁰1 : Il existe j0 ∈ {1,2, . . . , J} tel que βj0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J −1 et IJ(K −1) degrés de liberté. Nous concluons alors

3.2 Modèles à effets aléatoires

à l’aide de lap−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuil α du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeur f_B est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table. Lorsque l’hypothèse nulleH0⁰⁰est rejetée, nous pouvons procéder à des comparaisons multiples des différents effets des niveaux du facteur voir le chapitre 9.

H⁰⁰⁰0 : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H1⁰⁰⁰ : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i0,j0 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH₀⁰⁰⁰ précédente d’absence d’effet de l’interaction des facteursA et B et lorsque les conditions de validité du modèle sont respectées, fAB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1) etIJ(K−1) degrés de liberté. Nous concluons alors à l’aide de la p−valeur, rejet si elle est inférieure ou égale au seuilα du test, ou à l’aide d’une table, rejet si la valeurfAB est supérieure ou égale à la valeur critique issue de la table.

Les estimateursµ,b αc₁, . . . ,αc_I,β^c₁, . . . ,β^c_J,(αβ)\_1,1,(αβ\)_1,2,. . .,(αβ)\_1,J,(αβ)\_2,1,. . .,(αβ)\_I,J, σc² des paramètres µ, α₁, . . . , α_I, β₁, . . . , β_J, (αβ)_1,1, (αβ)_1,2, . . ., (αβ)_1,J, (αβ)_2,1, . . ., (αβ)_I,J, σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb=Y•,•,• =Y , cα_i =Yi,•,•−µ,b 16i6I, β^c_j =Y•,j,•−µ,b 16j 6J, (αβ)\i,j =Yi,j,•−Yi,•,• −Y•,j,•+Y•,•,•, 16i6I, 16j 6J,

σc² = SC_R

IJ(K −1) =S_R². Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de données y et notées µ(y),_b α_c1(y), . . . , α_cI(y), βc₁(y), . . . ,β^c_J(y),(αβ\)_1,1(y),(αβ)\_1,2(y),. . .,(αβ)\_1,J(y),(αβ)\_2,1(y),. . .,(αβ)\_I,J(y),σ^c2(y), des paramètresµ,α₁, . . . ,α_I,β₁, . . . ,β_J, (αβ)_1,1, (αβ)_1,2,. . ., (αβ)_1,J, (αβ)_2,1,. . ., (αβ)_I,J, σ² du modèle se déduisent des formules ci-dessus :

µ(y) =b y•,•,• =y, cα_i(y) =yi,•,•−µ(y),b 16i6I, β^c_j(y) =y•,j,• −µ(y),b 16j 6J, (αβ\)_i,j(y) =yi,j,•−yi,•,•−y•,j,•+y•,•,•, 16i6I, 16j 6J,

σc²(y) = sc_R

IJ(K−1) =s²_R.

3.2. Modèles à effets aléatoires

3.2.1. Sans répétition

Dans ce cas les Ai représentent un échantillon de taille I prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets desA_i, les α_i, sont distribués suivant une loi normale centrée de varianceσ_A². Lesβ_j représentent un échantillon de tailleJ prélevé dans

une population importante. Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ²_B. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j) nous effectuons une mesure d’une réponse Y qui est une variable continue. Nous notons n=I×J le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Yi,j =µ+αi+βj +i,j, i= 1. . . I, j= 1. . . J,

où Y_i,j est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j). Nous supposons que :

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀ i,16i6I, L(β_j) =N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

α_i ⊥⊥α_j si i6=j et 1 6i, j 6I, β_i ⊥⊥β_j si i6=j et 16i, j 6J, αi ⊥⊥βj si 1 6i6I et 16j 6J.

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, L(_i,j) =N(0, σ²), _i,j ⊥⊥_k,l si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k6I et 16j, l 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

α_i ⊥⊥_j,k si 16i, j 6I et 16k 6J, β_i ⊥⊥_j,k si 16j 6I et 16i, k 6J.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un autre cours.

Nous utilisons les quantités SC_A, SC_B, SC_R, SC_{T OT}, sc_A, sc_B, sc_R etsc_{T OT} introduites à la section 3.1.1.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté Facteur A n_A=I−1 Facteur B n_B =J−1 Résiduelle n_R= (I−1)(J −1) Totale n_{T OT} =IJ −1

3.2 Modèles à effets aléatoires

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision

Facteur A sc_A n_A s²_A = sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_R H⁰0 ouH⁰1

Facteur B sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_R H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R = sc_R nR

Totale sc_{T OT} n_{T OT}

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants :

H0⁰ : σ_A² = 0 contre H⁰1 : σ²_A6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I−1 et (I−1)(J −1) degrés de liberté.

H⁰⁰0 :σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 : σ_B² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰₀ précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, fB est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et (I−1)(J −1) degrés de liberté.

Les estimateurs µ,_b σ^c_A², σ^c2_B, σ^c2 des paramètres µ, σ_A², σ²_B, σ² du modèle sont donnés par les formules suivantes :

µb =Y_•,• =Y , σc_A² = 1

J

S_A² −S_R², σ^c_B² = 1 I

S_B² −S_R², σc² = SC_R

(I−1)(J −1) =S_R², oùS_A² = SC_A

n_A , S_B² = SC_B

n_B et S_R² = SC_R n_R . Ce sont des estimateurs sans biais.

