Analyse de la variance à trois facteurs avec interaction

10.6. Analyse de la variance à trois facteurs avec in-teraction

Les idées développées dans la section 10.1 précédente sur le calcul de la puissancea pos-teriori ou la détermination du nombre de répétitions minimal pour obtenir un niveau de puissance supérieur ou égal à une valeur cible 1−β₀ sont directement transférables aux tests étudiés dans cette section à condition de remplacer les formules par celles qui sont exposées ci-dessous.

La puissance calculée pour chacun des tests ne dépend pas du risque de première espèce fixé pour les autres tests. Ceci permettrait de calculer la puissance des tests du tableau de l’analyse de la variance même si le seuil de chaque test varie en fonction du test considéré.

Voir le paragraphe 1.3 pour plus de détails sur la gestion des risques de première espèce des tests du tableau de l’analyse de la variance.

10.6.1. Modèle à effets fixes

Nous reprenons ici les notations du paragraphe 5.1.2.

Pour des problèmes de concision nous ne présenterons que la puissance d’un type de test, effet principal, interaction d’ordre 1, interaction d’ordre 2, les valeurs de puissance asso-ciées aux tests restants s’en déduisant en remplaçant les quantités assoasso-ciées aux facteurs mis en jeu par celles associées aux facteurs pour lesquels nous voulons calculer la puissance du test.

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_A, oùβ_A est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du pseudo testF d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

Cette puissance 1−β_A est donnée par la formule suivante : 1−β_A=P

hF⁰(ν₁, ν₂;φ_A)> F(ν₁, ν₂; 1−α)ⁱ,

oùν₁ =I−1 etν₂ =IJ K(L−1), F(I−1, IJ K(L−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher àI−1 et IJ K(L−1) degrés de liberté etF⁰(I−1, IJ K(L−1);φA) est une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher non-centrale àI−1 etIJ K(L−1) degrés de liberté et de paramètre de non-centralité normaliséφ_A. Ce paramètre de non-centralité normalisé φA vaut :

φ_A= 1 σ

v u u t

J KL I

I

X

i=1

α²_i.

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_AB, où β_AB est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i0,j0 6= 0.

Cette puissance 1−β_AB est donnée par la formule suivante : 1−β_AB =P de non-centralité normalisé φ_AB. Ce paramètre de non-centralité normalisé φ_AB vaut :

φ_AB = 1

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_ABC, où β_ABC est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : (αβγ)_1,1,1 = (αβγ)_1,1,2 =· · ·= (αβγ)_1,1,K = (αβγ)_2,1,1 =· · ·= (αβγ)_I,J,K = 0 contre

H1 : ∃ (i₀, j0, k0)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} × {1,2, . . . , K} |(αβγ)_i0,j0,k0 6= 0.

Cette puissance 1−β_ABC est donnée par la formule suivante : 1−β_ABC =P liberté et de paramètre de non-centralité normaliséφ_ABC. Ce paramètre de non-centralité normalisé φ_ABC vaut :

φ_ABC = 1

10.6.2. Modèle à effets aléatoires

Nous reprenons ici les notations du paragraphe 5.2.2.

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_A, où β_A est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du pseudo testF d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

10.6 Analyse de la variance à trois facteurs avec interaction

H0 : σ_A² = 0 contre H1 : σ²_A6= 0.

La loi de la statistique de ce test n’est connue que de manière approximative. Nous pouvons néanmoins calculer la puissance de ce pseudo testF.

Cette puissance 1−β_A est donnée par la formule suivante :

1−βA=P degrés de liberté. Si nous cherchons à évaluer cette puissance à l’aide d’une table, nous serons le plus souvent amenés à évaluer la quantitéλ_A suivante :

λ_A=

Nous nous intéressons à la puissance 1−βAB, où βAB est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : σ_AB² = 0 contre H1 : σ²_AB 6= 0.

Cette puissance 1−β_AB est donnée par la formule suivante :

1−β_AB =P

nous cherchons à évaluer cette puissance à l’aide d’une table, nous serons le plus souvent amenés à évaluer la quantité λ_AB suivante :

λAB =

v u u

t1 + KLσ_AB² σ²+Lσ²_ABC.

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_ABC, où β_ABC est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : σ²_ABC = 0 contre H1 : σ_ABC² 6= 0.

