Automates faibles d´ eterministes - Représentation à États Finis d'Ensembles de Réels

En analysant la figure 6.7, nous avons suggéré que les automates faibles acceptent exactement les langages qui sont à la fois acceptés par un automate de Büchi et un

A.4. Démonstrations omises — Automates faibles déterministes 113 automate co-Büchi déterministes. La proposition suivante prouve cette affirmation7_:

Proposition A.14. Soit L _{⊆ Σ}ω un ω_{−langage. L est accepté par un automate} déterministe faible si et seulement si il peut être accepté par un automate de Büchi et un automate co-Büchi, tous deux déterministes.

Preuve. (_{⇒) Nous avons déjà démontré cette implication dans le corollaire 6.12.} (_{⇐) Pour l’autre direction, soient A}1 = (Q1, Σ, δ1, {s10}, F1) un automate de

B¨uchi d´eterministe pour lequel Lω(A1) = L et A2 = (Q2, Σ, δ2, {s20}, F2) un

automate co-B¨uchi d´eterministe pour lequel Lω(A2) = L. Nous les supposerons

compl´et´es. Construisons alors l’automate T = (Q, Σ, _{s0}, δ, F ) comme suit :

• Q = Q1× Q2,

• s0 = (s10, s20),

• pour tout q1 ∈ Q1, q2 ∈ Q2 et σ ∈ Σ, on pose :

δ((q1, q2), σ) ={(δ1(q1, σ), δ2(q2, σ))}

Nous préciserons F plus loin. Visiblement, T est un automate déterministe par la forme de la fonction δ. Regardons maintenant T comme un automate de Büchi _B pour lequel l’ensemble des états accepteurs est F0 = F1× Q2. Regardons également

T comme un automate co-Büchi _{C pour lequel l’ensemble des états accepteurs est} F00 = Q1×F2.B fonctionne de manière identique à A1 car la condition d’acceptation

ne porte que sur la partie héritée de A1et car la définition de la fonction de transition

n’a pas modifié les transitions possibles pour A1. De même, C fonctionne de manière

identique `a A2. Par cons´equent, Lω(B) = Lω(C) = L. Cela implique que pour tout

cycle C _{⊆ Q, C est accepteur pour B si et seulement il est accepteur pour C (sinon,} une course qui bouclerait dans ce cycle serait acceptrice pour l’un des automates et pas pour l’autre, ce qui contredirait l’´egalit´e des langages). En d’autres termes, C_{∩ F}0 _{6= φ si et seulement si C ∩ F}00= φ.

Maintenant, soit S _{⊆ Q une composante fortement connexe de T et soient C}1 et

C2 deux cycles de cette composante S. Nous pouvons en d´eduire que C1 ∩ F0 6= φ

si et seulement si C2∩ F0 6= φ. Imaginons en effet que C2∩ F0 = φ, ce qui ´equivaut

par le raisonnement ci-dessus `a C2 ∩ F00 6= φ. Construisons alors le cycle C qui

consiste à parcourir une fois le cycle C1, puis à rejoindre le cycle C2, à parcourir une

fois celui-ci, et enfin `a revenir `a C1 (ce qui est possible, puisque nous sommes dans

une composante fortement connexe S). Les conditions sur C1 et C2 affirment alors

respectivement que C_{∩ F}0 _{6= φ et que C ∩ F}00 _{6= φ. Ceci est en contradiction avec} la relation C_{∩ F}0 _{6= φ ⇔ C ∩ F}00= φ. Un raisonnement identique tient pour l’autre sens de l’´equivalence.

On en déduit que dans une même composante fortement connexe, soit tous les cycles rencontrent F0, soit aucun. Si tous les cycles rencontrent F0, tous les états de la composante peuvent devenir accepteurs sans changer le statut accepteur des cycles,

A.4. Démonstrations omises — Automates faibles déterministes 114 ni donc le langage accepté. Soient dès lors Q1, . . . ,Qm les composantes fortement

connexes de T ; on pose F = _{{q ∈ Q | (∃i)(q ∈ Q}i∧ Qi∩ F0 6= φ)}. L’automate T

ainsi d´efini respecte bien la forme faible d´eterministe et accepte L. ₂

Remarque A.6. L’automate co-Büchi ne doit pas nécessairement être déterministe, puisqu’on peut toujours le d´_{eterminiser. 2}

Comme les automates de Büchi déterministes acceptent exactement les ω_−langages de la classe Gδ (théorème 6.8) et que les automates co-Büchi acceptent exac-

tement la classe Fσ (corollaire 6.10), on en d´eduit directement le r´esultat :

Corollaire A.15. Un ω_{−langage est de la classe G}δ∩ Fσ si et seulement si il est

accept´e par un automate faible d´eterministe.

Remarque A.7. Il est également possible de montrer qu’un ω_{−langage appartient à} la classe Fσ si et seulement si il est accepté par un automate faible non déterministe.

Cette preuve requiert une construction supplémentaire introduite dans [KV97]. Le lecteur intéressé peut en trouver une démonstration simplifiée dans [L¨_{od97]. 2}

Annexe B

Minimisation d’automates faibles

Nous pr´esentons dans ce chapitre deux algorithmes qui ont une place centrale dans l’impl´ementation de la librairie des RVA. Il s’agit de :

1. l’algorithme de Tarjan [Tar72] qui permet d’isoler les composantes fortement connexes d’un graphe (strongly connected components, en abrégé, les s.c.c) ; 2. l’algorithme de minimisation des automates faibles déterministes proposé dans

le r´ecent article [L¨od01].

