CONTROL agents’ position control inputs REFERENCES c, R
Figure B.5 – Formulation du probl`eme de la section B.2
Sous ces hypoth`eses, cette section pr´esente des lois de commande pour stabiliser un groupe de v´ehicules vers des mouvements circulaires qui suivent des r´ef´erences variant dans le temps, comme le repr´esente la Figure B.5. De plus, un algorithme collaboratif permet de distribuer les v´ehicules dans une configuration d´esir´ee autour de la formation.
B.2.2 Translation d’un mouvement circulaire
Sur la base des travaux pr´ec´edents sur les formations circulaires de multi-agents [86, 118, 149, 150], cette subsection pr´esente une premi`ere contribution dans le domaine du contrˆole d’une formation et une premi`ere ´etape pour r´esoudre le probl`eme de recherche d’une source.
Le d´eplacement d’une formation d’agents est pertinent pour certaines applications o`u les agents doivent ex´ecuter des tˆaches collaboratives n´ecessitant que la formation se d´eplace vers une direction a priori inconnue. Par exemple, dans les applications de recherche d’une source, la formation est dirig´ee en suivant la direction du gradient de la source (qui est calcul´ee en ligne, et impl´ement´ee comme une boucle externe suppl´ementaire) [64, 104]. Le probl`eme de la poursuite de cible n´ecessite ´egalement de consid´erer des formations variant dans le temps. Dans cette application, les agents tentent d’entourer la cible. Par cons´equent, une formation circulaire dont le centre
B.2. Contrˆole d’une formation circulaire variant dans le temps 175
est situ´e sur l’objectif, semble particuli`erement appropri´ee au probl`eme du suivi d’une cible. Certaines approches coop´eratives pour atteindre ce d´efi en utilisant une flotte de v´ehicules ont ´et´e ´etudi´ees dans la litt´erature [80, 117]. Par cons´equent, une formation circulaire peut ˆetre utile pour suivre la trajectoire d’une cible variant dans le temps [85].
Cette subsection pr´esente une strat´egie de contrˆole de telle sorte qu’un syst`eme multi-agent d´efinie par (B.1) converge vers un mouvement circulaire qui suit un centre variant dans le temps. `A la premi`ere ´etape, on suppose que le centre d´esir´e variant dans le temps c(t) est une r´ef´erence externe donn´ee qui est connue par tous les agents de la formation.
Pour r´esoudre le probl`eme de d´eplacement d’une formation circulaire, on doit se concentrer sur les deux questions suivantes :
a) L’am´elioration du contrˆole circulaire pr´ec´edemment present´e dans [118] pour stabi-liser la flotte d’agents vers le mˆeme mouvement circulaire variant dans le temps. b) D´efinir la classe des fonctions c(t) pour lesquelles le d´eplacement du mouvement
circulaire est possible.
Introduction d’un nouveau syst`eme de coordonn´ees
Nous voulons stabiliser le syst`eme (B.1) vers un mouvement circulaire de rayon R et de centre c(t) variant deans le temps suivant une r´ef´erence donn´ee. L’id´ee principale et donc, la principale contribution, consiste `a exprimer le syst`eme multi-agents dans un cadre relatif dont l’origine est le centre d´esir´e variant dans le temps c = (cx, cy)T. Ce syst`eme transform´e, dans lequel la position des agents est exprim´ee par rapport au centre du cercle, sera stabilis´e vers un mouvement circulaire centr´e sur c et de rayon
R, en se basant sur le contrˆole d’une formation circulaire present´e dans [118].
On consid`ere que le syst`eme transform´e est une r´ef´erence pour le syst`eme original. Le syst`eme transform´e est stabilis´e vers un mouvement circulaire fixe. Le probl`eme de concevoir une loi de commande devient un probl`eme de suivi entre les deux syst`emes. Cette strat´egie suit trois phases :
• Mod`ele de r´ef´erence :une relation entre le syst`eme original (vecteur de position de chaque agent) et le syst`eme de r´ef´erence (vecteur de position relative) est d´etermin´ee.
• Contrˆole d’un cercle fixe : le syst`eme de r´ef´erence est stabilis´e vers un mou-vement circulaire avec centre fixe grˆace `a la loi de commande de [118].
• Suivi du mod`ele : les entr´ees de commande du syst`eme original sont d´efinies par un proc´ed´e de suivi de r´ef´erence.
Afin d’exprimer le vecteur position rk de chaque agent k dans le cadre relatif qui se d´eplace suivant le centre du mouvement circulairec, le changement de coordonn´ees suivant est d´efini :
ˆ
rk=rk−c (B.2)
o`u ˆrk∈R2 repr´esente le vecteur de position relative.