Les estimations, obtenues pour la liste de donnéesy et notéesµ(y),_b σ^c_A²(y),σ^c2_B(y),σ^c2(y), des paramètres µ,σ_A²,σ_B², σ² du modèle se déduisent des formules ci-desses :

µ(y) =b y•,• =y, σc_A²(y) = 1

J

s²_A−s²_R, σ^c_B²(y) = 1 I

s²_B−s²_R, σc²(y) = sc_R

(I−1)(J−1) =s²_R.

3.2.2. Avec répétitions

Dans ce cas les A_i représentent un échantillon de taille I prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets des A_i, les α_i, sont distribués suivant une loi normale centrée de varianceσ²_A. Lesβ_j représentent un échantillon de tailleJ prélevé dans une population importante. Nous admettrons que les effets des B_j, les β_j, sont distribués suivant une loi normale centrée de variance σ²_B. Pour chacun des couples de modalités (A_i, B_j) nous effectuons K > 2 mesures d’une réponse Y qui est une variable continue.

Nous notons n =I×J ×K le nombre total de mesures ayant été effectuées.

Nous introduisons le modèle :

Y_i,j,k =µ+α_i+β_j + (αβ)_i,j +_i,j,k, i= 1. . . I, j = 1. . . J, k= 1. . . K,

où Y_i,j,k est la valeur prise par la réponse Y dans les conditions (A_i, B_j) lors du k−ème essai. Nous supposons que

L(α_i) =N(0, σ²_A), ∀ i,16i6I, L(β_j) = N(0, σ_B²), ∀ j,16j 6J,

L((αβ)_i,j) = N(0, σ_AB² ), ∀ (i, j),16i6I, 16j 6J, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires :

α_i ⊥⊥α_j si i6=j et 1 6i, j 6I, β_i ⊥⊥β_j si i6=j et 16i, j 6J, (αβ)_i,j ⊥⊥(αβ)_k,l si (i, j)6= (k, l) avec 16i, k6I et 1 6j, l6J,

αi ⊥⊥βj si 16i6I et 16j 6J, α_i ⊥⊥(αβ)_j,k si 16i, j 6I et 1 6k6J,

β_i ⊥⊥(αβ)_j,k si 16j 6I et 1 6i, k6J.

3.2 Modèles à effets aléatoires

Nous postulons les hypothèses classiques suivantes pour les erreurs :

∀(i, j, k),16i6I, 16j 6J, 16k 6K, L(_i,j,k) = N(0, σ²), et _i,j,k ⊥⊥_l,m,n si (i, j, k)6= (l, m, n) avec

16i, l6I, 16j, m6J et 16k, n6K, ainsi que l’indépendance des effets aléatoires et des erreurs :

α_i ⊥⊥_j,k,l si 1 6i, j 6I,16k 6J, et 16l 6K, βi ⊥⊥j,k,l si 16j 6I,16i, k6J, et 16l6K, (αβ)_i,j ⊥⊥_k,l,m si 16i, k 6I,16j, l 6J, et 16m 6K.

Nous supposons que les conditions d’utilisation de ce modèle sont bien remplies, l’étude de leur vérification fait l’objet d’un autre cours.

Nous utilisons les quantitésSC_A,SC_B,SC_AB,SC_R,SC_{T OT},sc_A,sc_B,sc_AB,sc_Retsc_{T OT} introduites à la section 3.1.2.

Nous rappelons la relation fondamentale de l’ANOVA : SC_{T OT} =SC_A+SC_B+SC_AB +SC_R.

Nous introduisons les degrés de liberté (Ddl) associés à chaque ligne du tableau de l’ANOVA :

Source Degrés de liberté

Facteur A n_A=I−1

Facteur B nB=J−1

Interaction AB n_AB = (I−1)(J−1) Résiduelle n_R =IJ(K−1)

Totale n_{T OT} =IJ K −1

Nous résumons ces informations dans le tableau de l’ANOVA ci-dessous :

Source Variation Ddl Carré Moyen F Décision FacteurA sc_A n_A s²_A= sc_A

n_A f_A= s²_A

s²_AB H⁰0 ouH⁰1

FacteurB sc_B n_B s²_B = sc_B

n_B f_B = s²_B

s²_AB H⁰⁰0 ouH⁰⁰1

Interaction sc_AB n_AB s²_AB = sc_AB

n_AB f_AB = s²_AB

s²_R H0⁰⁰⁰ ouH⁰⁰⁰1

Résiduelle sc_R n_R s²_R= sc_R n_R

Totale scT OT nT OT

Nous souhaitons faire les tests d’hypothèse suivants : H⁰₀ : σ²_A= 0

contre H⁰1 : σ_A² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulle H⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur A et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_A est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à I−1 et (I−1)(J−1) degrés de liberté.

H⁰⁰0 : σ_B² = 0 contre H⁰⁰1 :σ_B² 6= 0.

Sous l’hypothèse nulleH⁰⁰0 précédente d’absence d’effet du facteur B et lorsque les condi-tions de validité du modèle sont respectées, f_B est la réalisation d’une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à J−1 et (I −1)(J−1) degrés de liberté.

H⁰⁰⁰0 : σ²_AB = 0 contre H⁰⁰⁰1 :σ_AB² 6= 0.

Dans le document Éléments d’analyse de la variance (Page 31-41)