Les algorithmes proprement dits ont été mis en page par l’outil de programmation littéraire (literate programming) noweb, inspiré du langage web de Knuth [Knu83, noweb]. Le langage de programmation sous-jacent est le Pascal1_.

B.1 Coloriages

Le titre de cette section peut prêter à sourire. . . Il s’agit néanmoins d’un pas- sage théorique nécessaire pour comprendre la minimisation des automates faibles.

A l’instar des courses sur un mot infini, un coloriage est un autre formalisme per- mettant de décrire le langage accepté par un ω_{−automate. Soit donc un automate} faible déterministe A = (Q, Σ, δ, _{s0}, F ).

Définition B.1. Un état q _{∈ Q est dit de transit s’il est le seul élément dans une} composante fortement connexe et s’il n’est pas relié à lui-même. Un état est dit récurrent s’il n’est pas de transit. Plus formellement, q est récurrent si et seulement si il existe un mot w_{∈ Σ}∗_{− {ε} tel que δ(q, w) = q.}

Le terme (( état de transit )) se comprend très bien : il s’agit d’un état dans lequel on ne peut jamais séjourner. Quand on y arrive, on est obligé d’en sortir au prochain

1. On a préféré noweb à web car il permet une inclusion aisée des fichiers générés dans un document LA_{TEX. La mise en forme du code est réalisée via un filtre dû à M. Kostas et spécialement}

adapt´e pour l’occasion au Pascal.

B.1. Minimisation d’automates faibles — Coloriages 116 symbole lu sur le ruban.

D´efinition B.2. Une application c : Q_{7→ N est appel´ee coloriage de A si et seule-} ment si :

• c(q) est pair pour tout q ∈ F r´ecurrent, • c(q) est impair pour tout q 6∈ F r´ecurrent, • ∀σ ∈ Σ, ∀p,q ∈ Q : q ∈ δ(p,σ) ⇒ c(p) ≤ c(q).

On peut concevoir un coloriage comme l’attribution d’un num´ero `a chacun des ´

etats de l’automate. La troisième condition impose que tous les éléments d’une même composante fortement connexe soient coloriés de la même fa¸con. Une composante acceptrice est coloriée par un nombre pair, une composante non acceptrice par un nombre impair et les états de transit peuvent être coloriés de manière indifférente (tant que leur coloriage respecte la troisième condition).

D’un point de vue intuitif, un coloriage définit un ordre partiel sur les composantes de l’automate : les composantes profondes ont un numéro (une couleur) supérieur aux composantes qui sont enfouies moins profondément dans le graphe des composantes fortement connexes. Ce faisant, on procède indirectement à une mise en ordre du graphe de l’automate [Rou93].

Remarque B.3. Plusieurs composantes connexes situées sur un même chemin dans le graphe des composantes peuvent avoir un coloriage identique, car l’égalité de la troisi`_{eme condition n’est pas stricte. 2}

En fait, les coloriages permettent de définir sous une autre forme la condition d’acceptation des automates faibles. En effet, prenons la liberté d’écrire c(ρ) = c(ρ(0))c(ρ(1))c(ρ(2))_{· · · pour une course ρ de A. c(ρ) est la suite des couleurs} des états qu’emprunte la course ρ. Par la troisième condition, la suite c(ρ) est nécessairement croissante. Par ailleurs, la définition des automates faibles implique qu’une course finira toujours par boucler dans une composante Qi qui est soit accep-

trice, soit non acceptrice. De ce fait, la couleur extrême de c(ρ) sera respectivement paire ou impaire. Par conséquent, une course est acceptrice si et seulement si la couleur maximale reprise dans son coloriage est paire. Pour formaliser ce constat, on définit l’op´_{eration (( occurrence )) sur les courses, qui est très semblable à l’opération} Inf(ρ) :

Occ(ρ) =_{{p ∈ Q | (∃i ∈ N)ρ(i) = p}}

Suite `a cette d´efinition, une course ρ d’un automate faible A est acceptrice si et seulement si max(Occ(c(ρ))) est pair2_.

Nous allons maintenant poser une série de définitions relatives aux coloriages : Définition B.4.

1. Un coloriage c est un k_{−coloriage s’il existe k ∈ N tel que pour tout q ∈ Q,}

2. Il existe même une classe d’automates, les automates à parité, dont la description du langage accepté est basée exclusivement sur les coloriages [Mos84, Löd99].

B.2. Minimisation d’automates faibles — Forme normale 117 on a : c(q) _{≤ k. En d’autres termes, toutes les couleurs des s.c.c. doivent être} inférieures à une couleur k donnée.

2. Un coloriage c est k_{−maximal si c’est un k−coloriage tel que pour tout autre} k_{−coloriage e et pour tout ´etat q ∈ Q, on a : e(q) ≤ c(q).}

Remarque B.5. Un k_{−coloriage c est aussi un k}0_{−coloriage si k ≤ k}0. En effet, pour tout q _{∈ Q, on a bien : c(q) ≤ k ≤ k}0_{. 2}

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