La loi de commande de [118] peut ˆetre appliqu´ee `a un syst`eme multi-agent mod´elis´e par (B.1) avec une vitesse constante vk =v. Par cons´equent, pour appliquer cette loi de commande circulaire au syst`eme transform´e, exprim´e dans le syst`eme de r´ef´erence relatif par rapport au centre mobile, la dynamique des positions relatives doit avoir une vitesse constante. Les agentsvirtuels d´efinis par le syst`eme transform´e convergent vers un mouvement circulaire avec rayonR=v/|ω0|o`uω0 6= 0 est la vitesse angulaire. Ensuite, on impose une vitesse lin´eaire constante ´egale `a v =R|ω0| au syst`eme trans-form´e. En cons´equence, nous imposons au syst`eme transform´e la dynamique suivantes :
˙ˆ xk =R|ω0|cosψk (B.3a) ˙ˆ yk =R|ω0|sinψk (B.3b) ˙ ψk =ˆuk (B.3c)
o`uψk repr´esente l’angle d’orientation du veteur position transform´e ˙ˆrk = ( ˙ˆxk,y˙ˆk)T. Le syst`eme r´esultant transform´e, est invariant dans le temps car le centre est fixe dans le nouveau cadre de r´ef´erence transform´e. Par cons´equent, on peut appliquer la loi de commande pour un mouvement circulair de [118]. L’objectif est donc de contrˆoler une flotte d’agents fictifs mod´elis´es par (B.3), de telle sorte que ces agents virtuels convergent vers un mouvement circulaire centr´e `a l’origine du syst`eme de coordonn´ees transform´e. La loi de commande suivante garantit que le syst`eme (B.3) converge vers un mouvement circulaire :
ˆ
uk = ˙ψk =ω0(1 +κr˙ˆTkˆrk) (B.4) Translation d’un mouvement circulaire
Le syst`eme transform´e d´efini par (B.2) est consid´er´e comme un syst`eme de r´ef´erence. La dynamique du syst`eme de r´ef´erence satisfait (B.3) et la dynamique en boucle ferm´ee est impos´ee par la loi de commande (B.4). Dans cette situation, le th´eor`eme suivant pr´esente le r´esultat principal de cette section.
Th´eor`eme B.1 Considerons une fonction deux fois diff´erentiablec(t) :R→R2, avec ses premi`ere et seconde d´eriv´es born´ees. Le rayon du mouvement circulaire d´esir´e est
B.2. Contrˆole d’une formation circulaire variant dans le temps 177
repr´esent´e par R >0, les param`etres de contrˆole sont tels que ω0 6= 0, κ >0, β >0 et que la condition suivante est satisfaite :
vk>0 (B.5)
Alors, la loi de commande ˙ vk =−βvk+uˆkr˙ T kRπ 2r˙ˆk+ ˙rTk(¨c+β( ˙ˆrk+ ˙c)) vk (B.6a) uk =uˆkr˙ T kr˙ˆk+ ˙rTkRTπ 2(¨c+β( ˙ˆrk+ ˙c)) v2 k (B.6b) o`u r˙ˆk et uˆk sont d´efinies par (B.3) and (B.4) respectivement, fait converger tous les agents d´efinis par (B.1) vers un mouvement circulair de rayonR, et dont le centre suit la r´ef´erence variant dans le temps c(t). La direction de rotation est d´etermin´ee par le signe de ω0.
B.2.3 Contraction d’un cercle
Apr`es le premier r´esultat concernant la translation d’un mouvement circulaire propos´e pr´ec´edemment, on consid`ere aussi le probl`eme de concevoir une loi de commande de telle sorte que le groupe des AUVs forme un cercle dont le centre c est fixe et dont le rayon suit une r´ef´erence variant dans le tempsR(t). En utilisant la mˆeme id´ee que dans le cas de la translation, cette extension `a la contraction et l’expansion d’une formation circulaire est l’´etape logique suivante en prenant en compte du fait que les principaux param`etres d’un cercle sont son centre et son rayon. Une loi de commande similaire `a (B.6) est propos´ee pour ce cas de contraction d’un mouvement circulaire.