Cette puissance 1−β_ABC est donnée par la formule suivante :

1−β_ABC =P











F(ν₁, ν₂)> F(ν₁, ν₂; 1−α) 1 + Lσ²_ABC

σ²











,

oùν₁ = (I−1)(J−1)(K−1) etν₂ =IJ K(L−1),F((I−1)(J−1)(K−1), IJ K(L−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher à (I−1)(J−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté et F((I−1)(J−1)(K−1), IJ K(L−1)) est une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher à (I−1)(J−1)(K−1) et IJ K(L−1) degrés de liberté. Si nous cherchons à évaluer cette puissance à l’aide d’une table, nous serons le plus souvent amenés à évaluer la quantité λ_ABC suivante :

λ_ABC =

s

1 + Lσ_ABC² σ² .

La différence fondamentale entre ce cas et le cas où le facteur est à effets fixes, exposé au paragraphe 10.6.1, est que le calcul de la puissance repose une loi de Fisher et non sur une loi de Fisher non-centrale.

10.6.3. Modèle à effets mixtes

Nous reprenons ici les notations du paragraphe 5.3.2.

Premier cas : Deux facteurs sont à effets fixes, A et B, et un facteur C est à effets aléatoires.

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_A, où β_A est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 :α₁ =α₂ =· · ·=α_I = 0 contre

H1 : Il existe i₀ ∈ {1,2, . . . , I} tel que α_i0 6= 0.

10.6 Analyse de la variance à trois facteurs avec interaction

Cette puissance 1−β_A est donnée par la formule suivante : 1−β_A =P

hF⁰(I−1,(I−1)(J−1);φ_A)> F(I−1,(I−1)(J −1); 1−α)ⁱ,

oùF(I−1,(I−1)(J−1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher à I−1 et (I−1)(J −1) degrés de liberté et F⁰(I−1,(I−1)(J−1);φ_A) est une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher non-centrale à I −1 et (I −1)(J −1) degrés de liberté et de paramètre de non-centralité normalisé φ_A. Ce paramètre de non-centralité normalisé φ_A vaut :

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_C, oùβ_C est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du testF d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : σ_C² = 0 contre H1 : σ²_C 6= 0.

Cette puissance 1−β_C est donnée par la formule suivante :

1−β_C =P une loi de Fisher àK−1 etIJ K(L−1) degrés de liberté. Si nous cherchons à évaluer cette puissance à l’aide d’une table, nous serons le plus souvent amenés à évaluer la quantité λ_C suivante :

λ_C =

s

1 + IJ σ_C² σ² .

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_AB, où β_AB est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : (αβ)_1,1 = (αβ)_1,2 =· · ·= (αβ)_1,J = (αβ)_2,1 =· · ·= (αβ)_I,J = 0 contre

H1 : Il existe (i₀, j₀)∈ {1,2, . . . , I} × {1,2, . . . , J} tel que (αβ)_i0,j0 6= 0.

Cette puissance 1−β_AB est donnée par la formule suivante : 1−β_AB =P

hF⁰(ν₁, ν₂;φ_AB)> F(ν₁, ν₂; 1−α)ⁱ,

oùν₁ = (I−1)(J−1) etν₂ = (I−1)(J−1)(K−1), F((I−1)(J−1),(I−1)(J−1)(K− 1); 1−α) est le 100(1−α) quantile de la loi de Fisher à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté etF⁰((I−1)(J−1),(I−1)(J−1)(K−1);φ_AB) est une variable aléatoire qui suit une loi de Fisher non-centrale à (I−1)(J−1) et (I−1)(J−1)(K−1) degrés de liberté et de paramètre de non-centralité normalisé φ_AB. Ce paramètre de non-centralité normalisé φ_AB vaut :

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_AC, où β_AC est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : σ²_AC = 0 contre H1 :σ_AC² 6= 0.

Cette puissance 1−β_AC est donnée par la formule suivante :

1−β_AC =P puissance à l’aide d’une table, nous serons le plus souvent amenés à évaluer la quantité λ_AC suivante :

λAC =

s

1 + J Lσ_AC² σ² .

Nous nous intéressons à la puissance 1−β_ABC, où β_ABC est le risque de commettre une erreur de deuxième espèce, du test F d’analyse de la variance pour le test de l’hypothèse

H0 : σ²_ABC = 0 contre H1 : σ_ABC² 6= 0.

Cette puissance 1−β_ABC est donnée par la formule suivante :

1−βABC =P