B.2.4 R´epartition uniforme autour d’une formation circulaire
Les deux lois de contrˆole pr´ec´edentess ne prennent pas en consid´eration les contraintes de communication, car chaque agent converge ind´ependamment vers le mouvement circulaire d´esir´ee. Par cons´equent, la disposition des particules autour du cercle est arbitraire. En d’autres termes, afin de stabiliser les agents `a une formation circulaire des lois de commande pour la translation et la contraction doivent inclure un terme coop´eratif pour distribuer les agents autour du mˆeme cercle en suivant un sch´ema particulier. En outre, dans le contexte de la recherche d’une source avec v´ehicules sous-marins, faire en sorte que les agents soient r´epartis uniform´ement le long de la formation pourrait ˆetre plus appropri´e pour produire des mouvements de recherche efficaces.Consid´erer des graphes de communication fixes n’est pas r´ealiste car la distance entre deux agents connect´es n’est pas consid´er´ee, [109, 111, 130]. Dans le cas de commu-nication sous-marine, la qualit´e de la transmission est fortement affect´ee par la distance
entre deux agents [155]. Par cons´equent, dans un sc´enario sous-marin, il pourrait ˆetre plus int´eressant de consid´erer des graphes de communication d´ependants de la distance. Cela signifie que chaque agent peut seulement recevoir des informations de ses voisins proches. Ainsi, une r´egion de communication pour chaque v´ehicule est introduite dans notre approche. La r´egion de communication pour n’importe quel agent est d´efinie par
ρ, qui est la distance de communication critique donn´ee par les caract´eristiques des dispositifs de communication et de l’environnement des AUVs. Pour la suite, le rayon
ρ d´elimite une r´egion de communication circulaire pour chaque v´ehicule. Cependant, nous supposons qu’il existe une communication parfaite `a l’int´erieur de cette r´egion.
Le graphe de communication, qui d´epend de la distance, est maintenant variant dans le temps parce que la position des v´ehicules ´evolue dans le temps. En se basant sur la th´eorie des graphes, la matrice Laplacienne variant dans le temps L(t) qui correspond `a un graphe de communication d´ependant de la distance est d´efinie comme suit :
Lk,j = dk, si k =j −1, si krk−rjk ≤ρ 0 autrement (B.7)
La formulation de la notation suivante est introduite. La matrice Laplacienne consid´er´ee est ¯L = L⊗ I2 o`u ⊗ est le produit de Kronecker et IN ∈ RN×N est la matrice indentit´e. Le vecteur bmk = (cosmψk,sinmψk)T contient les angles d’orien-tation des agents fictifs et Bm = (bT
m1, . . . , bT
mN)T contient tous les angles de cap du syst`eme transform´e.
Le contrˆole coop´eratif pour la translation d’une formation circulaire avec l’hy-poth`ese de communication d´ependant de la distance est pr´esent´e dans le corollaire suivant :
Corollaire B.1 (Extension de Bri˜n´on-Arranz et al. 2009 [16]) Considerons une func-tion deux fois d´erivable c(t) :R→R2, avec ses d´eriv´ees, premi`ere et seconde, born´ees et le rayon de la formation d´esir´e est R >0. Les param`etres de contrˆole sont tels que
ω0 6= 0, κ >0, β >0, et la condition (B.5) est satisfaite. Le graphe de communication est represent´e par G(t), L(t) est sa matrice Laplacienne correspondante et le rayon de communication ρ satisfait :
ρ >2Rsin π
N (B.8)
Donc, la loi de commande (B.6) avec ( ˆ uk =ω0(1 +κr˙ˆTkˆrk)− ∂U ∂ψk U(ψ) = K N P⌊N/2⌋ m=1 2m12BmLB¯ m (B.9) fait converger tous les agents d´efinis par (B.1) vers une formation circulaire de rayon
B.3. Contrˆole d’une formation bas´e sur les transformations affines 179
la distribution uniforme des agents autour de la formation est le seul point critique de
U(ψ) exponentiellement stable. Simulations
La simulation montr´ee dans la Figure B.6, pr´esente un groupe de six agents r´egis par la loi de commande pour la translation du Corollaire B.1. Les param`etres de contrˆole sont ω0 = κ=β = 1 et K = 0.1. Le rayon de la formation circulaire d´esir´e est R = 2 et la r´ef´erence du centre c(t) est donn´ee par :
c(t) = (0.2t,3 sin (0.08t))T
Le rayon de communication essentielρ= 3 satisfait la condition (B.8). Par cons´equent, les agents sont distribu´es uniform´ement le long du cercle.
FigureB.6 –Simulation de six agents r´egis par la coi de commande du Corollaire B.1 qui suit la r´ef´erence du centre de la formation en bleu. Les cercles noirs repr´esentent la r´egion de communication des agents. La figure montre deux moments correspondant `a des instants diff´erents, `a t= 10s la distribution uniforme n’a pas encore ´et´e obtenue et `a t = 50s les agents sont distribu´es uniformement autour du cercle.